ルベーグ可測集合の定義と具体例

ルベーグ外測度が抱える問題

私たちの目標は数直線\(\mathbb{R} \)の部分集合の外延量を測定することですが、まずは\(\mathbb{R} \)上の有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素である区間のみを外延量の測定対象とし、区間の外延量を特定する長さ関数\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を導入した上で、これが\(\sigma \)-加法測度であることを示しました。つまり、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であるとともに、長さ関数\(m\)は非負性と\(\sigma \)-加法性を満たします。

ただし、数直線\(\mathbb{R} \)上には有界な区間というクラスには属さない集合が存在します。そこで、長さ関数\(m\)のカラテオドリ拡張としてルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を構成することにより、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その外延量である外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を測定できるようになりました。ただ、外測度は集合の外延量として十分な正確性を備えているとは言えません。なぜなら、外測度の定義、すなわちカラテオドリ拡張に関する議論から明らかであるように、集合\(A\)の外測度を導出する際には\(A\)を覆う可算区間列\(\left\{I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)に属するすべての区間の長さの総和をその候補としているため、外測度\(\mu^{\ast }\left( A\right) \)は\(A\)の真の外延量よりも多めに見積もられている可能性があるからです。実際、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法性を満たさないため、「ある集合の外延量は、その集合を互いに素な部分へ分割した場合の各部分の外延量の合計になる」という直感的事実が成り立つとは限りません。

一方、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)上に定義された長さ関数\(m\)や、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)上に定義された区間塊の長さ関数\(\hat{m}\)はともに\(\sigma \)-加法性を満たします。外測度\(\mu ^{\ast }\)は区間の長さ関数\(m\)や区間塊の長さ関数\(\hat{m}\)の拡張であるため、\(\mu^{\ast }\)の定義域を\(\mathfrak{S}_{m}\)や\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に縮小すれば\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法性を満たします。ただ、この場合、区間や区間塊などよりも広いクラスの集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たすようにするためには定義域を縮小すればよいのですが、定義域を縮小しすぎると多くの集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たしつつ、なるべく多くの集合の外延量を測定できるようにするためにはどうすればよいのでしょうか。以下ではこのような問題意識のもとで議論を行います。

ルベーグ可測集合

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)と集合\(A\subset \mathbb{R} \)が与えられているものとします。このとき、任意の集合\(S\subset \mathbb{R} \)に対して以下の条件\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(A\)をルベーグ可測集合（Lebesgue measurable set）や可測集合（measurable set）などと呼びます。集合\(A\)がルベーグ可測であるためには、それに対して先の条件を満たす集合\(S\)が存在することを示しただけでは不十分であり、任意の集合\(S\)が先の条件を満たすことを示す必要があります。集合の可測性を特徴づける先の条件をカラテオドリの条件（Carathéodory’scriterion）と呼びます。

集合\(A\)が与えられているものとします。別の集合\(S\)を持ってきたとき、これは\(A\)を用いて2つの部分に分割可能です。1つ目は\(A\)と交わる部分\(S\cap A\)であり、2つ目は\(A\)と交わらない部分\(S\cap A^{c}\)です。その上で、\(S\)の外測度\(\mu ^{\ast }\left(S\right) \)と、\(S\)を先のように分割して得られる2つの部分の外測度の和\(\mu^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right) \)をそれぞれ導出したとき、直感的には両者は一致するはずです。集合\(A\)が可測であることとは、これを用いてどのような集合を2つに分割した場合でも、先の直感的事実が成り立つことを意味します。

カラテオドリの条件についてもう少し考察します。ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)は劣加法性を満たす一方で加法性を満たさないため、以下の条件\begin{equation}\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) <\mu ^{\ast }\left( A\right) +\mu ^{\ast
}\left( B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす互いに素な集合\(A,B\)が存在する可能性があります。集合\(A\cup B\)を2つの集合\(A,B\)に分割した場合、\(A\)と\(B\)の外測度の和が\(A\cup B\)の外測度を上回ってしまうということです。これは\(\mathbb{R} \)上の任意の集合を外延量の計測対象とした場合に発生する問題です。では、可測集合、すなわちカラテオドリの条件を満たす集合のみを外測度の計測対象とした場合にはどうなるでしょうか。\(A\)が可測集合であり、\(B\)は\(A\)と互いに素であるものとします。このとき、可測集合の定義より、集合\(A\cup B\)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) =\mu ^{\ast }\left( \left( A\cup B\right)
\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( \left( A\cup B\right) \cap A^{c}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right) +\mu ^{\ast
}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(1\right) \)が成り立つような状況の回避に成功しています。

