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ルベーグ積分

一様可積分なルベーグ可測関数族

目次

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一様可積分なルベーグ可測関数族

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}M\left( X\right) =\left\{ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\ |\ f\text{はルベーグ可測}\right\}
\end{equation*}で表記します。一方、\(X\)上でルベーグ積分可能な拡大実数値ルベーグ可測関数をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}L\left( X\right) =\left\{ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\ |\ f\text{は}X\text{上でルベーグ積分可能}\right\}
\end{equation*}で表記します。ルベーグ可測関数だけがルベーグ積分の対象となるため、\begin{equation*}
L\left( X\right) \subset M\left( X\right)
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。他方で、ルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるとは限らないため、\begin{equation*}
M\left( X\right) \subset L\left( X\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\in L\left( X\right)
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu
}:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow
\int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立ちます。特に、\(X\)が有限測度を持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、以上の条件は\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であるための必要十分条件です。

以上を踏まえると、ルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left( X\right) \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}\mathcal{F} &\subset &L\left( X\right) \\
&\Rightarrow &\forall f\in \mathcal{F},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists
\delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset X\wedge \mu
\left( A\right) <\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert f\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。特に、\(X\)の測度が有限である場合には、ルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left( X\right) \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}\mathcal{F} &\subset &L\left( X\right) \\
&\Leftrightarrow &\forall f\in \mathcal{F},\ \forall \varepsilon >0,\
\exists \delta >0,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset X\wedge
\mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert f\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

一方、ルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left( X\right) \)が以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall f\in \mathcal{F},\
\forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right)
<\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす場合、この\(\mathcal{F}\)は\(X\)上で一様可積分である(uniformly integrable over \(X\))と言います。

改めて整理すると、ルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left( X\right) \)の要素がいずれもルベーグ積分可能であるための必要条件(\(X\)が有限測度を持つ場合には必要十分条件)は、\begin{equation}\forall f\in \mathcal{F},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\
\forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right)
<\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}である一方、ルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left(X\right) \)が一様可積分であることの定義は、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall f\in \mathcal{F},\
\forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right)
<\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}ですが、両者の違いは量化記号\begin{equation*}
\forall f\in \mathcal{F}
\end{equation*}の相対的な位置だけです。\(\left( 1\right) \)において\(\forall f\in \mathcal{F}\)は\(\exists \delta >0\)よりも前に置かれているため、\(\left( 1\right) \)を満たす\(\delta \)の水準は関数\(f\)の選び方に依存します。関数\(f\)が変われば\(\left( 1\right) \)を満たす\(\delta \)の値もまた変化するということです。一方、\(\left( 2\right) \)において\(\forall f\in \mathcal{F}\)は\(\exists \delta >0\)よりも後に置かれているため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(\delta \)の水準は関数\(f\)の選び方に依存しません。関数\(f\)が変わっても\(\left( 2\right) \)を満たす\(\delta \)の値は変化しないということです。したがって、\(\left( 2\right) \)中の\(\delta \)に課される制約は\(\left(1\right) \)中の\(\delta \)に課される制約よりも厳しいため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(\delta \)は必然的に\(\left( 1\right) \)を満たします。以上より、ルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left( X\right) \)が\(\left( 2\right) \)を満たす場合、すなわち\(\mathcal{F}\)が一様可積分である場合、\(\mathcal{F}\)は\(\left(1\right) \)を満たすことが明らかになりました。特に、\(X\)が有限測度を持つ場合、これは\(\mathcal{F}\)の要素がいずれもルベーグ積分可能であることを意味します。後ほど両者の関係を改めて整理します。

例(一様可積分な有限関数族)
有限関数族\(\left\{ f_{k}\right\}_{k=1}^{n}\subset M\left( X\right) \)が一様可積分であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall k\in \left\{ 1,\cdots
,n\right\} ,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset X\wedge \mu
\left( A\right) <\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert f_{k}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

例(一様可積分な関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset M\left( X\right) \)が一様可積分であることとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset X\wedge \mu \left(
A\right) <\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert f_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

例(一様可積分な関数族)
関数族\(\left\{ f_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda}\subset M\left( X\right) \)が一様可積分であることとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \lambda \in \Lambda ,\
\forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right)
<\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert f_{n}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

例(一様可積分な関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset M\left( \left[ 0,1\right] \right) \)の一般項であるルベーグ可測関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}f_{n}=\chi _{\left[ 0,\frac{1}{n}\right] }
\end{equation*}と定義します。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が\(\left[ 0,1\right] \)上で一様可積分であることを示します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset \left[ 0,1\right] \wedge
\mu \left( A\right) <\delta \Rightarrow \int_{A}\chi _{\left[ 0,\frac{1}{n}\right] }<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\delta =\varepsilon
\end{equation*}と定めます。その上で、\(n\in \mathbb{N} \)および\(A\subset \left[ 0,1\right] \)かつ\(\mu\left( A\right) <\delta \)を満たす\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}\int_{A}\chi _{\left[ 0,\frac{1}{n}\right] } &\leq &\int_{A}1\quad \because
\chi _{\left[ 0,\frac{1}{n}\right] }\leq 1\text{およびルベーグ積分の単調性} \\
&=&\mu \left( A\right) \\
&<&\delta \quad \because \mu \left( A\right) <\delta \\
&=&\varepsilon \quad \because \delta =\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

