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ルベーグ測度

ルベーグ可測集合

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ルベーグ外測度が抱える問題

区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張としてルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を構成することにより、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その外延量である外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を測定できるようになりました。ただ、外測度は点集合の外延量として十分な正確性を備えているとは言えません。なぜなら、外測度の定義、すなわちカラテオドリ拡張に関する議論から明らかであるように、点集合\(A\)の外測度を導出する際には\(A\)を覆う可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)に属するすべての区間の長さの総和をその候補としているため、外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)は\(A\)の真の外延量よりも多めに見積もられている可能性があるからです。区間の長さ\(m\)や区間塊の長さ\(\hat{m}\)とは異なり、外測度\(\mu ^{\ast }\)が満たす性質の中に\(\sigma \)-加法性が含まれていないという事実は、このような考察に正当性を与えます。実際、外測度は\(\sigma \)-加法性を満たさないのですが、詳細は必要な道具が揃った段階で解説します。

繰り返しになりますが、ルベーグ外測度\(\mu^{\ast }\)は実数空間\(\mathbb{R} \)のベキ集合\(2^{\mathbb{R} }\)上に定義された関数であり、任意の点集合に対して外延量を与えます。ただ、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法性を満たさないという問題があります。つまり、\(\mathbb{R} \)上のすべての点集合を外延量の測定対象とした場合、「ある点集合の外延量は、それを互いに素な部分に分割した場合の各部分の外延量の合計になる」という直感的事実が成り立つとは限らなくなってしまうのです。一方、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)上に定義された区間の長さ\(m\)や、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)上に定義された区間塊の長さ\(\hat{m}\)はともに\(\sigma \)-加法性を満たします。外測度\(\mu ^{\ast }\)は区間の長さ\(m\)や区間塊の長さ\(\hat{m}\)の拡張であるため、\(\mu ^{\ast }\)の定義域を\(\mathfrak{S}_{m}\)や\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に縮小すれば\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法性を満たします。ただ、この場合、区間や区間塊などよりも広いクラスの点集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast} \)が\(\sigma \)-加法性を満たすようにするためにはその定義域を縮小すればよいのですが、定義域を縮小しすぎると多くの点集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たしつつ、なるべく多くの点集合の外延量を測定できるようにするためにはどうすればよいのでしょうか。以下ではこのような問題意識のもと議論を行います。

 

ルベーグ可測集合

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)と集合\(A\subset \mathbb{R} \)が与えられているものとします。このとき、任意の集合\(S\subset \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(A\)はルベーグ可測(Lebesgue measurable)もしくは可測(measurable)であると言います。集合\(A\)がルベーグ可測であるためには、上の条件を満たす集合\(S\)が存在することを示しただけでは不十分であり、任意の集合\(S\)について上の条件が成り立つ必要がある点に注意してください。集合の可測性を特徴づける以上の条件をカラテオドリの条件(Carathéodory’s criterion)と呼びます。

集合\(A\)が与えられているものとします。別の点集合\(S\)を持ってきたとき、これは\(A\)を用いて2つの部分に分割可能です。1つ目は\(A\)と交わる部分\(S\cap A\)であり、2つ目は\(A\)と交わらない部分\(S\cap A^{c}\)です。その上で、\(S\)の外測度\(\mu ^{\ast}\left( S\right) \)と、\(S\)を先のように分割して得られる2つの部分の外測度の和\(\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right) \)をそれぞれ求めたとき、直感的には両者は一致するはずです。点集合\(A\)が可測であることとは、これをどのような形で2つの集合に分割した場合においても、先の直感的事実が成り立つことを意味します。