ルベーグ可測であるような集合の例をいくつか挙げましたが、逆に、ルベーグ可測ではない集合、すなわちカラテオドリの条件を満たさない集合は\(\mathbb{R} \)上に存在するのでしょうか。実際、\(\mathbb{R} \)上にはルベーグ可測ではない集合が存在し、それを具体的に構成できるのですが、詳細は必要な道具が揃った段階で解説します。

\(\mathbb{R} \)上の集合の中でもルベーグ可測であるような集合をすべて集めることにより得られる\(\mathbb{R} \)の部分集合族をルベーグ可測集合族（family of Lebesgue measurable sets）や可測集合族（family of measurable sets）などと呼び、これを、\begin{equation*}\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の集合\(A\subset \mathbb{R} \)について以下の関係\begin{equation*}A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\Leftrightarrow \forall S\in 2^{\mathbb{R} }:\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mu ^{\ast }\)はルベーグ外測度です。

カラテオドリの条件の言い換え

カラテオドリの条件、すなわち可測集合の定義は様々な形に言い換え可能です。

集合\(A\subset \mathbb{R} \)が与えられているものとします。このとき、\(A\)の任意の部分集合\(B\)と\(A^{c}\)の任意の部分集合\(B^{\prime }\)に対して以下の条件\begin{equation}\mu ^{\ast }\left( B\cup B^{\prime }\right) =\mu ^{\ast }\left( B\right)
+\mu ^{\ast }\left( B^{\prime }\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは、\(A\)が可測であるための必要十分条件です。

集合\(A\subset \mathbb{R} \)がルベーグ可測であることとは、任意の集合\(S\subset \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、この定義に登場する集合の間には以下の関係\begin{equation}
S=\left( S\cap A\right) \cup \left( S\cap A^{c}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、このとき、\begin{eqnarray*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) &=&\mu ^{\ast }\left( \left( S\cap A\right)
\cup \left( S\cap A^{c}\right) \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap
A^{c}\right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{の劣加法性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) \leq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}は常に成り立ちます。したがって任意の集合\(S\subset \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) \geq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことを示しさえすれば、\(A\)がルベーグ可測であることを示したことになります。

先の命題中の集合\(S\)が有界でない場合、ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義より、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) =+\infty
\end{equation*}となるため、命題中の不等式は必ず成立します。このような事情を踏まえると、集合\(A\)がルベーグ可測であることを判定する際には、集合\(S\)として有界なものだけを考察対象としても一般性は失われないことが明らかになりました。したがって以下の命題を得ます。

区間を用いた可算集合の定義

集合\(A\subset \mathbb{R} \)がルベーグ可測であることは、任意の集合\(S\subset \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の条件は、任意の有界な右半開区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)について、\begin{equation*}m\left( I\right) =\mu ^{\ast }\left( I\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left(
I\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、\(A\)がルベーグ可測であることを判定する際に、\(A\)によって\(\mathbb{R} \)上のすべての集合を分割する必要はなく、\(\mathbb{R} \)上のすべての有界な右半開区間を分割すれば十分です。

集合\(A\subset \mathbb{R} \)がルベーグ可測であることと、任意の区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)について、\begin{equation*}m\left( I\right) =\mu ^{\ast }\left( I\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left(
I\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であることが明らかになりました。ただ、以上の条件中に登場する集合の間には以下の関係\begin{equation}
I=\left( I\cap A\right) \cup \left( I\cap A^{c}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、このとき、\begin{eqnarray*}
m\left( I\right) &=&\mu ^{\ast }\left( I\right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{は}m\text{の拡張} \\
&=&\mu ^{\ast }\left( \left( I\cap A\right) \cup \left( I\cap A^{c}\right)
\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &\mu ^{\ast }\left( I\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( I\cap
A^{c}\right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{の劣加法性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
m\left( I\right) \leq \mu ^{\ast }\left( I\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left(
I\cap A^{c}\right)
\end{equation*}は常に成り立ちます。したがって任意の区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)について、\begin{equation*}m\left( I\right) \geq \mu ^{\ast }\left( I\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left(
I\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことを示しさえすれば、\(A\)がルベーグ可測であることを示したことになります。

