ルベーグ測度の定義

ルベーグ測度

私たちの目標は数直線\(\mathbb{R} \)の部分集合の外延量を測定することですが、まずは\(\mathbb{R} \)上の有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素である区間のみを外延量の測定対象とし、区間の外延量を特定する長さ関数\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を導入した上で、これが\(\sigma \)-加法測度であることを示しました。つまり、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であるとともに、長さ関数\(m\)は非負性と\(\sigma \)-加法性を満たします。さらに、長さ関数\(m\)のカラテオドリ拡張としてルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を構成することにより、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その外延量である外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を測定できるようになりました。ただ、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法測度ではないという問題があります。つまり、\(\mathbb{R} \)上のすべての集合を外延量の測定対象とした場合、「ある集合の外延量は、それを互いに素な部分に分割した場合の各部分の外延量の合計になる」という直感的事実が成り立つとは限らなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすようにするためにはその定義域を縮小すればよいのですが、定義域を縮小しすぎると多くの集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たしつつ、なるべく多くの集合の外延量を測定できるようにするためにはどうすればよいかという問題意識のもと、外測度\(\mu^{\ast }\)の新たな定義域の候補としてルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)と呼ばれる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を導入し、それが\(\sigma \)-代数としての性質を満たすことを示しました。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は空集合\(\phi \)を要素として持つとともに補集合と可算合併について閉じています。以上を踏まえた上で、外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)へ縮小したとき、\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすことを確認します。

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)の定義域をルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に縮小することにより写像をルベーグ測度（Lebesgue measure）と呼び、これを、\begin{equation*}\mu :\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。また、ルベーグ測度\(\mu \)がそれぞれの可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に対して定める外延量\(\mu \left( A\right) \)を\(A\)のルベーグ測度（Lebesgue measure）と呼びます。定義より、それぞれの可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に対して以下の関係\begin{equation*}\mu \left( A\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right)
\end{equation*}が成立します。つまり、可測集合のルベーグ測度とルベーグ外測度は一致します。ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)ではなくルベーグ測度\(\mu \)について議論している場合、その定義域である可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を、\begin{equation*}\mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}と表記できます。ただし、両者は等しい\(\mathbb{R} \)の部分集合族です。

ルベーグ測度の非負性

ルベーグ測度の性質を確認します。ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)は非負の実数もしくは正の無限大を値としてとりますが、ルベーグ測度\(\mu \)はルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に縮小したものであるため、\(\mu \)もまた非負の実数もしくは正の無限大を値としてとります。つまり、ルベーグ測度\(\mu \)もまた非負性（non-negativity）を満たすということです。

ルベーグ測度のσ-加法性

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から可算個の互いに素な可測集合を選び、それらを要素とする集合列\(\left\{A_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)を構成します。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{+\infty }\)は互いに素な可測集合からなる可算集合列です。その上で、これら可算個の集合の和集合\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}をとります。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ち、したがってルベーグ測度\(\mu \)は測度\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right)
\end{equation*}を定めます。しかもこの場合、\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{+\infty }\)の和集合の測度と、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)の要素である個々の集合の測度の間には以下の関係\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right) =\sum\limits_{k=1}^{+\infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。ただし、右辺は可算個の集合の測度から構成される無限級数の和であり、具体的には、部分和\begin{equation*}
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}を項とする数列\(\left\{S_{n}\right\} \)の極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_{n}\)として定義されます。つまり、先の等式を正確に表現すると、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty }
\left[ \sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}となります。このような性質を指して、\(\mu \)は\(\sigma \)-加法性（\(\sigma \)-additivity）を満たすと言います。

互いに素な有限個の可測集合を任意に選び、それらを要素とする集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)を構成します。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)は互いに素な可測集合からなる有限集合列です。その上で、これら有限個の集合の和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}をとります。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は有限合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ち、したがってルベーグ測度\(\mu \)は測度\begin{equation*}\mu \left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right)
\end{equation*}を定めます。しかもこの場合、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)の和集合の測度と、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)の要素である個々の集合の測度の間には以下の関係\begin{equation*}\mu \left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) =\sum_{k=1}^{n}\mu \left(
A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、可測集合を有限個の互いに素な部分に分割した場合、全体の測度は有限個の部分の測度の和と一致するということです。このような性質を指して、\(\mu \)は有限加法性（finite-additivity）を満たすと言います。

互いに素な可測集合\(A,B\)を任意に選んだ上で、これらの和集合\begin{equation*}A\cup B
\end{equation*}をとります。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は和集合について閉じているため、\begin{equation*}A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つため、それに対してルベーグ測度\(\mu \)は測度\begin{equation*}\mu \left( A\cup B\right)
\end{equation*}を定めます。しかもこの場合、和集合\(A\cup B\)の測度と、個々の集合\(A,B\)の測度の間には以下の関係\begin{equation*}\mu \left( A\cup B\right) =\mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、可測集合を2つの互いに素な部分に分割した場合、全体の測度は2つの部分の測度の和と一致するということです。このような性質を指して、\(\mu \)は加法性（additivity）を満たすと言います。

ルベーグ測度はσ-加法測度

集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が\(\sigma \)-代数であるとともに、関数\(\mu :\mathfrak{A}\rightarrow \mathbb{R} \)が非負性と\(\sigma \)-加法性をともに満たす場合、\(\mu \)を\(\sigma \)-加法測度（\(\sigma \)-additive measure）や可算測度（countable measure）などと呼び、\(\mu \)がそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{A}\)に対して定める値\(\mu \left( A\right) \)を\(A\)の測度（measure）と呼びます。

