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ルベーグ測度

区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張としてルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を構成することにより、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\in 2^{\mathbb{R} }\)について、その外延量である外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を測定できるようになりました。ただ、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法測度ではないという問題があります。つまり、\(\mathbb{R} \)上のすべての点集合を外延量の測定対象とした場合、「ある点集合の外延量は、それを互いに素な部分に分割した場合の各部分の外延量の合計になる」という直感的事実が成り立つとは限らなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすようにするためにはその定義域を縮小すればよいのですが、定義域を縮小しすぎると多くの点集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たしつつ、なるべく多くの点集合の外延量を測定できるようにするためにはどうすればよいかという問題意識のもと、外測度\(\mu ^{\ast }\)の新たな定義域の候補としてルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)と呼ばれる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を導入し、それが\(\sigma \)-代数としての性質を満たすことを示しました。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は空集合\(\phi \)を要素として持つとともに補集合と可算合併について閉じています。以上を踏まえた上で、外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)へ縮小したとき、\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすことを確認しましょう。

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)の定義域をルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に縮小して得られる写像をルベーグ測度(Lebesgue measure)と呼び、これを、\begin{equation*}
\mu :\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。また、ルベーグ測度\(\mu \)がそれぞれの可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に対して与える外延量\(\mu \left( A\right) \)を\(A\)のルベーグ測度(Lebesgue measure)と呼びます。定義より、それぞれの可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に対して、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成立します。つまり、可測集合のルベーグ測度とルベーグ外測度は一致します。ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)ではなくルベーグ測度\(\mu \)について議論している場合、その定義域である可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を\(\mathfrak{M}_{\mu }\)と表記する場合もあります。ただ、両者は等しい\(\mathbb{R} \)の部分集合族です。

 

ルベーグ測度は区間の長さの拡張

復習になりますが、ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の拡張であり、任意の区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)に対して、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( I\right) =m\left( I\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ルベーグ測度\(\mu \)は外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に制限したものですが、任意の区間は可測集合であり、\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}という関係が成り立つため、結局、任意の区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)に対して、\begin{equation*}
\mu \left( I\right) =m\left( I\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ルベーグ測度\(\mu \)は区間の長さ\(m\)の拡張です。

命題(ルベーグ測度は区間の長さの拡張)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の拡張である。すなわち、\begin{equation*}
\forall I\in \mathfrak{S}_{m}:\mu \left( I\right) =m\left( I\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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ルベーグ測度は区間塊の長さの拡張

復習になりますが、ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の拡張であり、任意の区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に対して、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) =\hat{m}\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ルベーグ測度\(\mu \)は外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に制限したものですが、任意の区間塊は可測集合であり、\begin{equation*}
\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast
}}
\end{equation*}という関係が成り立つため、結局、任意の区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に対して、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) =\hat{m}\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ルベーグ測度\(\mu \)は区間塊の長さ\(\hat{m}\)の拡張です。

命題(ルベーグ測度は区間塊の長さの拡張)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の拡張である。すなわち、\begin{equation*}
\forall A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) :\mu \left( A\right)
=\hat{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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ルベーグ測度は\(\sigma \)-加法測度

ルベーグ測度の性質を確認します。ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)は非負の実数もしくは正の無限大を値としてとりますが、ルベーグ測度\(\mu \)はルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を縮小したものであるため、\(\mu \)もまた非負の実数もしくは正の無限大を値としてとります。つまり、ルベーグ測度\(\mu \)もまた非負性(non-negativity)を満たすということです。

命題(ルベーグ測度は非負性を満たす)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は非負性を満たす。
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互いに素な2つの可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は和集合について閉じているため、\begin{equation*}
A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}
\mu \left( A\cup B\right) =\mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、可測集合を2つの互いに素な部分に分割したとき、全体の測度は2つの部分の測度の和と一致するということです。この性質を加法性(additivity)と呼びます。証明は以下の通りです。

互いに素な可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだ上で、以下の点集合\begin{equation*}
\mathbb{R} \cap \left( A\cup B\right) \in 2^{\mathbb{R} }
\end{equation*}を構成します。仮定より\(A\)はルベーグ可測であるため、可測性の定義より、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \mathbb{R} \cap \left( A\cup B\right) \right) =\mu ^{\ast }\left( \left( \mathbb{R} \cap \left( A\cup B\right) \right) \cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( \left( \mathbb{R} \cap \left( A\cup B\right) \right) \cap A^{c}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right) +\mu ^{\ast
}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mu ^{\ast }\)はルベーグ外測度です。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は和集合について閉じているため\(A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)となります。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)の定義より、\begin{equation*}
\mu \left( A\cup B\right) =\mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

