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ルベーグ測度

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ルベーグ測度

区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張としてルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を構成することにより、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その外延量である外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を測定できるようになりました。ただ、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法測度ではないという問題があります。つまり、\(\mathbb{R} \)上のすべての点集合を外延量の測定対象とした場合、「ある点集合の外延量は、それを互いに素な部分に分割した場合の各部分の外延量の合計になる」という直感的事実が成り立つとは限らなくなってしまいます。外測度\(\mu^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすようにするためにはその定義域を縮小すればよいのですが、定義域を縮小しすぎると多くの点集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たしつつ、なるべく多くの点集合の外延量を測定できるようにするためにはどうすればよいかという問題意識のもと、外測度\(\mu ^{\ast }\)の新たな定義域の候補としてルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)と呼ばれる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を導入し、それが\(\sigma \)-代数としての性質を満たすことを示しました。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は空集合\(\phi \)を要素として持つとともに補集合と可算合併について閉じています。以上を踏まえた上で、外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)へ縮小したとき、\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすことを確認します。

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)の定義域をルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に縮小して得られる写像をルベーグ測度(Lebesgue measure)と呼び、これを、\begin{equation*}\mu :\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。また、ルベーグ測度\(\mu \)がそれぞれの可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に対して与える外延量\(\mu \left( A\right) \)を\(A\)のルベーグ測度(Lebesgue measure)と呼びます。定義より、それぞれの可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に対して、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成立します。つまり、可測集合のルベーグ測度とルベーグ外測度は一致します。ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)ではなくルベーグ測度\(\mu \)について議論している場合、その定義域である可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)を\(\mathfrak{M}_{\mu }\)と表記する場合もあります。ただ、両者は等しい\(\mathbb{R} \)の部分集合族です。

 

ルベーグ測度の非負性

ルベーグ測度の性質を確認します。ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)は非負の実数もしくは正の無限大を値としてとりますが、ルベーグ測度\(\mu \)はルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に縮小したものであるため、\(\mu \)もまた非負の実数もしくは正の無限大を値としてとります。つまり、ルベーグ測度\(\mu \)もまた非負性(non-negativity)を満たすということです。

命題(ルベーグ測度は非負性を満たす)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は非負性を満たす。

 

ルベーグ測度のσ-加法性

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から可算個の互いに素な可測集合を選び、それらを要素とする集合列\(\left\{A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)をとります。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }\)は互いに素な可測集合からなる可算集合列です。その上で、これら可算個の集合の和集合\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}
\end{equation*}をとります。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\sum\limits_{k=1}^{\infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。ただし、右辺は可算個の可測集合の長さから構成される無限級数の和であり、具体的には、部分和\begin{equation*}
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}を項とする数列\(\left\{S_{n}\right\} \)の極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_{n}\)として定義されます。つまり、先の関係を正確に表現すると、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }
\left[ \sum_{k=1}^{n}\mu \left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}となります。このような性質を\(\sigma \)-加法性(\(\sigma \)-additivity)と呼びます。

命題(ルベーグ測度はσ-加法性を満たす)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は\(\sigma \)-加法性を満たす。すなわち、互いに素なルベーグ可測集合からなる可算集合列\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\sum\limits_{k=1}^{\infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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ルベーグ測度はσ-加法測度

一般に、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が\(\sigma \)-代数であるとともに、関数\(\mu :\mathfrak{A}\rightarrow \mathbb{R} \)が非負性と\(\sigma \)-加法性をともに満たす場合、\(\mu \)を\(\sigma \)-加法測度(\(\sigma \)-additive measure)や可算測度(countable measure)などと呼び、\(\mu \)がそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{A}\)に対して定める値\(\mu \left( A\right) \)を\(A\)の測度(measure)と呼びます。

これまでの議論から明らかになったように、ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は\(\sigma \)-代数であり、ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は非負性と\(\sigma \)-加法性を満たすため、ルベーグ測度\(\mu \)は\(\sigma \)-加法測度であるということになります。

命題(ルベーグ測度は(protectsigma )-加法測度)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は\(\sigma \)-加法測度である。

 

ルベーグ測度のもとでの空集合の測度

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は\(\sigma \)-代数であるため空集合\(\phi \)を要素として持ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は空集合\(\phi \)の測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( \phi \right) =0
\end{equation*}となります。つまり、空集合の測度は\(0\)です。

命題(ルベーグ測度のもとでの空集合の測度)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)のもとで、\begin{equation*}\mu \left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

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ルベーグ測度の有限加法性

ルベーグ測度\(\mu \)が\(\sigma \)-加法測度であることを示す際には\(\mu \)の定義や外測度\(\mu ^{\ast }\)の性質などを用いましたが、\(\mu \)が\(\sigma \)-加法測度であることが明らかになれば、\(\mu \)が満たすその他の性質はいずれも\(\mu \)が\(\sigma \)-加法測度であるという事実から導出可能です。以下ではそのような性質をいくつか提示します。

互いに素な有限個の可測集合を任意に選び、それらを要素とする集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)をとります。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)は互いに素な可測集合からなる有限集合列です。その上で、これら有限個の集合の和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}をとります。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は有限合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) =\sum_{k=1}^{n}\mu \left(
A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、可測集合を有限個の互いに素な部分に分割したとき、全体の測度は有限個の部分の測度の和と一致するということです。この性質を有限加法性(finite-additivity)と呼びます。

命題(ルベーグ測度の有限加法性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は有限加法性を満たす。すなわち、互いに素なルベーグ可測集合からなる有限集合族\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) =\sum_{k=1}^{n}\mu \left(
A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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上の命題において\(n=2\)とすることにより以下を得ます。

命題(ルベーグ測度の加法性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は加法性を満たす。すなわち、互いに素なルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\mu \left( A\cup B\right) =\mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