ルベーグ可測関数族は一様可積分であるとは限らない

ルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left( X\right) \)が一様可積分であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall f\in \mathcal{F},\
\forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right)
<\delta \Rightarrow \int_{A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、\(\mathcal{F}\)が一様可積分ではないこととは、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists f\in \mathcal{F},\
\exists A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset X\wedge \mu \left( A\right)
<\delta \wedge \int_{A}\left\vert f\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

ルベーグ可測関数族は一様可積分であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(一様可積分ではない関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset M\left( \left[ 0,1\right] \right) \)の一般項であるルベーグ可測関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}f_{n}=n\cdot \chi _{\left[ 0,\frac{1}{n}\right] }
\end{equation*}と定義します。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で一様可積分ではありません(演習問題)。

 

一様可積分関数族の要素がルベーグ積分可能であるための条件

有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left( X\right) \)が一様可積分である場合、\(\mathcal{F}\)の要素はいずれも\(X\)上でルベーグ積分可能なルベーグ可測関数になります。

命題(有限ルベーグ可測集合上に定義された一様可積分関数族の要素はルベーグ積分可能)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left( X\right) \)が一様可積分であるならば、\(\mathcal{F}\)のすべての要素は\(X\)上でルベーグ積分可能である。
証明

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ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)の測度が有限ではない場合には、ルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left( X\right) \)が一様可積分であっても、\(\mathcal{F}\)の要素は\(X\)上でルベーグ積分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(一様可積分だがルベーグ積分可能ではない関数族)
全区間\(\mathbb{R} \)は測度が\(+\infty \)であるようなルベーグ可測集合です。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。定数関数はルベーグ可測関数であるため\(f\)はルベーグ可測です。その上で、この関数\(f\)だけを要素として持つ関数族\(\left\{ f\right\}\subset M\left( \mathbb{R} \right) \)に注目します。この関数列\(\left\{ f\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上で一様可積分である一方で、その要素である\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ積分可能ではありません。

 

ルベーグ積分可能な関数族が一様可積分であるための条件

ルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left( X\right) \)のすべての要素が\(X\)上でルベーグ積分可能であっても、\(\mathcal{F}\)は一様可積分であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(ルベーグ積分可能だが一様可積分ではない関数列)
区間\(\left[ 0,1\right] \)は有限測度を持つルベーグ可測集合です。関数列\(\left\{f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset M\left( \left[ 0,1\right] \right) \)の一般項であるルベーグ可測関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}f_{n}=n\cdot \chi _{\left[ 0,\frac{1}{n}\right] }
\end{equation*}と定義します。先に示したように、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で一様可積分ではありません。その一方で、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\int_{\left[ 0,1\right] }\left\vert f_{n}\right\vert &=&\int_{\left[ 0,1\right] }n\cdot \chi _{\left[ 0,\frac{1}{n}\right] }\quad \because f_{n}\text{の定義} \\
&=&n\cdot \mu \left( \left[ 0,\frac{1}{n}\right] \right) \\
&=&n\left( \frac{1}{n}-0\right) \\
&=&1 \\
&<&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f_{n}\)は\(\left[ 0,1\right] \)上でルベーグ積分可能です。

ルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left( X\right) \)のすべての要素が\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに\(\mathcal{F}\)が有限集合である場合には、\(\mathcal{F}\)は一様可積分になります。

命題(ルベーグ積分可能な関数族が一様可積分であるための条件)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数族\(\mathcal{F}\subset M\left( X\right) \)が有限集合であるとともに\(\mathcal{F}\)のすべての要素が\(X\)上でルベーグ積分可能であるならば、\(\mathcal{F}\)は一様可積分である。
証明

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演習問題

問題(一様可積分な関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset M\left( \mathbb{R} \right) \)の一般項であるルベーグ可測関数\(f_{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}f_{n}=\chi _{\left[ n,n+1\right] }
\end{equation*}と定義します。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が\(\mathbb{R} \)上で一様可積分であることを示してください。
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問題(一様可積分ではない関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset M\left( \left[ 0,1\right] \right) \)の一般項であるルベーグ可測関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}f_{n}=n\cdot \chi _{\left[ 0,\frac{1}{n}\right] }
\end{equation*}と定義します。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が\(\left[ 0,1\right] \)上で一様可積分ではないことを示してください。
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問題(一様可積分だがルベーグ積分可能ではない関数族)
全区間\(\mathbb{R} \)は測度が\(+\infty \)であるようなルベーグ可測集合です。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。定数関数はルベーグ可測関数であるため\(f\)はルベーグ可測です。その上で、この関数\(f\)だけを要素として持つ関数族\(\left\{ f\right\}\subset M\left( \mathbb{R} \right) \)に注目します。この関数列\(\left\{ f\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上で一様可積分である一方で\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ積分可能ではないことを示してください。
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関連知識

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有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数の差として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの2つの単関数のルベーグ積分の差と一致します。

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