非負値をとる関数がルベーグ積分可能であるための必要条件
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)の\(X\)上のおけるルベーグ積分は、\begin{equation*}\int_{X}f=\sup \left\{ \left. \int_{A}g\in \mathbb{R} \right\vert \left.
\begin{array}{c}
g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq f\wedge \\
A\in \mathfrak{M}_{\mu }\wedge A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <+\infty
\wedge \forall x\in X\backslash A:g\left( x\right) =0\end{array}\right. \right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは1つの非負の拡大実数値として定まります。特に、\begin{equation*}
0\leq \int_{X}f<+\infty
\end{equation*}である場合、\(f\)は\(X\)上においてルベーグ積分可能であると言います。
非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}f<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、関数\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、関数\(f\)の定義域を十分小さいルベーグ可測集合\(A\)へ縮小することにより、\(f\)の\(A\)上におけるルベーグ積分の値を\(0\)へ限りなく近づけることができます。
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}f<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ。
ルベーグ積分可能であるための必要条件
ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}\int_{X}f^{+} &<&+\infty \\
\int_{X}f^{-} &<&+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。ただし、以上の条件は、\begin{equation*}
\int_{X}\left\vert f\right\vert <+\infty
\end{equation*}と必要十分です。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}f
\end{equation*}が1つの有限な実数として定まります。\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選ぶと、\(f\)は\(A\)上においてもルベーグ積分であり、したがって、\begin{equation*}\int_{A}\left\vert f\right\vert <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、関数\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、関数\(\left\vert f\right\vert \)の定義域を十分小さいルベーグ可測集合\(A\)へ縮小することにより、\(\left\vert f\right\vert \)の\(A\)上におけるルベーグ積分の値を\(0\)へ限りなく近づけることができます。証明では先の命題を利用します。
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ。
ルベーグ積分可能であるための十分条件
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。特に、\(X\)が有限測度を持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}である場合には逆の関係もまた成り立ちます。
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能である。
\(X\)の測度が有限ではない場合、上の命題の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}です。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。定数関数はルベーグ可測であるため\(f\)はルベーグ可測関数です。また、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset \mathbb{R} \wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert
f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ一方で\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ積分可能ではありません（演習問題）。
有限可測集合上でのルベーグ積分可能性の特徴づけ
先に示した2つの命題より、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義されたルベーグ可測関数については、ルベーグ積分可能性を以下のように表現できることが明らかになりました。
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たすことは、\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であるための必要十分条件である。
演習問題
\end{equation*}です。正の実数\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\(X\)は\(\delta \)以下の測度を持つ有限個のルベーグ可測集合の非交和として表すことができることを示してください。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{k}\in \mathfrak{M}_{\mu }\wedge
\mu \left( A_{k}\right) <\delta
\end{equation*}を満たす互いに素なルベーグ集合族\(\left\{A_{k}\right\} \)が存在して、\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}と表すことができることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset \mathbb{R} \wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert
f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示すとともに、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ積分可能ではないことを示してください。
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