カラテオドリの条件の意味についてもう少し考察します。ルベーグ外測度は劣加法性を満たす一方で加法性を満たさないため、\begin{equation}
\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) <\mu ^{\ast }\left( A\right) +\mu ^{\ast
}\left( B\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすような互いに素な点集合\(A,B\)が存在する可能性があります。集合\(A\cup B\)を2つの集合\(A,B\)に分割した場合、\(A\)と\(B\)の外測度の和が\(A\cup B\)の外測度を上回ってしまうということです。これは\(\mathbb{R} \)上の任意の集合を外延量の計測対象とした場合に発生する問題です。では、可測集合、すなわちカラテオドリの条件を満たす集合のみを外測度の計測対象とした場合にはどうなるでしょうか。\(A\)が可測集合であり、\(B\)は\(A\)とは互いに素であるものとします。このとき、可測集合の定義より、点集合\(A\cup B\)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) =\mu ^{\ast }\left( \left( A\cup B\right)
\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( \left( A\cup B\right) \cap A^{c}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right) +\mu ^{\ast
}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(1\right) \)が成り立つような状況の回避に成功しています。

例(実数空間は可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)は可測です。実際、集合\(S\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\(\mathbb{R} \)を用いて\(S\)を分割すると、\begin{eqnarray}S\cap \mathbb{R} &=&S \quad \cdots (1) \\
S\cap \mathbb{R} ^{c} &=&S\cap \phi =\phi \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}を得ますが、これらの外積に関して、\begin{eqnarray*}
\mu ^{\ast }\left( S\cap \mathbb{R} \right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap \mathbb{R} ^{c}\right) &=&\mu ^{\ast }\left( S\right) +\mu ^{\ast }\left( \phi \right)
\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\mu ^{\ast }\left( S\right) +0\quad \because \mu ^{\ast }\left( \phi
\right) =0 \\
&=&\mu ^{\ast }\left( S\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\mathbb{R} \)は可測であることが明らかになりました。
例(零集合は可測)
ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)のもとで、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =0
\end{equation*}を満たす集合\(A\subset \mathbb{R} \)を零集合(null set)と呼びます。零集合は可測です(演習問題)。
例(1点集合は可測)
点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ1点集合\begin{equation*}\left\{ x\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}について考えます。1点集合は零集合であるため、これは可測です。

例(有限集合は可測)
\(\mathbb{R} \)の部分集合であるような有限集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。有限集合は零集合であるため、これは可測です。したがって、以下の集合\begin{eqnarray*}
&&\left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \\
&&\left\{ \frac{1}{1},\frac{1}{2},\cdots ,\frac{1}{n}\right\} \\
&&\left\{ -1,-2,\cdots ,-n\right\} \\
&&\left\{ 2,4,\cdots ,2n\right\} \\
&&\left\{ 1,3,\cdots ,2n-1\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも可測です。なぜなら、これらは有限集合だからです。

例(可算集合は可測)
\(\mathbb{R} \)の部分集合であるような可算集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を任意に選びます。可算集合は零集合であるため、したがって、以下の集合\begin{equation*}\mathbb{N} ,\ \mathbb{Z} ,\ \mathbb{Q} \end{equation*}はいずれも可測です。なぜなら、これらは可算集合だからです。

ルベーグ可測であるような点集合の例をいくつか挙げましたが、逆に、ルベーグ可測ではない集合、すなわちカラテオドリの条件を満たさない集合は\(\mathbb{R} \)上に存在するのでしょうか。実際、\(\mathbb{R} \)上にはルベーグ可測ではない点集合が存在し、それを具体的に構成することができるのですが、詳細は必要な道具が揃った段階で解説します。

\(\mathbb{R} \)上の集合の中でもルベーグ可測であるような集合をすべて集めて得られる\(\mathbb{R} \)の部分集合族をルベーグ可測集合族(family of Lebesgue measurable sets)や可測集合族(family of measurable sets)などと呼び、これを、\begin{equation*}\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の集合\(A\subset \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\Leftrightarrow \forall S\in 2^{\mathbb{R} }:\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(\mu ^{\ast }\)はルベーグ外測度です。

 

カラテオドリの条件の言い換え

カラテオドリの条件、すなわち可測集合の定義は様々な形に言い換え可能です。点集合\(A\subset \mathbb{R} \)が与えられているものとします。このとき、\(A\)の任意の部分集合\(B\)と\(A^{c}\)の任意の部分集合\(B^{\prime }\)に対して、\begin{equation}\mu ^{\ast }\left( B\cup B^{\prime }\right) =\mu ^{\ast }\left( B\right)
+\mu ^{\ast }\left( B^{\prime }\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは、\(A\)が可測であるための必要十分条件です。

