ルベーグ外測度はσ-加法性を満たさないため、その定義域を適当なRの部分集合族へ縮小することを考えます。そのようなRの部分集合族の候補としてルベーグ集合族と呼ばれるものを導入します。これはσ-代数としての性質を満たします。

ルベーグ外測度が抱える問題

区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)のカラテオドリ拡張としてルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を構成することにより、\(\mathbb{R}\)の任意の部分集合\(A\in 2^{\mathbb{R}}\)について、その外延量である外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を測定できるようになりました。ただ、外測度は点集合の外延量として十分な正確性を備えているとは言えません。なぜなら、外測度の定義、すなわちカラテオドリ拡張に関する議論から明らかであるように、点集合\(A\)の外測度を導出する際には\(A\)を覆う可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)に属するすべての区間の長さの総和をその候補としているため、外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)は\(A\)の真の外延量よりも多めに見積もられている可能性があるからです。区間の長さ\(m\)や区間塊の長さ\(\hat{m}\)とは異なり、外測度\(\mu ^{\ast }\)が満たす性質の中に\(\sigma \)-加法性が含まれていないという事実は、このような考察に正当性を与えます。実際、外測度は\(\sigma \)-加法性を満たさないのですが(実は、有限加法性さえも満たしません)、このことは演習問題として扱います。

繰り返しになりますが、ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)は実数空間\(\mathbb{R}\)のベキ集合\(2^{\mathbb{R}}\)上に定義された関数であり、任意の点集合に対して外延量を与えます。ただ、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法性を満たさないという問題があります。つまり、\(\mathbb{R}\)上のすべての点集合を外延量の測定対象とした場合、「ある点集合の外延量は、それを互いに素な部分に分割した場合の各部分の外延量の合計になる」という直感的事実が成り立つとは限らなくなってしまうのです。一方、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)上に定義された区間の長さ\(m\)や、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)上に定義された区間塊の長さ\(\hat{m}\)はともに\(\sigma \)-加法性を満たします。外測度\(\mu ^{\ast }\)は区間の長さ\(m\)や区間塊の長さ\(\hat{m}\)の拡張であるため、\(\mu ^{\ast }\)の定義域を\(\mathfrak{S}_{m}\)や\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に縮小すれば\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法性を満たします。ただ、この場合、区間や区間塊などよりも広いクラスの点集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たすようにするためにはその定義域を縮小すればよいのですが、定義域を縮小しすぎると多くの点集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たしつつ、なるべく多くの点集合の外延量を測定できるようにするためにはどうすればよいのでしょうか。以下ではこのような問題意識のもとで議論を行います。

 

ルベーグ可測集合

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)と点集合\(A\in 2^{\mathbb{R}}\)が与えられているものとします。このとき、任意の点集合\(S\in 2^{\mathbb{R}}\)に対して、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(A\)はルベーグ可測(Lebesgue measurable)もしくは可測(measurable)であると言います。ちなみに、点集合の可測性を特徴づける上の条件をカラテオドリの条件(Carathéodory’s criterion)と呼びます。

点集合\(A\)が与えられているものとします。別の点集合\(S\)を持ってきたとき、これは\(A\)を用いて2つの部分に分割可能です。1つ目は\(A\)と交わる部分\(S\cap A\)であり、2つ目は\(A\)と交わらない部分\(S\cap A^{c}\)です。その上で、\(S\)の外延量\(\mu ^{\ast }\left( S\right) \)と、\(S\)を先のように分割して得られる2つの部分の外延量の和\(\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right) \)をそれぞれ求めたとき、直感的には両者は一致するはずです。点集合\(A\)が可測である場合、これを用いて任意の点集合\(S\)を分割した場合においても、上のような直感的事実が成り立つということです。

カラテオドリの条件の意味についてもう少し考察しましょう。ルベーグ外測度は劣加法性を満たす一方で加法性を満たさないため、\begin{equation}
\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) <\mu ^{\ast }\left( A\right) +\mu ^{\ast
}\left( B\right) \tag{1}
\end{equation}を満たすような互いに素な点集合\(A,B\in 2^{\mathbb{R}}\)が存在する可能性があります。集合\(A\cup B\)を2つの部分である\(A\)と\(B\)に分割した場合、\(A\)と\(B\)の外延量の和が\(A\cup B\)の外延量を上回ってしまうということです。これは\(\mathbb{R}\)上の任意の点集合を外延量の計測対象とした場合に発生する問題です。では、可測集合、すなわちカラテオドリの条件を満たす点集合のみを外延量の計測対象とした場合にはどうなるでしょうか。\(A\)が可測集合であり、\(B\)は\(A\)とは互いに素な点集合であるものとします。このとき、可測集合の定義より、点集合\(A\cup B\)に対して、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) =\mu ^{\ast }\left( \left( A\cup B\right)
\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( \left( A\cup B\right) \cap A^{c}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right) +\mu ^{\ast
}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left( 1\right) \)が成り立つような状況の回避に成功しています。

