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ルベーグ測度

区間塊(基本集合)の長さ

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区間塊の長さ

私たちの目標は数直線\(\mathbb{R} \)の部分集合の外延量を測定することですが、まずは\(\mathbb{R} \)上の有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素である区間のみを外延量の測定対象とし、区間の外延量を特定する長さ関数\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を導入した上で、これが\(\sigma \)-加法測度であることを示しました。つまり、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であるとともに、長さ関数\(m\)は非負性と\(\sigma \)-加法性を満たします。

ただし、数直線\(\mathbb{R} \)上には有界な区間というクラスには属さない集合が存在します。そこで、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)に属する互いに素な有限個の区間の和集合を区間塊と呼び、区間塊をすべて集めることによりできる\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を導入しました。\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環ですが、そこから生成された\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は集合環であり、両者の間には以下の包含関係\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。しかも、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として持つ最小環です。長さ関数\(m\)はそれぞれの区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)に対してその測度\(m\left( I\right) \)を定めますが、先の包含関係より、区間塊の中には区間でないものが存在し得るため、区間の長さ\(m\)では区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)の測度を測定できるとは限りません。そこで、長さ関数\(m\)を拡張する形で、任意の区間塊の測度を測定できるような測度概念を構成したいところです。そこで、以下の手続きを考えます。

区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選ぶと、区間塊の定義より、有限個の互いに素な区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}_{m}\)が存在して、\begin{equation*}A=\bigcup_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}と表すことができます。区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)上には長さ関数\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が定義されているため、先の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\)の長さ\(m\left( I_{1}\right) ,\cdots ,m\left( I_{n}\right) \)をそれぞれ特定できます。そこで、これらの長さの総和を区間塊\(A\)の長さ(length)として採用し、それを、\begin{equation*}\hat{m}\left( A\right) =\sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}で表記します。以上を踏まえた上で、それぞれの区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に対して、その長さ\(\hat{m}\left( A\right) \)を定める関数\(\hat{m}\)を定義し、これを長さ関数(length function)と呼びます。

区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選びます。区間\(I\)は\(I\)自身によって有限展開可能な区間塊であることを踏まえると、区間塊の長さの定義より以下の関係\begin{equation*}\hat{m}\left( I\right) =m\left( I\right)
\end{equation*}が成り立ちます。同様の関係が任意の区間について成立するため、区間塊の長さ\(\hat{m}\)は区間の長さ\(m\)の拡張(extension of a measure \(m\))であることが明らかになりました。

例(区間塊の長さ)
区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が、\begin{equation*}A=(0,1]\cup (1,2]\cup (2,3] \end{equation*}で与えられているとき、その長さは、\begin{eqnarray*}
\hat{m}\left( A\right) &=&m\left( (0,1]\right) +m\left( (1,2]\right)
+m\left( (2,3]\right) \quad \because \hat{m}\text{の定義}
\\
&=&\left( 1-0\right) +\left( 2-1\right) +\left( 3-2\right) \quad \because m\text{の定義} \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。また、区間塊\(B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が、\begin{equation*}B=(-2,-1]\cup \phi \cup (1,2] \end{equation*}で与えられているとき、その長さは、\begin{eqnarray*}
\hat{m}\left( B\right) &=&m\left( (-2,-1]\right) +m\left( \phi \right)
+m\left( (1,2]\right) \quad \because \hat{m}\text{の定義}
\\
&=&\left( \left( -1\right) -\left( -2\right) \right) +0+\left( 2-1\right)
\quad \because m\text{の定義} \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。

 

区間塊の長さの有限性

区間塊の長さの性質を確認します。区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだとき、その長さは、\begin{equation*}0\leq \hat{m}\left( A\right) <+\infty
\end{equation*}を満たします。つまり、区間塊の長さは有限な非負の実数であるということです。言い換えると、区間塊の長さ関数\(\hat{m}\)は区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を定義域とし、非負の実数からなる集合\(\mathbb{R} _{+}\)を終集合とする関数\begin{equation*}\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}であるということです。このような性質を指して、\(\hat{m}\)は有限(finite)であるとか完全有限(totally finite)であるなどと言います。

