単関数のルベーグ積分

単関数の標準形のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられた状況において、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、ルベーグ測度\(\mu:\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)のもとで、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、\(X\)上に定義された単関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられている状況を想定します。つまり、\(f\)はルベーグ可測関数であるとともに、その値域が有限集合\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{eqnarray*}であるということです。

可測関数\(f\)の値域に属するそれぞれの値\(a_{k}\in f\left( X\right) \)に対して、以下の集合\begin{eqnarray*}\left\{ f=a_{k}\right\} &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right)
=a_{k}\right\} \\
&=&f^{-1}\left( \left\{ a_{k}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を定義します。実数を要素として持つ1点集合\(\left\{ a_{k}\right\} \)はボレル集合であるため、その逆像\(f^{-1}\left( \left\{ a_{k}\right\} \right) \)と一致する\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)はルベーグ可測です。また、単関数\(f\)の定義域であるルベーグ集合\(X\)は、\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}\left\{ f=a_{k}\right\}
\end{equation*}という形の非交和で表現されます。単関数\(f\)の標準形とは、\begin{equation*}\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と定義される関数ですが、これはもとの単関数\(f\)と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\end{equation*}が成り立つということです。したがって、単関数\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{
f=a_{k}\right\} }\right) \right) \left( x\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\left( x\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
x\right) \right) \\
&=&a_{1}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{1}\right\} }\left( x\right) +\cdots
+a_{n}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{n}\right\} }\left( x\right)
\end{eqnarray*}となります。

集合\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)はルベーグ可測であるため、ルベーグ測度\(\mu \)はその測度\(\mu \left( \left\{ f=a_{k}\right\} \right) \)を特定します。加えて、\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)は有限測度を持つルベーグ集合\(X\)の部分集合であるため、その測度\(\mu \left( \left\{f=a_{k}\right\} \right) \)もまた有限な実数として定まります。したがって、その定数倍\(a_{k}\cdot \mu \left( \left\{f=a_{k}\right\} \right) \)もまた有限な実数であり、それらの総和\begin{equation*}\sum_{k=1}^{n}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( \left\{ f=a_{k}\right\} \right) \right] \end{equation*}もまた有限な実数として定まります。そこでこれを可測関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分（Lebesgue integral of \(f\) over \(X\)）と呼び、\begin{equation*}\int_{X}f
\end{equation*}で表記します。

改めて整理すると、有限な測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の\(X\)上におけるルベーグ積分は、\begin{equation*}\int_{X}f=\sum_{k=1}^{n}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( \left\{ f=a_{k}\right\}
\right) \right] \end{equation*}と定義されます。先の議論より、これは有限な実数として定まることが保証されます。

一般の単関数のルベーグ積分

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が有限個の可測集合の非交和として表されるものとします。つまり、以下の条件\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を満たす有限個のルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在する状況を想定するということです。その上で、定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて以下の関数\begin{equation*}\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義した場合、これは単関数になることが保証されます。つまり、この関数はルベーグ可測であるとともに、その値域が有限集合になるということです。

ルベーグ可測集合\(X\)の測度が有限である場合、上のように定義される単関数の\(X\)上でのルベーグ積分は以下のように定まります。

零集合上に定義された単関数のルベーグ積分

零集合はルベーグ可測集合であり、その測度は\(0\)であるため、零集合は有限測度を持つルベーグ可測集合です。したがって、零集合上に定義された単関数について、そのルベーグ積分を考えることができますが、零集合上に定義された単関数のルベーグ積分は\(0\)になります。

演習問題