例(可測集合)
点集合\(\mathbb{R}\)について考えます。点集合\(S\in 2^{\mathbb{R}}\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray}
S\cap
\mathbb{R}&=&S \tag{1} \\
S\cap
\mathbb{R}^{c} &=&S\cap \phi =\phi \tag{2}
\end{eqnarray}であるため、\begin{eqnarray*}
\mu ^{\ast }\left( S\cap\mathbb{R}\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap\mathbb{R}^{c}\right)
&=&\mu ^{\ast }\left( S\right) +\mu ^{\ast }\left( \phi \right) \quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\mu ^{\ast }\left( S\right) +0\quad \because \mu ^{\ast }\text{の性質} \\
&=&\mu ^{\ast }\left( S\right)
\end{eqnarray*}となり、\(\mathbb{R}\)が可測であることが明らかになりました。
例(可測集合)
点集合\(\phi \)について考えます。点集合\(S\in 2^{\mathbb{R}}\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray}
S\cap \phi &=&\phi \tag{1} \\
S\cap \phi ^{c} &=&S\cap
\mathbb{R}=S \tag{2}
\end{eqnarray}であるため、\begin{eqnarray*}
\mu ^{\ast }\left( S\cap\phi\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap\phi^{c}\right)
&=&\mu ^{\ast }\left( \phi \right) +\mu ^{\ast }\left( S\right) \quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&0+\mu ^{\ast }\left( S\right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{の性質} \\
&=&\mu ^{\ast }\left( S\right)
\end{eqnarray*}となり、\(\phi\)が可測であることが明らかになりました。
例(可測集合)
零集合、すなわちルベーグ測度\(\mu ^{\ast }\)のもとで、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) =0
\end{equation*}を満たすような点集合\(A\in 2^{\mathbb{R}}\)は可測です(演習問題として扱います)。以前に示したように、\(\mathbb{R}\)の有限部分集合や可算部分集合はいずれも零集合であるため、これらはともに可測です。具体例を挙げると、すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N}\)、すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z}\)、すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)はいずれも\(\mathbb{R}\)の可算部分集合であるため、これらはいずれも可測集合です。

ルベーグ可測であるような点集合の例をいくつか挙げましたが、逆に、ルベーグ可測ではない集合、すなわちカラテオドリの条件を満たさない点集合は\(\mathbb{R}\)上に存在するのでしょうか。実際、\(\mathbb{R}\)上にはルベーグ可測ではない点集合が存在し、それを具体的に構成することができるのですが、議論が長くなるため場を改めて解説します。

実数空間\(\mathbb{R}\)上の点集合の中でもルベーグ可測であるような集合をすべて集めて得られる\(\mathbb{R}\)の部分集合族をルベーグ可測集合族(family of Lebesgue measurable sets)や可測集合族(family of measurable sets)などと呼び、これを、\begin{equation*}
\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の点集合\(A\in 2^{\mathbb{R}}\)について、\begin{equation*}
A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\Leftrightarrow \forall S\in 2^{\mathbb{R}}:\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)はルベーグ外測度です。

 

カラテオドリの条件の言い換え

カラテオドリの条件、すなわち可測集合の定義は様々な形で言い換え可能です。点集合\(A\in 2^{\mathbb{R}}\)が与えられているものとします。このとき、\(A\)の任意の部分集合\(B\in 2^{\mathbb{R}}\)と\(A^{c}\)の任意の部分集合\(B^{\prime }\in 2^{\mathbb{R}}\)に対して、\begin{equation}
\mu ^{\ast }\left( B\cup B^{\prime }\right) =\mu ^{\ast }\left( B\right)
+\mu ^{\ast }\left( B^{\prime }\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立つとき、\(A\)は可測集合になります。実際、\(B\subset A\)かつ\(B^{\prime }\subset A^{c}\)に対して、\begin{equation*}
S=B\cup B^{\prime }
\end{equation*}とおくと、\begin{eqnarray*}
B &=&S\cap A \\
B^{\prime } &=&S\cap A^{c}
\end{eqnarray*}なりますが、これらを用いて\(\left( 1\right) \)を言い換えると、\begin{equation}
\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right) \tag{2}
\end{equation}となります。\(S\subset \mathbb{R}\)であるため、これは\(A\)が可測集合であることの定義に他なりません。逆に、\(\left( 2\right) \)から\(\left( 1\right) \)を導くこともできるため(演習問題にします)、以下の命題が成り立つことが明らかになりました。