これまでの議論から明らかになったように、ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は\(\sigma \)-代数であり、ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は非負性と\(\sigma \)-加法性を満たすため、ルベーグ測度\(\mu \)は\(\sigma \)-加法測度であるということになります。

ルベーグ測度のもとでの空集合の測度

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は\(\sigma \)-代数であるため空集合\(\phi \)を要素として持ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は空集合\(\phi \)の測度を定めますが、\begin{equation*}\mu \left( \phi \right) =0
\end{equation*}となります。つまり、空集合の測度は\(0\)です。

ルベーグ測度は区間の長さの拡張

区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだとき、区間の長さ関数\(m\)はそれに対して長さ\(m\left( I\right) \)を定めます。区間はルベーグ可測であるため、ルベーグ測度\(\mu \)もまた先の区間に対して測度\(\mu \left( I\right) \)を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( I\right) =m\left( I\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、区間のルベーグ測度は区間の長さと一致します。ルベーグ測度\(\mu \)は区間の長さ関数\(m\)の拡張であるということです。

ルベーグ測度は区間塊の長さの拡張

区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだとき、区間塊の長さ関数\(\hat{m}\)はそれに対して長さ\(\hat{m}\left( I\right) \)を定めます。区間塊はルベーグ可測であるため、ルベーグ測度\(\mu \)もまた先の区間塊に対して測度\(\mu \left( A\right) \)を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =\hat{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、区間塊のルベーグ測度は区間塊の長さと一致します。ルベーグ測度\(\mu \)は区間塊の長さ関数\(\hat{m}\)の拡張であるということです。

ルベーグ測度の減法性

可測集合\(A,B\)について\(A\subset B\)が成り立つものとします。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は\(\sigma \)-代数であるため差集合について閉じており、したがって差集合\(B\backslash A\)もまた可測です。このとき、この差集合の測度に関して、\begin{equation*}\mu \left( B\backslash A\right) =\mu \left( B\right) -\mu \left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であるとき、差集合\(B\backslash A\)の測度は\(B\)の測度から\(A\)の測度を引くことにより得られるということです。ただし、\(\mu \left( A\right) =+\infty \)の場合、すなわち\(A\)が有界でない場合には上のような差は定義不可能であるため、先の関係は有界な\(A\)に関してのみ成立します。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を減法性（subtractivity）と呼びます。

ルベーグ測度の単調性

可測集合\(A,B\)について\(A\subset B\)が成り立つ場合には、両者の測度の間に以下の関係\begin{equation*}\mu \left( A\right) \leq \mu \left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合である場合、\(A\)の測度は\(B\)の測度以下になるということです。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を単調性（monotonicity）と呼びます。

ルベーグ測度の連続性

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から可算個の可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)で表記します。しかもこの可算個の可測集合の間には以下の包含関係\begin{equation*}A_{k}\subset A_{k+1}\quad \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(\left\{A_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)は増大列であるということです。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ち、したがってルベーグ測度\(\mu \)は測度\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right)
\end{equation*}を定めます。しかもこの場合、その値は、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right) =\lim_{k\rightarrow +\infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}として導出可能です。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を連続性（continuity）と呼びます。

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から可算個の可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。しかもこの可算個の可測集合の間には以下の包含関係\begin{equation*}A_{k+1}\subset A_{k}\quad \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(\left\{A_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)は減少列であるということです。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可算交叉について閉じているため、\begin{equation*}\bigcap_{k=1}^{+\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ち、したがってルベーグ測度\(\mu \)は測度\begin{equation*}\mu \left( \bigcap_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right)
\end{equation*}を定めます。しかもこの場合、その値は、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right) =\lim_{k\rightarrow +\infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}として導出可能です。これもまた連続性と呼ばれるルベーグ測度\(\mu \)の性質です。証明は先の命題と同様です。

可測集合族\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{+\infty }\)の中に有界ではない集合が存在する場合、先の命題の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

ルベーグ測度のσ-劣加法性

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)から2つの可測集合\(A,B\)を任意に選びます。ただし、この2つの可測集合は互いに素であるとは限りません。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は\(\sigma \)-代数であるため和集合について閉じており、したがって\(A\cup B\)もまた可測です。このとき、この和集合の測度に関して、\begin{equation*}\mu \left( A\cup B\right) \leq \mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を劣加法性（subadditivity）と呼びます。

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から有限個の可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)で表記します。ただし、これらの可測集合は互いに素であるとは限りません。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は有限合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{n}\mu
\left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を有限劣加法性（subadditivity）と呼びます。

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から可算個の可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)で表記します。ただし、この可算個の可測集合は互いに素であるとは限りません。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right) \leq
\sum\limits_{k=1}^{+\infty }\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right) \leq \lim_{n\rightarrow
+\infty }\sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を\(\sigma \)-劣加法性（\(\sigma \)-subadditivity）と呼びます。

ルベーグ測度は外測度

ルベーグ測度\(\mu \)はルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)と同様に、非負性、単調性、\(\sigma \)-劣加法性を満たすとともに\(\mu \left( \phi\right) =0\)を満たすことが明らかになりました。つまり、ルベーグ測度\(\mu \)もまた外測度としての性質を満たします。

演習問題