 

ルベーグ測度は区間の長さの拡張

区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだとき、区間の長さ\(m\)はそれに対して\(m\left( I\right) \)を定めます。区間はルベーグ可測であるため、ルベーグ測度\(\mu \)もまた先の区間に対して測度\(\mu \left( I\right) \)を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( I\right) =m\left( I\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、区間のルベーグ測度は区間の長さと一致します。言い換えると、ルベーグ測度\(\mu \)は区間の長さ\(m\)の拡張であるということです。

命題(ルベーグ測度は区間の長さの拡張)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の拡張である。すなわち、\begin{equation*}\forall I\in \mathfrak{S}_{m}:\mu \left( I\right) =m\left( I\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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ルベーグ測度は区間塊の長さの拡張

区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだとき、区間塊の長さ\(\hat{m}\)はそれに対して\(\hat{m}\left( A\right) \)を定めます。区間塊ルベーグ可測であるため、ルベーグ測度\(\mu \)もまた先の区間塊に対して測度\(\mu \left( A\right) \)を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =\hat{m}\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、区間塊のルベーグ測度は区間塊の長さと一致します。言い換えると、ルベーグ測度\(\mu \)は区間塊の長さ\(\hat{m}\)の拡張であるということです。

命題(ルベーグ測度は区間塊の長さの拡張)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の拡張である。すなわち、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) :\mu \left( A\right)
=\hat{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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ルベーグ測度の減法性

可測集合\(A,B\)について\(A\subset B\)が成り立つものとします。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は\(\sigma \)-代数であるため差集合について閉じており、したがって差集合\(B\backslash A\)もまた可測です。このとき、この差集合の測度に関して、\begin{equation*}\mu \left( B\backslash A\right) =\mu \left( B\right) -\mu \left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であるとき、差集合\(B\backslash A\)の測度は\(B\)の測度から\(A\)の測度を引くことにより得られるということです。ただし、\(\mu \left( A\right) =+\infty \)の場合、すなわち\(A\)が有界でない場合には上のような差は定義不可能であるため、上の関係は有界な\(A\)に関してのみ成立します。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を減法性(subtractivity)と呼びます。

命題(ルベーグ測度の減法性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は減法性を満たす。すなわち、ルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset B \\
&&\left( b\right) \ \mu \left( A\right) <+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\begin{equation*}
\mu \left( B\backslash A\right) =\mu \left( B\right) -\mu \left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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ルベーグ測度の単調性

可測集合\(A,B\)について\(A\subset B\)が成り立つ場合には、両者の測度の間に、\begin{equation*}\mu \left( A\right) \leq \mu \left( B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが先の減法性から導かれます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分集合であるとき、\(A\)の測度は\(B\)の測度以下になるということです。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を単調性(monotonicity)と呼びます。

命題(ルベーグ測度の単調性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は単調性を満たす。すなわち、ルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow \mu \left( A\right) \leq \mu \left( B\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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ルベーグ測度の連続性

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から可算個の可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。しかもこの可算個の可測集合の間には、\begin{equation*}A_{k}\subset A_{k+1}\quad \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は増大列であるということです。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の和集合に対しても測度を定めますが、このとき、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{k\rightarrow \infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ルベーグ測度\(\mu \)が満たすこのような性質を連続性(continuity)と呼びます。

命題(ルベーグ測度の連続性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は連続性を満たす。すなわち、可算個のルベーグ可測集合からなる集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A_{k}\subset A_{k+1}\quad \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{k\rightarrow \infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の中から可算個の可測集合を選び、それらからなる集合族を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。しかもこの可算個の可測集合の間には、\begin{equation*}A_{k+1}\subset A_{k}\quad \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は減少列であるということです。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可算交叉について閉じているため、\begin{equation*}\bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ルベーグ測度\(\mu \)は上の共通部分に対しても測度を定めますが、\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }\)の要素である可測集合がいずれも有界である場合には、\begin{equation*}\mu \left( \bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{k\rightarrow \infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これもまたルベーグ測度の連続性と呼ばれる性質です。証明は先の命題と同様です。

命題(ルベーグ測度の連続性)
ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は連続性を満たす。すなわち、可算個の有界なルベーグ可測集合からなる集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty}\subset \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A_{k+1}\subset A_{k}\quad \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{k\rightarrow \infty
}\mu \left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

ちなみに、可測集合族\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の中に有界な集合が存在する場合、上の命題中の主張は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

例(ルベーグ測度の連続性)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }\)を、任意の\(k\)について、\begin{equation*}A_{k}=[k,+\infty )
\end{equation*}と定義します。任意の区間はルベーグ可測であるため、この\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)はルベーグ可測な集合からなる列です。しかも定義より、任意の\(k\)について、\begin{equation*}A_{k+1}=[k+1,+\infty )\subset \lbrack k,+\infty )=A_{k}
\end{equation*}が成り立つため、この\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は減少列です。ただ、\(A_{k}\)は有界ではないため、ルベーグ測度\(\mu \)の定義より、\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{N} :\mu \left( A_{k}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation}
\lim_{k\rightarrow \infty }\mu \left( A_{k}\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が明らかに成り立ちます。一方、\begin{eqnarray*}
\mu \left( \bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) &=&\mu \left(
\bigcap_{k=1}^{\infty }[k,+\infty )\right) \quad \because A_{k}\text{の定義} \\
&=&\mu \left( \phi \right) \\
&=&0\quad \because \mu \left( \phi \right) =0
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\left( 1\right) \)と一致しません。

 

ルベーグ測度のσ-劣加法性

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)から2つの可測集合\(A,B\)を任意に選びます。ただし、この2つの可測集合は互いに素である必要がな