命題(ルベーグ測度は加法性を満たす)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は加法性を満たす。すなわち、互いに素なルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\mu \left( A\cup B\right) =\mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から有限個の互いに素な可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)で表記します。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)は互いに素な可測集合からなる有限集合列です。その上で、これら有限個の集合の和集合をとります。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は有限合併について閉じているため、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) =\sum_{k=1}^{n}\mu \left(
A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、可測集合を有限個の互いに素な部分に分割したとき、全体の測度は有限個の部分の測度の和と一致するということです。この性質を有限加法性(finite-additivity)と呼びます。有限加法性は先に示した加法性と必要十分であることから(確認してください)、ルベーグ測度\(\mu\)が有限加法性を満たすことが明らかです。

命題(ルベーグ測度は有限加法性を満たす)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は有限加法性を満たす。すなわち、有限個の互いに素なルベーグ可測集合からなる集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{m}\subset \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right) =\sum\limits_{k=1}^{n}\mu \left(
A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から可算個の互いに素な可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は互いに素な可測集合からなる可算集合列です。その上で、これら可算個の集合の和集合をとります。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}
\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\sum\limits_{k=1}^{\infty
}\mu \left( A_{k}\right) \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立つことが示されます。ただし、右辺は可算個の可測集合の長さから構成される無限級数の和であり、具体的には、\begin{equation*}
\sum\limits_{k=1}^{\infty }\mu \left( A_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}と定義します。つまり、\(\left( 1\right) \)を正確に表現すると、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }
\left[ \sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}となります。この性質を\(\sigma \)-加法性(\(\sigma \)-additivity)と呼びます。証明には先に示した有限加法性を利用します(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(ルベーグ測度はσ-加法性を満たす)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は\(\sigma \)-加法性を満たす。すなわち、可算個の互いに素なルベーグ可測集合からなる集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\sum\limits_{k=1}^{\infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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一般に、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)上に関数\(\mu :\mathfrak{A}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義されており、これが非負性と\(\sigma \)-加法性をともに満たす場合、\(\mu \)を\(\sigma \)-加法測度(\(\sigma \)-additive measure)や可算測度(countable measure)などと呼び、\(\mu \)がそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{A}\)に対して定める値\(\mu \left( A\right) \)を\(A\)の測度(measure)と呼びます。

これまでの議論から明らかになったように、ルベーグ測度\(\mu \)はルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数であり、非負性と\(\sigma \)-加法性をともに満たします。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は\(\sigma \)-加法測度であるということです。

命題(ルベーグ測度はσ-加法測度)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は\(\sigma \)-加法測度である。
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ルベーグ測度のもとでの空集合の測度

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は\(\sigma \)-代数であるため空集合\(\phi \)を要素として持ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は空集合\(\phi \)の測度を定めますが、このとき、\begin{eqnarray*}
\mu \left( \phi \right) &=&\mu ^{\ast }\left( \phi \right) \quad \because
\mu \text{の定義} \\
&=&0\quad \because \mu ^{\ast }\text{の性質}
\end{eqnarray*}となります。

命題(ルベーグ測度のもとでの空集合の測度)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)のもとで、\begin{equation*}
\mu \left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
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ルベーグ測度の減法性

可測集合\(A,B\)について\(A\subset B\)が成り立つものとします。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は\(\sigma \)-代数であるため差集合について閉じており、したがって差集合\(B\backslash A\)もまた可測です。このとき、この差集合の測度に関して、\begin{equation*}
\mu \left( B\backslash A\right) =\mu \left( B\right) -\mu \left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であるとき、差集合\(B\backslash A\)の測度は\(B\)の測度から\(A\)の測度を引くことにより得られるということです。ただし、\(\mu \left( A\right) =+\infty \)の場合、すなわち\(A\)が有界でない場合には上のような差は定義不可能であるため、上の関係は有界な\(A\)に関してのみ成立します。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を減法性(subtractivity)と呼びます。証明は以下の通りです。

可測集合\(A,B\)について\(A\subset B\)と\(\mu \left( A\right) <+\infty \)がともに成り立つものとします。このとき、\begin{equation*}
B=A\cup \left( B/A\right)
\end{equation*}という関係が成立しますが、\(A\)と\(B/A\)は互いに素な可測集合であるため、ルベーグ測度\(\mu \)の有限可測性より、\begin{equation*}
\mu \left( B\right) =\mu \left( A\right) +\mu \left( B\backslash A\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mu \left( B\backslash A\right) =\mu \left( B\right) -\mu \left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。ちなみに、仮定より\(\mu \left( A\right) <+\infty \)であるため、上の差は常に定義可能です。