命題(可測集合の定義)
ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)と点集合\(A\in 2^{\mathbb{R}}\)が与えられたとき、\(A\)の任意の部分集合\(B\in 2^{\mathbb{R}}\)と\(A^{c}\)の任意の部分集合\(B^{\prime }\in 2^{\mathbb{R}}\)に対して、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( B\cup B^{\prime }\right) =\mu ^{\ast }\left( B\right)
+\mu ^{\ast }\left( B^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)がルベーグ可測集合であるための必要十分条件である。
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繰り返しになりますが、点集合\(A\in 2^{\mathbb{R}}\)がルベーグ可測であることとは、\begin{equation*}
\forall S\in 2^{\mathbb{R}}:\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、この定義中に登場する点集合の間には、\begin{equation*}
S=\left( S\cap A\right) \cup \left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)の有限劣加法性より、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) \leq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことは常に保証されます。以上を踏まえると、点集合\(A\)がルベーグ可測であることの定義として、\begin{equation*}
\forall S\in 2^{\mathbb{R}}:\mu ^{\ast }\left( S\right) \geq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}を採用しても問題ないことが明らかになりました。

命題(可測集合の定義)
ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)と点集合\(A\in 2^{\mathbb{R}}\)が与えられたとき、\begin{equation*}
\forall S\in 2^{\mathbb{R}}:\mu ^{\ast }\left( S\right) \geq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)がルベーグ可測集合であるための必要十分条件である。
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上の命題中の点集合\(S\)が有界でない場合、ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義より、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) =+\infty
\end{equation*}となるため、命題中の不等式は必ず成立します。以上を踏まえると、点集合\(A\)がルベーグ可測であるためには、上の命題中の不等式が任意の有界な点集合\(S\)について成立することを要求すれば十分であることが明らかになりました。

命題(可測集合の定義)
ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)と点集合\(A\in 2^{\mathbb{R}}\)が与えられたとき、任意の有界な点集合\(S\in 2^{\mathbb{R}}\)に対して、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) \geq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)がルベーグ可測集合であるための必要十分条件である。
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上の命題中の\(S\)は任意の有界な点集合ですが、\(\mathbb{R}\)上には様々な種類の有界な点集合が存在します。区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)に属する有界な右半開区間もそのような点集合ですが、実は、上の命題において\(S\)の候補を\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素に限定しても問題ありません(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(可測集合の定義)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)とルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)と点集合\(A\in 2^{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、\begin{equation*}
\forall I\in \mathfrak{S}_{m}:m\left( I\right) \geq \mu ^{\ast }\left( I\cap
A\right) +\mu ^{\ast }\left( I\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)がルベーグ可測集合であるための必要十分条件である。
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ルベーグ可測集合族は\(\sigma \)-代数

可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)はどのような性質を満たす\(\mathbb{R}\)の部分集合族なのでしょうか。まず、先に例を通じて示したように、空集合\(\phi \)はルベーグ可測であるため、\begin{equation*}
\phi \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(空集合は可測)
空集合\(\phi \)はルベーグ可測である。すなわち、ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は、\begin{equation*}
\phi \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}を満たす。
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可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が満たす2つ目の性質は、可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}
A^{c}=\mathbb{R}\backslash A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は補集合について閉じています。証明は以下の通りです。

可測集合\(A\)を任意に選ぶと、可測性の定義より、任意の点集合\(S\in 2^{\mathbb{R}}\)に対して、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left( A^{c}\right) ^{c}=A\)であることを踏まえた上で上の条件を書き換えると、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\right)
\end{equation*}となりますが、これは点集合\(A^{c}\)が可測であることの定義に他なりません。

命題(可測集合族は補集合について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は補集合について閉じている。すなわち、可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A^{c}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は和集合について閉じています。実際、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
C=A\cup B
\end{equation*}とおくと、\begin{eqnarray}
C &=&A\cup \left( A^{c}\cap B\right) \tag{1} \\
C^{c} &=&A^{c}\cap B^{c} \tag{2}
\end{eqnarray}などの関係が成り立ちます。有界な点集合\(S\in 2^{\mathbb{R}}\)を任意に選んだとき、\begin{align*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) & =\mu ^{\ast }\left( \left( S\cap C\right) \cup
\left( S\cap C^{c}\right) \right) \quad \because S=\left( S\cap C\right)
\cup \left( S\cap C^{c}\right) \\
& \leq \mu ^{\ast }\left( S\cap C\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap
C^{c}\right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{の劣加法性} \\
& \leq \left[ \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap
\left( A^{c}\cap B\right) \right) \right] +\mu ^{\ast }\left( \left( S\cap
A^{c}\right) \cap B^{c}\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{と}\mu ^{\ast }\text{の劣加法性} \\
& =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\left[ \mu ^{\ast }\left( \left( S\cap
A^{c}\right) \cap B\right) +\mu ^{\ast }\left( \left( S\cap A^{c}\right)
\cap B^{c}\right) \right] \\
& =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\quad \because B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }} \\
& =\mu ^{\ast }\left( S\right) \quad \because A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast
}}
\end{align*}すなわち、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap C\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap C^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(C\)すなわち\(A\cup B\)が可測であることが明らかになりました。