空集合は可測集合

可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)はどのような性質を満たす\(\mathbb{R} \)の部分集合族でしょうか。

可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が満たす1つ目の性質は、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}です。つまり、空集合は可測です。

可測集合の補集合は可測集合

可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が満たす2つ目の性質は、可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A^{c}=\mathbb{R} \backslash A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は補集合について閉じています。可測集合の補集合は可測であるということです。

可測集合どうしの和集合は可測集合

可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は和集合について閉じています。つまり、2つの可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つということです。可測集合どうしの和集合も可測であるということです。

有限個の可測集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、先の命題を繰り返し適用することにより、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}を得ます。つまり、有限個の可測集合の和集合もまた可測であるということです。この性質を指して、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は有限合併について閉じていると言います。

可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可算合併についても閉じています。つまり、可算個の可測集合\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。可算個の可測集合どうしの和集合も可測であるということです。

可測集合族はσ-代数

一般に、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が空集合\(\phi \)を要素として持つとともに補集合と可算合併について閉じている場合、そのような\(\mathfrak{A}\)を\(\sigma \)-代数（\(\sigma \)-algebra）や\(\sigma \)-集合代数（\(\sigma \)-algebra of sets）、もしくは可算集合族（countably additive class）や完全加法族（completely additive class of sets）などと呼びます。先に示したように、ルベーグ可算集合族\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)は以上の3つの性質を満たしますが、これは\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が\(\sigma \)-代数であることを意味します。

残された課題は、ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を\(\mathbb{R} \)のベキ集合\(2^{\mathbb{R} }\)からルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)へ縮小した場合に\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-可測性を満たすことの確認ですが、その前に、ルベーグ可測集合族の性質を確認するとともに、代表的な可測集合としてどのようなものが存在するか以下で明らかにします。

可測集合どうしの共通部分は可測集合

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可算交叉についても閉じています。つまり、可算個の可測集合\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。可算個の可測集合どうしの共通部分も可測であるということです。

先の命題を利用すると、可算集合族が有限交叉について閉じていることが示されます。つまり、有限個の可測集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\bigcap\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つということです。

先の命題を利用すると、可算集合族が共通部分について閉じていることが示されます。つまり、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\cap B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つということです。

可測集合どうしの差集合は可測集合

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は差集合についても閉じています。つまり、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\backslash B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。ルベーグ可測集合どうしの差集合もまた可測であるということです。

可測集合どうしの対称差は可測集合

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は対称差についても閉じています。つまり、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\Delta B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。ルベーグ可測集合どうしの対称差もまた可測であるということです。

可測集合族は平行移動について閉じている

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は平行移動についても閉じています。つまり、可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)と実数\(y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A+y\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(A+y\)は\(A\)のすべての要素を\(y\)だけ移動して得られる実数からなる集合であり、\begin{equation*}A+y=\left\{ x+y\in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されます。ルベーグ可測集合を平行移動しても可測であるということです。

実数空間は可測集合

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実と、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が補集合について閉じていることを踏まえると、\begin{equation*}\phi ^{c}=\mathbb{R} \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}を得ます。つまり、実数空間\(\mathbb{R} \)は可測集合です。

有界半開区間は可測集合

有界な右半開区間はルベーグ可測です。つまり、有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間には以下の包含関係\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成立します。この事実は、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は\(\mathfrak{S}_{m}\)よりも広いクラスの\(\mathbb{R} \)の部分集合族であることを意味します。

区間塊は可測集合

区間塊はルベーグ可測です。つまり、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間には以下の包含関係\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast
}}
\end{equation*}が成り立ちます。この事実は、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)よりもさらに広いクラスの\(\mathbb{R} \)の部分集合族であることを意味します。