命題(ルベーグ測度の減法性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は減法性を満たす。すなわち、ルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\subset B \\
&&\left( b\right) \ \mu \left( A\right) <+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\begin{equation*}
\mu \left( B\backslash A\right) =\mu \left( B\right) -\mu \left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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ルベーグ測度の単調性

可測集合\(A,B\)について\(A\subset B\)が成り立つ場合には、両者の測度の間に、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) \leq \mu \left( B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが先の減法性から導かれます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であるとき、\(A\)の測度は\(B\)の測度以下になるということです。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を単調性(monotonicity)と呼びます。証明は以下の通りです。

可測集合\(A,B\)について\(A\subset B\)が成り立つものとします。\(B\)が有界でない場合、ルベーグ測度\(\mu \)の定義より、\begin{equation*}
\mu \left( B\right) =+\infty
\end{equation*}となるため、この場合には\(\mu \left( A\right) \leq \mu \left( B\right) \)が明らかに成り立ちます。そこで以下では\(B\)が有界である場合について考えます。\(A\subset B\)であるため\(A\)も有界であり、したがって\(\mu \left( A\right) <+\infty \)が成り立ちます。つまり、ルベーグ測度\(\mu \)の減法性を適用するための条件が満たされるため、\begin{equation*}
\mu \left( B\backslash A\right) =\mu \left( B\right) -\mu \left( A\right)
\end{equation*}を得ます。さらに、\(\mu\)の非負性より\(\mu \left( B\backslash A\right) \geq 0\)が成り立つことをであることを踏まえると、\begin{equation*}
\mu \left( B\right) -\mu \left( A\right) \geq 0
\end{equation*}すなわち\(\mu \left( A\right) \leq \mu \left( B\right) \)であることが明らかになりました。

命題(ルベーグ測度の単調性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は単調性を満たす。すなわち、ルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\subset B\Rightarrow \mu \left( A\right) \leq \mu \left( B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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ルベーグ測度の連続性

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から可算個の可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。しかもこの可算個の可測集合の間には、\begin{equation*}
A_{k}\subset A_{k+1}\quad \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は増大列であるということです。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}
\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{k\rightarrow \infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を連続性(continuity)と呼びます(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(ルベーグ測度の連続性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は連続性を満たす。可算個のルベーグ可測集合からなる集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A_{k}\subset A_{k+1}\quad \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{k\rightarrow \infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から可算個の可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。しかもこの可算個の可測集合の間には、\begin{equation*}
A_{k+1}\subset A_{k}\quad \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は減少列であるということです。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可算交叉について閉じているため、\begin{equation*}
\bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の共通部分に対しても測度を定めますが、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の要素である可測集合がいずれも有界である場合には、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{k\rightarrow \infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これもまたルベーグ測度の連続性と呼ばれる性質です(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(ルベーグ測度の連続性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は連続性を満たす。可算個の有界なルベーグ可測集合からなる集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A_{k+1}\subset A_{k}\quad \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{k\rightarrow \infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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ちなみに、可測集合族\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の中に有界な集合が存在する場合、上の命題中の主張は成り立つとは限りません。これは以下の例から明らかです。

例(ルベーグ測度の連続性)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)を、任意の\(k\)について、\begin{equation*}
A_{k}=[k,+\infty )
\end{equation*}と定義します。任意の区間はルベーグ可測であるため、この\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)はルベーグ可測な集合からなる列です。しかも定義より、任意の\(k\)について、\begin{equation*}
A_{k+1}=[k+1,+\infty )\subset \lbrack k,+\infty )=A_{k}
\end{equation*}が成り立つため、この\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は減少列です。ただ、\(A_{k}\)は有界ではないため、ルベーグ測度\(\mu \)の定義より、\begin{equation*}
\forall k\in \mathbb{N} :\mu \left( A_{k}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation}
\lim_{k\rightarrow \infty }\mu \left( A_{k}\right) =+\infty \tag{1}
\end{equation}が明らかに成り立ちます。一方、\begin{eqnarray*}
\mu \left( \bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) &=&\mu \left(
\bigcap_{k=1}^{\infty }[k,+\infty )\right) \quad \because A_{k}\text{の定義} \\
&=&\mu \left( \phi \right) \\
&=&0\quad \because \mu \left( \phi \right) =0
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\left( 1\right) \)と一致しません。

 

ルベーグ測度の\(\sigma \)-劣加法性

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)から2つの可測集合\(A,B\)を任意に選びます。ただし、この2つの可測集合は互いに素である必要がない点は加法性の前提との違いです。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は\(\sigma \)-代数であるため和集合について閉じており、したがって\(A\cup B\)もまた可測です。このとき、この和集合の測度に関して、\begin{equation*}
\mu \left( A\cup B\right) \leq \mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を劣加法性(subadditivity)と呼びます。証明は以下の通りです。

