WIIS

ルベーグ積分

有限可測集合上でのルベーグ積分可能性の特徴づけ

目次

Twitter
Mailで保存

非負値をとる関数がルベーグ積分可能であるための必要条件

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)の\(X\)上のおけるルベーグ積分は、\begin{equation*}\int_{X}f=\sup \left\{ \left. \int_{A}g\in \mathbb{R} \right\vert \left.
\begin{array}{c}
g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq f\wedge \\
A\in \mathfrak{M}_{\mu }\wedge A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <+\infty
\wedge \forall x\in X\backslash A:g\left( x\right) =0\end{array}\right. \right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは1つの非負の拡大実数値として定まります。特に、\begin{equation*}
0\leq \int_{X}f<+\infty
\end{equation*}である場合、\(f\)は\(X\)上においてルベーグ積分可能であると言います。

非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}f<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、関数\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、関数\(f\)の定義域を十分小さいルベーグ可測集合\(A\)へ縮小することにより、\(f\)の\(A\)上におけるルベーグ積分の値を\(0\)へ限りなく近づけることができます。

命題(非負値をとるルベーグ積分可能であるための必要条件)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}f<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

ルベーグ積分可能であるための必要条件

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}\int_{X}f^{+} &<&+\infty \\
\int_{X}f^{-} &<&+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。ただし、以上の条件は、\begin{equation*}
\int_{X}\left\vert f\right\vert <+\infty
\end{equation*}と必要十分です。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}f
\end{equation*}が1つの有限な実数として定まります。\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選ぶと、\(f\)は\(A\)上においてもルベーグ積分であり、したがって、\begin{equation*}\int_{A}\left\vert f\right\vert <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、関数\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、関数\(\left\vert f\right\vert \)の定義域を十分小さいルベーグ可測集合\(A\)へ縮小することにより、\(\left\vert f\right\vert \)の\(A\)上におけるルベーグ積分の値を\(0\)へ限りなく近づけることができます。証明では先の命題を利用します。

命題(ルベーグ積分可能であるための必要条件)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

ルベーグ積分可能であるための十分条件

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。特に、\(X\)が有限測度を持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}である場合には逆の関係もまた成り立ちます。

命題(ルベーグ積分可能であるための十分条件)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

\(X\)の測度が有限ではない場合、上の命題の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(無限測度集合上に定義された関数)
全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるとともに、その測度は、\begin{equation*}\mu \left( \mathbb{R} \right) =+\infty
\end{equation*}です。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。定数関数はルベーグ可測であるため\(f\)はルベーグ可測関数です。また、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset \mathbb{R} \wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert
f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ一方で\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ積分可能ではありません(演習問題)。

 

有限可測集合上でのルベーグ積分可能性の特徴づけ

先に示した2つの命題より、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義されたルベーグ可測関数については、ルベーグ積分可能性を以下のように表現できることが明らかになりました。

命題(有限可測集合上でのルベーグ積分可能性の特徴づけ)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たすことは、\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であるための必要十分条件である。

 

演習問題

問題(有限測度を持つルベーグ可測集合の分割)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が有限測度を持つものとします。つまり、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}です。正の実数\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\(X\)は\(\delta \)以下の測度を持つ有限個のルベーグ可測集合の非交和として表すことができることを示してください。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }\wedge
\mu \left( A_{k}\right) <\delta
\end{equation*}を満たす互いに素なルベーグ集合族\(\left\{A_{k}\right\} \)が存在して、\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}と表すことができることを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(無限測度集合上に定義された関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset \mathbb{R} \wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert
f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示すとともに、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ積分可能ではないことを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitter
Mailで保存

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

単関数の定数倍のルベーグ積分

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された単関数の定数倍として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの単関数のルベーグ積分の定数倍と一致します。

単関数どうしの和のルベーグ積分

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数の和として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの2つの単関数のルベーグ積分の和と一致します。

単関数どうしの差のルベーグ積分

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数の差として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの2つの単関数のルベーグ積分の差と一致します。

単関数のルベーグ積分の単調性(単関数の絶対値のルベーグ積分)

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数がとり得る値の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。また、単関数の絶対値のルベーグ積分は、もとの単関数のルベーグ積分の絶対値以上になります。

有界関数のルベーグ積分とリーマン積分の関係

有界閉区間上に定義された有界関数がリーマン積分可能である場合にはルベーグ積分可能である一方で、ルベーグ積分可能な関数はリーマン積分可能であるとは限りません。したがって、ルベーグ積分はリーマン積分の拡張です。

有界関数の定数倍のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ積分可能である場合、その定数倍として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

有界関数どうしの和のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数がルベーグ積分可能である場合、それらの和として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

有界関数どうしの差のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数がルベーグ積分可能である場合、それらの差として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

有界関数のルベーグ積分の加法性

有限測度を持つルベーグ可測集合上に有界なルベーグ可測関数が定義されている状況においてその集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られます。

有界関数のルベーグ積分の単調性

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。また、有界関数の絶対値のルベーグ積分は、もとの関数のルベーグ積分の絶対値以上になります。

有界収束定理(有界なルベーグ可測関数列の極限のルベーグ積分)

有界なルベーグ可測関数列が一様収束する場合、その関数列のルベーグ積分からなる数列の極限は、一様極限のルベーグ積分と一致します。また、一様有界なルベーグ可測関数列が各点収束する場合、その関数列のルベーグ積分からなる数列の極限は、各点極限のルベーグ積分と一致します。

非負値をとるルベーグ可測関のルベーグ積分の加法性

ルベーグ可測集合上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数が定義されている状況においてその集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られます。