命題(可測集合族は和集合について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は和集合について閉じている。すなわち、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題を繰り返し適用することにより、可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が有限合併について閉じていることが証明可能です。

命題(可測集合族は有限合併について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は有限合併について閉じている。すなわち、有限個のルベーグ可測集合からなる列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題を利用することにより、可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が可算合併について閉じていることを確認できます(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(可測集合族は可算合併について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可算合併について閉じている。すなわち、可算個のルベーグ可測集合からなる列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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一般に、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が空集合\(\phi \)を要素として持つとともに補集合と可算合併について閉じているとき、この集合族\(\mathfrak{A}\)を\(\sigma \)-代数(\(\sigma \)-algebra)や\(\sigma \)-集合代数(\(\sigma \)-algebra of sets)、もしくは可算集合族(countably additive class)や完全加法族(completely additive class of sets)などと呼びます。

これまでの議論から明らかになったように、ルベーグ可算集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は空集合\(\phi \)を要素として持つとともに補集合と可算合併について閉じているため、これは\(\sigma \)-代数であるような\(\mathbb{R}\)の部分集合族ということになります。

命題(可測集合族はσ-代数)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は\(\sigma \)-代数である。すなわち、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は空集合\(\phi \)を要素として持つとともに、補集合と可算合併について閉じている。
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残された課題はルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を\(\mathbb{R}\)のベキ集合\(2^{\mathbb{R}}\)からルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)へ縮小した場合に\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-可測性を満たすことを確認することですが、その前に、ルベーグ可測集合族のさらなる性質を確認します。

 

可測集合族は可算交叉について閉じている

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可算交叉についても閉じています。実際、可算個のルベーグ可測集合からなる列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、それらの共通部分に関して、ド・モルガンの法則より、\begin{equation}
\bigcap\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}=\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty
}\left( A_{k}\right) ^{c}\right) ^{c} \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立ちます。先に示したように可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は補集合について閉じているため、任意の\(k\)について、\begin{equation*}
\left( A_{k}\right) ^{c}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }\left( A_{k}\right) ^{c}\in \mathfrak{M}_{\mu
^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。再び\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が補集合について閉じていることを利用すると、\begin{equation*}
\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }\left( A_{k}\right) ^{c}\right) ^{c}\in
\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( 1\right) \)より\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が可算交叉について閉じていることが明らかになりました。

命題(可測集合族は可算交叉について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可算交叉について閉じている。すなわち、可算個のルベーグ可測集合からなる列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題を利用すると、可算集合族が有限交叉について閉じていることが示されます。実際、有限個のルベーグ可測集合からなる列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\(\phi \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)であること踏まえた上で、可算個のルベーグ可測集合からなる列\(\left\{ B_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)を、\begin{equation*}
B_{k}=\left\{
\begin{array}{ll}
A_{k} & \left( k=1,\cdots ,n\right) \\
\phi & \left( k\geq n+1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義します。このとき、\begin{eqnarray*}
\bigcap\limits_{k=1}^{n}A_{k} &=&\bigcap\limits_{k=1}^{\infty }B_{k}\quad
\because \left\{ B_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\text{の定義} \\
&\in &\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\quad \because \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\text{は可算合併について閉じている}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が有限交叉について閉じていることが明らかになりました。

命題(可測集合族は有限交叉について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は有限交叉について閉じている。すなわち、有限個のルベーグ可測集合からなる列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題において\(n=2\)とすれば以下の命題を得ます。

命題(可測集合族は共通部分について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は共通部分について閉じている。すなわち、ルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\cap B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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可測集合族は差集合について閉じている

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は差集合についても閉じています。実際、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、それらの差集合は、\begin{equation*}
A\backslash B=A\cap B^{c}
\end{equation*}と定義されますが、先に示したように\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は補集合と共通部分について閉じているため、上の差集合もまた可測集合です。

命題(可測集合族は差集合について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は差集合について閉じている。すなわち、ルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\backslash B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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可測集合族は対称差について閉じている

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は対称差についても閉じています。実際、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、それらの対称差は、\begin{equation*}
A\Delta B=\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\end{equation*}と定義されますが、先に示したように\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は和集合と差集合について閉じているため、上の対称差もまた可測集合です。

命題(可測集合族は対称差について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は対称差について閉じている。すなわち、ルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\Delta B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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次回は代表的な可測集合について学びます。

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