命題(区間塊の長さの有限性)
区間塊の長さは有限である。すなわち、区間塊の長さ関数は\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)と表現される。
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例(区間塊の長さの有限性)
例えば、\begin{eqnarray*}
\hat{m}\left( (0,1]\cup (1,2]\cup (2,3]\right) &=&m\left( (0,1]\right)
+m\left( (1,2]\right) +m\left( (2,3]\right) \quad \because \hat{m}\text{の定義} \\
&=&\left( 1-0\right) +\left( 2-1\right) +\left( 3-2\right) \quad \because m\text{の定義} \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
\hat{m}\left( (-2,-1]\cup \phi \cup (1,2]\right) &=&m\left( (-2,-1]\right)
+m\left( \phi \right) +m\left( (1,2]\right) \quad \because \hat{m}\text{の定義} \\
&=&\left( \left( -1\right) -\left( -2\right) \right) +0+\left( 2-1\right)
\quad \because m\text{の定義} \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。これらはいずれも有限な実数です。

 

区間塊の長さのσ-加法性

区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)の中から可算個の互いに素な区間塊を任意に選び、それらを要素とする集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)をとります。つまり、\(\left\{A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は互いに素な区間塊からなる可算集合列です。その上で、この集合列の和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}
\end{equation*}をとります。\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は集合環であるため有限合併ついて閉じている一方で可算合併については閉じていないため、この和集合は\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)の要素であるとは限りません。互いに素な可算個の区間塊の和集合は区間塊になるとは限らないということです。その一方で、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}を満たす集合列\(\left\{A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)に対しては、つまり、互いに素な可算個の区間塊の和集合として表される区間塊に対しては、長さ関数\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はその長さ\begin{equation*}\hat{m}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) \in \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を定めます。しかもこの場合、\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }\)の和集合に相当する区間塊の長さと、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の要素である個々の区間塊の長さの間には以下の関係\begin{equation*}\hat{m}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\sum_{k=1}^{\infty
}\hat{m}\left( A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。ただし、右辺は可算個の区間塊の長さから構成される無限級数の和であり、具体的には、部分和\begin{equation*}
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\hat{m}\left( A_{k}\right)
\end{equation*}を項とする数列\(\left\{S_{n}\right\} \)の極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_{n}\)として定義されます。つまり、先の関係を正確に表現すると、\begin{equation*}\hat{m}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}\hat{m}\left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}となります。このような性質を指して、\(\hat{m}\)は\(\sigma \)-加法性(\(\sigma \)-additivity)を満たすと言います。

命題(区間塊の長さのσ-加法性)
区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は\(\sigma \)-加法性を満たす。すなわち、互いに素な区間塊からなる可算集合列\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
\hat{m}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =\sum_{k=1}^{\infty
}\hat{m}\left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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繰り返しになりますが、先の命題は、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}を満たすような可算集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)のみを対象とした主張です。つまり、先の命題は、「ある区間塊が可算個の互いに素な区間塊に分割可能である場合、その区間塊の長さは、それを構成するそれぞれの区間塊の長さの合計になる」という主張です。一方、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\not\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}を満たすような可算集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)に関して、先の命題は何も主張していません。つまり、「可算個の互いに素な区間塊の和集合が区間塊でない場合においても、全体の長さは、それを構成するそれぞれの区間塊の長さの合計である」とまでは先の命題は主張していません。

 

区間塊の長さはσ-加法測度

集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)上に定義された関数\(\hat{m}:\mathfrak{A}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{A}\)に対して定める値が非負の実数もしくは正の無限大である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{A}:0\leq \hat{m}\left( A\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(\hat{m}\)は非負性(non-negativity)を満たすと言います。また、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が集合環であるとともに、関数\(\hat{m}:\mathfrak{A}\rightarrow \mathbb{R} \)が非負性と\(\sigma \)-加法性をともに満たす場合、\(\hat{m}\)を\(\sigma \)-加法測度(\(\sigma \)-additive measure)や可算測度(countable measure)などと呼び、\(\hat{m}\)がそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{A}\)に対して定める値\(\hat{m}\left( A\right) \)を\(A\)の測度(measure)と呼びます。

これまでの議論から明らかになったように、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は集合環であり、区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は有限性と\(\sigma \)-加法性を満たします。有限性は明らかに非負性を含意するため、結局、区間塊の長さ\(\hat{m}\)は\(\sigma \)-加法測度であるということになります。

命題(区間塊の長さはσ-加法測度)
区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は\(\sigma \)-加法測度である。すなわち、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は集合環であるとともに、\(\hat{m}\)は非負性と\(\sigma \)-加法性を満たす。

 

区間塊の長さの有限加法性

区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が\(\sigma \)-加法測度であることを示す際には区間塊や区間の定義、また区間の長さ\(m\)の性質などを用いましたが、\(\hat{m}\)が\(\sigma \)-加法測度であることが明らかになれば、\(\hat{m}\)が満たすその他の性質はいずれも\(\hat{m}\)が\(\sigma \)-加法測度であるという事実から導出可能です。以下ではそのような性質をいくつか提示します。