命題(可測集合の定義)

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)と集合\(A\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}B\subset A\wedge B^{\prime }\subset A^{c}
\end{equation*}を満たす任意の集合\(B,B^{\prime }\subset \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( B\cup B^{\prime }\right) =\mu ^{\ast }\left( B\right)
+\mu ^{\ast }\left( B^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)がルベーグ可測集合であるための必要十分条件である。

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繰り返しになりますが、集合\(A\subset \mathbb{R} \)がルベーグ可測であることとは、任意の集合\(S\subset \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、この定義に登場する集合の間には、\begin{equation}
S=\left( S\cap A\right) \cup \left( S\cap A^{c}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つため、このとき、\begin{eqnarray*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) &=&\mu ^{\ast }\left( \left( S\cap A\right)
\cup \left( S\cap A^{c}\right) \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap
A^{c}\right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{の劣加法性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) \leq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}は常に成り立ちます。したがって任意の集合\(S\subset \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) \geq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことを示しさえすれば、\(A\)がルベーグ可測であることを示したことになります。

命題(可測集合の定義)

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)と集合\(A\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の集合\(S\subset \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) \geq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)がルベーグ可測集合であるための必要十分条件である。

上の命題中の集合\(S\)が有界でない場合、ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義より、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) =+\infty
\end{equation*}となるため、命題中の不等式は必ず成立します。以上を踏まえると、点集合\(A\)がルベーグ可測であることを判定する際には、集合\(S\)として有界なものだけを考察対象としても一般性は失われないことが明らかになりました。

命題(可測集合の定義)

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)と集合\(A\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の有界な集合\(S\subset \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) \geq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)がルベーグ可測集合であるための必要十分条件である。

 

空集合は可測

可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)はどのような性質を満たす\(\mathbb{R} \)の部分集合族でしょうか。可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が満たす1つ目の性質は、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}というものです。つまり、空集合は可測です。

命題(空集合は可測)
空集合\(\phi \)はルベーグ可測である。すなわち、ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}を満たす。

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可測集合族は補集合について閉じている

可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が満たす2つ目の性質は、可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A^{c}=\mathbb{R} \backslash A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は補集合について閉じています。可測集合の補集合は可測であるということです。

命題(可測集合族は補集合について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は補集合について閉じている。すなわち、可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A^{c}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(実数空間は可測)
空集合\(\phi \)は可測ですが、その補集合は、\begin{equation*}\phi ^{c}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、上の命題より\(\mathbb{R} \)は可測です。
例(無理数集合は可測)
すべての無理数からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}ですが、すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は可算集合であり、したがって可測であるため、上の命題より\(\mathbb{Q} \)の補集合である\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)もまた可測です。

 

可測集合族は和集合について閉じている

可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は和集合について閉じています。つまり、2つの可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つということです。可測集合どうしの和集合も可測であるということです。

命題(可測集合族は和集合について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は和集合について閉じている。すなわち、可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。

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有限個の可測集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、先の命題を繰り返し適用することにより、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}もまた成り立つことが示されます。つまり、有限個の可測集合の和集合もまた可測であるということです。この性質を指して、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は有限合併について閉じていると言います。逆に、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が有限合併について閉じているとき、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は明らかに2つの可測集合の合併についても閉じています。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は和集合について閉じているということです。したがって以下の命題を得ます。

命題(可測集合族は有限合併について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は有限合併について閉じている。すなわち、有限個の可測集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。

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可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可算合併についても閉じています。つまり、可算個の可測集合\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。可算個の可測集合どうしの和集合も可測であるということです。

命題(可測集合族は可算合併について閉じている)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可算合併について閉じている。すなわち、可算個の可測集合\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。

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可測集合族は共通部分について閉じている

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可算交叉についても閉じています。つまり、可算個の可測集合\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\bigcap_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。可算個の可測集合どうしの共通部分も可測であるということです。