ボレル測度の定義

ボレル測度

区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張としてルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を構成することにより、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その外延量である外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を測定できるようになりました。ただ、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法測度ではないという問題があります。つまり、\(\mathbb{R} \)上のすべての点集合を外延量の測定対象とした場合、「ある点集合の外延量は、それを互いに素な部分に分割した場合の各部分の外延量の合計になる」という直感的事実が成り立つとは限らなくなってしまいます。外測度\(\mu^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすようにするためにはその定義域を縮小すればよいのですが、定義域を縮小しすぎると多くの点集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たしつつ、なるべく多くの点集合の外延量を測定できるようにするためにはどうすればよいかという問題意識のもと、外測度\(\mu ^{\ast }\)の新たな定義域の候補としてルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)と呼ばれる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を導入し、それが\(\sigma \)-代数としての性質を満たすことを示しました。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は空集合\(\phi \)を要素として持つとともに補集合と可算合併について閉じています。以上を踏まえた上で、外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)へ縮小したとき、\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすことを確認しました。ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域をルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に縮小して得られる写像\(\mu:\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)をルベーグ測度と呼びます。ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)ではなくルベーグ測度\(\mu \)について議論している場合、その定義域である可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を\(\mathfrak{M}_{\mu }\)と表記する場合もあります。ただ、両者は等しい\(\mathbb{R} \)の部分集合族です。

さらに、ルベーグ可測集合の具体例を挙げましたが、その中で、\(\mathbb{R} \)上の任意の開集合がルベーグ可測であることを確認しました。つまり、\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の間には以下の関係\begin{equation*}\mathcal{O}\subset \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は開集合系\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数です。そこで、\(\mathcal{O}\)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\mathbb{R} \)の部分集合族\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}をとった上で、この集合族の共通部分\begin{equation*}
\mathfrak{B}=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}をボレル集合族と定義しました。ボレル集合族の要素をボレル集合と呼びます。

ボレル集合族は開集合系\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数であるため、以下の関係\begin{equation*}\mathcal{O}\subset \mathfrak{B}\subset \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ボレル集合族はルベーグ集合族の部分集合です。後ほど示すように、ボレル集合ではないルベーグ可測集合が存在するため、ボレル集合族はルベーグ集合族の真部分集合です。その一方で、ボレル集合族はルベーグ集合族と同様に\(\sigma \)-代数であるため、代表的な集合演算について閉じています。加えて、ルベーグ集合族と同様、ボレル集合族もまた代表的な集合（開集合・閉集合・区間・区間塊・可算集合・有限集合など）をすべて要素として持つ豊かな集合族です。

ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)の定義域はルベーグ集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)です。その一方で、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)はルベーグ集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の部分集合です。そこで、ルベーグ測度の定義域をボレル集合族に縮小することにより得られる写像\begin{equation*}\mu :\mathfrak{B}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}をボレル測度（Borel measure）と呼びます。

ボレル測度はルベーグ測度の定義域を縮小することにより得られる写像であるため、ルベーグ測度が持つ性質をそのまま引き継ぎます。念のため以下で確認します。

ボレル測度の非負性

ボレル測度の性質を確認します。ルベーグ測度\(\mu \)は非負の実数もしくは正の無限大を値としてとりますが、ボレル測度はルベーグ測度の定義域をボレル集合族\(\mathfrak{B}\)に縮小したものであるため、ボレル測度もまた非負の実数もしくは正の無限大を値としてとります。つまり、ボレル測度もまた非負性（non-negativity）を満たすということです。

ボレル測度のσ-加法性

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の中から可算個の互いに素なボレル集合を選び、それらを要素とする集合列\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }\)をとります。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は互いに素なボレル集合からなる可算集合列です。その上で、これら可算個の集合の和集合\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}
\end{equation*}をとります。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ボレル測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\sum\limits_{k=1}^{\infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。ただし、右辺は可算個の可測集合の長さから構成される無限級数の和であり、具体的には、部分和\begin{equation*}
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}を項とする数列\(\left\{S_{n}\right\} \)の極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_{n}\)として定義されます。つまり、先の関係を正確に表現すると、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }
\left[ \sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}となります。このような性質を\(\sigma \)-加法性（\(\sigma \)-additivity）と呼びます。

ボレル測度はσ-加法測度

一般に、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が\(\sigma \)-代数であるとともに、関数\(\mu :\mathfrak{A}\rightarrow \mathbb{R} \)が非負性と\(\sigma \)-加法性をともに満たす場合、\(\mu \)を\(\sigma \)-加法測度（\(\sigma \)-additive measure）や可算測度（countable measure）などと呼び、\(\mu \)がそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{A}\)に対して定める値\(\mu \left( A\right) \)を\(A\)の測度（measure）と呼びます。

これまでの議論から明らかになったように、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\sigma \)-代数であり、ボレル測度\(\mu :\mathfrak{B}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は非負性と\(\sigma \)-加法性を満たすため、ボレル測度\(\mu \)は\(\sigma \)-加法測度であるということになります。

ボレル測度のもとでの空集合の測度

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\sigma \)-代数であるため空集合\(\phi \)を要素として持ちます。したがって、ボレル測度\(\mu \)は空集合\(\phi \)の測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( \phi \right) =0
\end{equation*}となります。つまり、空集合の測度は\(0\)です。