開集合は可測集合

\(\mathbb{R} \)上の集合\(A\)が開集合であることとは、\(A\)に属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在すること、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon
\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。また、\(\mathbb{R} \)上の開集合をすべて集めることにより得られる集合族を\(\mathbb{R} \)の開集合系と呼び、これを\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記します。

\(\mathbb{R} \)上の任意の開集合はルベーグ可測です。つまり、開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間には以下の包含関係\begin{equation*}\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。この事実は、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)よりも広いクラスの\(\mathbb{R} \)の部分集合族であることを意味します。以上のことを示すために、まずは以下の補題を示します。

先の補題を踏まえると、開集合が可測集合であることが示されます。

閉集合は可測集合

\(\mathbb{R} \)上の点集合\(A\)が閉集合であることとは、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを意味します。つまり、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon
,a+\varepsilon \right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つとき、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。また、\(\mathbb{R} \)上の閉集合をすべて集めることにより得られる集合族を\(\mathbb{R} \)の閉集合系と呼び、これを\(\mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) \)で表記します。定義より、任意の集合\(A\in 2^{\mathbb{R} }\)に対して以下の関係\begin{equation*}A\in \mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) \Leftrightarrow A^{c}\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)の開集合系です。

\(\mathbb{R} \)上の任意の閉集合はルベーグ可測です。つまり、閉集合系\(\mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間には以下の包含関係\begin{equation*}\mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) \subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。この事実は、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は\(\mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) \)よりも広いクラスの\(\mathbb{R} \)の部分集合族であることを意味します。

区間は可測集合

実数空間\(\mathbb{R} \)上の区間には様々な種類がありますが、それぞれについて振り返りながら、それらがいずれも可測集合であることを示します。

\(a<b\)を満たす任意の実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}(a,b)=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合を有界な開区間と呼びます。また、実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}(a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合を無限開区間と呼びます。これらはいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため（確認してください）、先の命題より、これらはいずれも可測集合です。

\(a<b\)を満たす任意の実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合を有界な閉集合と呼びます。また、実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合を無限閉区間と呼びます。これらはいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため（確認してください）、先の命題より、これらはいずれも可測集合です。

\(a<b\)を満たす任意の実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lbrack a,b)=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合を有界な右半開区間や左半閉区間などと呼びます。区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)を定義する際には上の定義において\(a=b\)の場合を認めましたが、より正確には、右半開区間\([a,b)\)の端点は\(a<b\)を満たすものとして定義されます。いずれにせよ、上のように定義される\([a,b)\)は\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素であり、先に示したように\(\mathfrak{S}_{m}\)の任意の要素は可測集合であるため、結局、任意の有界な右半開区間もまた可測集合であることが明らかになりました。

\(a<b\)を満たす任意の実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}(a,b]=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{equation*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合を有界な左半開区間や右半閉区間などと呼びます。この補集合をとると、\begin{equation*}(a,b]^{c}=(-\infty ,a]\cup (b,+\infty )
\end{equation*}となりますが、これは無限閉区間と無限開区間の和集合です。先に示したように、無限閉区間と無限開区間はともに可測集合です。可測集合系\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は和集合について閉じているため、ルベーグ可測集合の和集合として表される\((a,b]^{c}\)は可測集合です。さらに、\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)は補集合について閉じているため可測集合\((a,b]^{c}\)の補集合と一致する\((a,b]\)もまた可測集合であることが明らかになりました。つまり、任意の有界な左半開区間もまた可測集合です。

すべての実数からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} =\left( -\infty ,+\infty \right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<+\infty \right\}
\end{equation*}という特別な区間です。これを全区間と呼びます。先に示したように、\(\mathbb{R} \)は可測集合です。

有界区間\([a,b],(a,b),[a,b),(a,b]\)と無限区間\([a,+\infty ),(-\infty ,b],(a,+\infty ),(-\infty ,b)\)と全区間\(\left( -\infty ,+\infty \right) \)を総称して区間と呼びます。以上の議論から明らかになったように、これらはいずれもルベーグ可測です。つまり、\(\mathbb{R} \)上の任意の区間はルベーグ可測であることが明らかになりました。

演習問題