可測集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
A &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( A\cap B\right) \\
B &=&\left( B\backslash A\right) \cup \left( A\cap B\right) \\
A\cup B &=&\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right) \cup
\left( A\cap B\right)
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は共通部分や和集合、差集合などについて閉じているため、上の集合はいずれも可測です。すると、ルベーグ測度\(\mu \)の有限加法性より、\begin{eqnarray*}
\mu \left( A\right) &=&\mu \left( A\backslash B\right) +\mu \left( A\cap
B\right) \\
\mu \left( B\right) &=&\mu \left( B\backslash A\right) +\mu \left( A\cap
B\right) \\
\mu \left( A\cup B\right) &=&\mu \left( A\backslash B\right) +\mu \left(
B\backslash A\right) +\mu \left( A\cap B\right)
\end{eqnarray*}などが成り立つため、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) +\mu \left( B\right) -\mu \left( A\cup B\right) =\mu
\left( A\cap B\right)
\end{equation*}を得ます。すると、\(\mu\)の非負性より\(\mu \left( A\cap B\right) \geq 0\)すなわち、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) +\mu \left( B\right) -\mu \left( A\cup B\right) \geq 0
\end{equation*}を得るため、これを変形することにより、\begin{equation*}
\mu \left( A\cup B\right) \leq \mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)
\end{equation*}であることが示されました。

命題(ルベーグ測度の劣加法性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は劣加法性を満たす。すなわち、ルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\mu \left( A\cup B\right) \leq \mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から有限個の可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)で表記します。ただし、この有限個の可測集合は互いに素である必要がない点は有限加法性の前提との違いです。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は有限合併について閉じているため、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) \leq \sum_{k=1}^{n}\mu
\left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を有限劣加法性(subadditivity)と呼びます。有限劣加法性は先に示した劣加法性と必要十分であることから(確認してください)、ルベーグ測度\(\mu \)が有限劣加法性を満たすことが明らかです。

命題(ルベーグ測度の有限劣加法性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は有限列加法性を満たす。すなわち、有限個のルベーグ可測集合からなる集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{m}\subset \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right) \leq \sum\limits_{k=1}^{n}\mu
\left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から可算個の可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。ただし、この可算個の可測集合は互いに素である必要がない点は\(\sigma \)-加法性の前提との違いです。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}
\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) \leq
\sum\limits_{k=1}^{\infty }\mu \left( A_{k}\right) \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立つことが示されます。ただし、右辺は可算個の可測集合の長さから構成される無限級数の和であり、具体的には、\begin{equation*}
\sum\limits_{k=1}^{\infty }\mu \left( A_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}と定義します。つまり、\(\left( 1\right) \)を正確に表現すると、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) \leq \lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}となります。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を\(\sigma \)-劣加法性(\(\sigma \)-subadditivity)と呼びます。証明は以下の通りです。

可算個の可測集合からなる列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)が与えられたとき、そこから新たな集合列\(\left\{ B_{n}\right\} _{n=1}^{\infty }\)を、\begin{equation}
B_{n}=\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k} \tag{2}
\end{equation}と定義します。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可算合併について閉じているため、上のように定義された\(B_{n}\)また可測集合であるとともに\(\left\{ B_{n}\right\} _{n=1}^{\infty }\)は増大列です。さらに、\begin{equation}
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty }B_{n}
\tag{3}
\end{equation}が明らかに成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) &=&\mu \left(
\bigcup\limits_{n=1}^{\infty }B_{n}\right) \quad \because \left( 3\right)
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\mu \left( B_{n}\right) \quad \because \mu
\text{の連続性} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\mu \left(
\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&\leq &\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}\mu \left(
A_{k}\right) \right] \quad \because \mu \text{の有限劣加法性} \\
&=&\sum_{k=1}^{\infty }\mu \left( A_{k}\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

命題(ルベーグ測度のσ-劣加法性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は\(\sigma \)-劣加法性を満たす。すなわち、可算個のルベーグ可測集合からなる集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) \leq
\sum\limits_{k=1}^{\infty }\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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ルベーグ測度\(\mu \)はルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)と同様に、非負性、単調性、\(\sigma \)-劣加法性を満たすとともに\(\mu \left( \phi \right) =0\)を満たすことが明らかになりました。つまり、ルベーグ測度\(\mu \)もまた外測度としての性質を満たします。

命題(ルベーグ測度は外測度)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は外測度である。すなわち、\(\mu \)は非負性、単調性、\(\sigma \)-劣加法性を満たすとともに\(\mu \left( \phi \right) =0\)が成り立つ。
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次回からルベーグ測度関数について学びます。

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