区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)の中から有限個の互いに素な区間塊を任意に選んだ上で、それらを要素とする集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)をとります。つまり、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)は互いに素な区間塊からなる有限集合列です。\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は集合環であり、集合環は有限交叉について閉じているため、このとき、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が必ず成り立ちます。しかもこの場合、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)の和集合に相当する区間塊の長さと、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)の要素である個々の区間塊の長さの間には以下の関係\begin{equation*}\hat{m}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) =\sum_{k=1}^{n}\hat{m}\left( A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、互いに素な有限個の区間塊の和集合が区間塊である場合、その和集合に相当する区間塊の長さは、個々の区間塊の長さの総和と一致するということです。このような性質を指して、\(\hat{m}\)は有限加法性(finite additivity)を満たすと言います。

命題(区間塊の長さの有限加法性)
区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は有限加法性を満たす。すなわち、互いに素な区間からなる有限集合族\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{n}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\hat{m}\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) =\sum_{k=1}^{n}\hat{m}\left( A_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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区間塊の長さの一意性

区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだとき、区間塊の定義より、互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}_{m}\)が存在して、\begin{equation*}A=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}と表すことができます。区間が区間塊であることと区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の有限加法性より、この区間塊\(A\)の長さは、\begin{equation}\hat{m}\left( A\right) =\sum\limits_{k=1}^{n}\hat{m}\left( I_{k}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}と定まります。ただ、区間塊を有限展開する方法は一意的であるとは限りません。つまり、先の区間塊\(A\)に対して、先ほどとは異なる互いに素な有限個の区間\(J_{1},\cdots,J_{m}\in \mathfrak{S}_{m}\)が存在し、これらの間にも、\begin{equation*}A=\bigcup\limits_{l=1}^{m}J_{l}
\end{equation*}という関係が成立し得るということです。このとき、やはり\(\hat{m}\)の有限加法性より、\begin{equation}\hat{m}\left( A\right) =\sum\limits_{l=1}^{m}\hat{m}\left( J_{l}\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、区間塊を異なる方法で有限展開したとき、その区間塊の長さは\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)のように異なる形で表されますが、実は、両者の値は常に一致することが保証されます。つまり、それぞれの区間塊の長さは有限展開の仕方によらず一定であるということです。言い換えると、区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は写像であるということです。

命題(区間塊の長さの一意性)
区間の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)がそれぞれの区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に対して定める長さ\(\hat{m}\left( A\right) \in \mathbb{R} _{+}\)は、\(A\)の有限展開の方法によらず一意的に定まる。
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区間塊の長さは区間の長さの一意的な拡張

先に確認したように、区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の拡張であり、両者の間には以下の関係\begin{equation*}\forall I\in \mathfrak{S}_{m}:\hat{m}\left( I\right) =m\left( I\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、区間は区間塊でもありますが、任意の区間\(I\)に対して、区間塊の長さ\(\hat{m}\)が与える測度\(\hat{m}\left( I\right) \)は区間の長さ\(m\)が与える測度\(m\left( I\right) \)と一致します。しかも、\(\hat{m}\)は\(m\)の一意的な拡張です。

命題(区間塊の長さは区間の長さの一意的な拡張)
区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の一意的な拡張である。
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区間塊の長さの単調性

ある区間塊\(A\)が別の区間塊\(B\)の部分集合であるならば,\(A\)の長さは\(B \)の長さ以下になるというのは直感的に正しそうですが、これもまた区間塊の長さ\(\hat{m}\)が\(\sigma \)-加法測度であることから導かれます。区間塊の長さが満たすこのような性質を単調性(monotonicity)と呼びます。

命題(区間塊の長さの単調性)
区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は単調性を満たす。すなわち、任意の区間塊\(A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に対して、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow \hat{m}\left( A\right) \leq \hat{m}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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区間塊の長さの減法性

ある区間塊\(A\)が別の区間塊\(B\)の部分集合であるものとします。区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は差集合について閉じているため\(B\backslash A\)もまた区間塊ですが、その長さは\(B\)の長さと\(A\)の長さの差になります。つまり、\begin{equation*}m\left( B\backslash A\right) =m\left( B\right) -m\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。区間塊の長さが満たすこのような性質を減法性(subtractivity)と呼びます。

命題(区間塊の長さの減法性)
区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は減法性を満たす。すなわち、任意の区間塊\(A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に対して、\begin{equation*}\hat{m}\left( B\backslash A\right) =\hat{m}\left( B\right) -\hat{m}\left(
A\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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