ボレル測度の有限加法性

互いに素な有限個のボレル集合を任意に選び、それらを要素とする集合列\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{n}\)をとります。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)は互いに素な可測集合からなる有限集合列です。その上で、これら有限個の集合の和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}をとります。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は有限合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ボレル測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) =\sum_{k=1}^{n}\mu \left(
A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、可測集合を有限個の互いに素な部分に分割したとき、全体の測度は有限個の部分の測度の和と一致するということです。この性質を有限加法性（finite-additivity）と呼びます。

上の命題において\(n=2\)とすることにより以下を得ます。

ボレル測度は区間の長さの拡張

区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだとき、区間の長さ\(m\)はそれに対して\(m\left( I\right) \)を定めます。区間はボレル集合であるため、ボレル測度\(\mu \)もまた先の区間に対して測度\(\mu \left( I\right) \)を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( I\right) =m\left( I\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、区間のボレル測度は区間の長さと一致します。言い換えると、ボレル測度\(\mu \)は区間の長さ\(m\)の拡張であるということです。

ルベーグ測度は区間塊の長さの拡張

区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだとき、区間塊の長さ\(\hat{m}\)はそれに対して\(\hat{m}\left( A\right) \)を定めます。区間塊はボレル集合であるため、ボレル測度\(\mu \)もまた先の区間塊に対して測度\(\mu \left( A\right) \)を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =\hat{m}\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、区間塊のボレル測度は区間塊の長さと一致します。言い換えると、ボレル測度\(\mu \)は区間塊の長さ\(\hat{m}\)の拡張であるということです。

ボレル測度の減法性

ボレル集合\(A,B\)について\(A\subset B\)が成り立つものとします。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\sigma \)-代数であるため差集合について閉じており、したがって差集合\(B\backslash A\)もまたボレル集合です。このとき、この差集合の測度に関して、\begin{equation*}\mu \left( B\backslash A\right) =\mu \left( B\right) -\mu \left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であるとき、差集合\(B\backslash A\)の測度は\(B\)の測度から\(A\)の測度を引くことにより得られるということです。ただし、\(\mu \left( A\right) =+\infty \)の場合、すなわち\(A\)が有界でない場合には上のような差は定義不可能であるため、上の関係は有界な\(A\)に関してのみ成立します。ボレル測度\(\mu \)が満たすこのような性質を減法性（subtractivity）と呼びます。

ボレル測度の単調性

ボレル\(A,B\)について\(A\subset B\)が成り立つ場合には、両者の測度の間に、\begin{equation*}\mu \left( A\right) \leq \mu \left( B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが先の減法性から導かれます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であるとき、\(A\)の測度は\(B\)の測度以下になるということです。ボレル測度\(\mu \)が満たすこのような性質を単調性（monotonicity）と呼びます。

ボレル測度の連続性

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の中から可算個の可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。しかもこの可算個の可測集合の間には、\begin{equation*}A_{k}\subset A_{k+1}\quad \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は増大列であるということです。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ボレル測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{k\rightarrow \infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ボレル測度\(\mu \)が満たすこのような性質を連続性（continuity）と呼びます。

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の中から可算個のボレル集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。しかもこの可算個のボレル集合の間には、\begin{equation*}A_{k+1}\subset A_{k}\quad \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は減少列であるということです。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は可算交叉について閉じているため、\begin{equation*}\bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ボレル測度\(\mu \)は上の共通部分に対しても測度を定めますが、\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }\)の要素であるボレル集合がいずれも有界である場合には、\begin{equation*}\mu \left( \bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{k\rightarrow \infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これもまたボレル測度の連続性と呼ばれる性質です。証明は先の命題と同様です。

ちなみに、ボレル集合からなる集合列\(\left\{A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の中に有界な集合が存在する場合、上の命題中の主張は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

ボレル測度のσ-劣加法性

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)から2つのボレル集合\(A,B\)を任意に選びます。ただし、この2つのボレル集合は互いに素である必要がない点は加法性の前提との違いです。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\sigma \)-代数であるため和集合について閉じており、したがって\(A\cup B\)もまたボレル集合です。このとき、この和集合の測度に関して、\begin{equation*}\mu \left( A\cup B\right) \leq \mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ボレル測度\(\mu \)が満たすこのような性質を劣加法性（subadditivity）と呼びます。

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の中から有限個のボレル集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)で表記します。ただし、この有限個のボレル集合は互いに素である必要がない点は有限加法性の前提との違いです。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は有限合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ボレル測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{n}\mu
\left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ボレル\(\mu \)が満たすこのような性質を有限劣加法性（subadditivity）と呼びます。有限劣加法性は先に示した劣加法性と必要十分であることから（確認してください）、ボレル測度\(\mu \)が有限劣加法性を満たすことが明らかです。

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の中から可算個のボレル集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。ただし、この可算個のボレル集合は互いに素である必要がない点は\(\sigma \)-加法性の前提との違いです。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ボレル測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) \leq
\sum\limits_{k=1}^{\infty }\mu \left( A_{k}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つことが示されます。ただし、右辺は可算個の可測集合の長さから構成される無限級数の和であり、具体的には、\begin{equation*}
\sum\limits_{k=1}^{\infty }\mu \left( A_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}と定義します。つまり、\(\left( 1\right) \)を正確に表現すると、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) \leq \lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}となります。ボレル測度\(\mu \)が満たすこのような性質を\(\sigma \)-劣加法性（\(\sigma \)-subadditivity）と呼びます。

ボレル測度は外測度

ボレル測度\(\mu \)はルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)と同様に、非負性、単調性、\(\sigma \)-劣加法性を満たすとともに\(\mu \left( \phi \right) =0\)を満たすことが明らかになりました。つまり、ボレル測度\(\mu \)もまた外測度としての性質を満たします。