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ルベーグ積分

非負値関数のルベーグ積分と第2種の広義リーマン積分の関係

目次

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区間の左側の端点において無限大となる非負値関数のルベーグ積分と広義積分の関係

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界半開区間上に定義され、非負の値をとるルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset (a,b]\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が以下の条件\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}を満たすものとします。点\(a\)における値を、\begin{equation*}f\left( a\right) =+\infty
\end{equation*}と定めることにより非負の値をとる拡大実数値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \overline{\mathbb{R} }_{+}
\end{equation*}が得られますが、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において有界ではないため、\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であるか検討できません。ただし、\(a<c<b\)を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、関数\(f\)の区間\(\left[ c,b\right] \)上での不定積分\begin{equation*}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まるのであれば、\(c\rightarrow a+\)の場合の右側極限\begin{equation*}\lim_{c\rightarrow a+}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をとることができます。この右側極限が有限な実数として定まる場合、\(f\)はそもそもの定義域である\((a,b]\)上で広義リーマン積分可能であると言います。その上で、\(f\)の\((a,b]\)上における広義リーマン積分を、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow a+}\int_{c}^{b}f\left(
x\right) dx
\end{equation*}で表記します。

改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset (a,b]\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が\((a,b]\)上で広義リーマン積分可能であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( a,b\right) :\int_{c}^{b}f\left(
x\right) dx\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{c\rightarrow a+}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。その上で、\(f\)の\((a,b]\)上での広義リーマン積分は、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow a+}\int_{c}^{b}f\left(
x\right) dx
\end{equation*}と定義されます。さて、\(f\)が\((a,b]\)上で広義リーマン積分可能である場合、\begin{equation*}f\left( a\right) =+\infty
\end{equation*}と定めることにより得られる拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \overline{\mathbb{R} }_{+}\)は\(\left[ a,b\right] \)上でルベーグ積分可能になることが保証されるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{\left[ a,b\right] }f=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺は拡大実数値関数\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上でのルベーグ積分であり、右辺は実数値関数\(f\)の\((a,b]\)上での広義リーマン積分です。証明では単調収束定理を利用します。

命題(区間の左側の端点において無限大となる非負値関数のルベーグ積分と広義積分の関係)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする区間上に定義され非負値をとるルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset (a,b]\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}を満たすものとする。その一方で、\(f\)は\((a,b]\)上で広義リーマン積分可能であるものとする。つまり、以下2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( a,b\right) :\int_{c}^{b}f\left(
x\right) dx\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{c\rightarrow a+}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つものとする。\(f\left( a\right) =+\infty \)と定める場合、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \overline{\mathbb{R} }_{+}\)は\(\left[ a,b\right] \)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{\left[ a,b\right] }f=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(ルベーグ積分と広義積分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x^{-\frac{1}{2}} & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は非負値をとるとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、\(f\)が\((0,1]\)上で広義リーマン積分可能であるか検討します。そこで、\begin{equation*}0<\varepsilon <1
\end{equation*}を満たす\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(f\)の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ \varepsilon ,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ \varepsilon ,1\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right)
\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ \varepsilon ,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x^{-\frac{1}{2}}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ \varepsilon ,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 1,\varepsilon ^{-\frac{1}{2}}\right] \quad \because 0<\varepsilon
<1 \\
&=&\left[ 1,\frac{1}{\sqrt{\varepsilon }}\right] \end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\left[\varepsilon ,1\right] \)上で有界です。さらに、\begin{eqnarray*}\int_{\varepsilon }^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{\varepsilon }^{1}x^{-\frac{1}{2}}dx \\
&=&\left[ 2x^{\frac{1}{2}}\right] _{\varepsilon }^{1} \\
&=&2\cdot 1^{\frac{1}{2}}-2\cdot \varepsilon ^{\frac{1}{2}} \\
&=&2-2\sqrt{\varepsilon }
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{\varepsilon }^{1}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\left( 2-2\sqrt{\varepsilon }\right) \\
&=&2-0 \\
&=&2
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left( 0,1\right] \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx=2
\end{equation*}となります。すると先の命題より、\(f\)は\(\left[0,1\right] \)上でルベーグ積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{\left[ 0,1\right] }f &=&\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。

 

区間の右側の端点において無限大となる非負値関数のルベーグ積分と広義積分の関係

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界半開区間上に定義され、非負の値をとるルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,b)\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が以下の条件\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}を満たすものとします。点\(b\)における値を、\begin{equation*}f\left( b\right) =+\infty
\end{equation*}と定めることにより非負の値をとる拡大実数値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \overline{\mathbb{R} }_{+}
\end{equation*}が得られますが、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において有界ではないため、\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であるか検討できません。ただし、\(a<c<b\)を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、関数\(f\)の区間\(\left[ a,c\right] \)上での不定積分\begin{equation*}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まるのであれば、\(c\rightarrow b-\)の場合の左側極限\begin{equation*}\lim_{c\rightarrow b-}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をとることができます。この左側極限が有限な実数として定まる場合、\(f\)はそもそもの定義域である\([a,b)\)上で広義リーマン積分可能であると言います。その上で、\(f\)の\([a,b)\)上における広義リーマン積分を、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow b-}\int_{a}^{c}f\left(
x\right) dx
\end{equation*}で表記します。

改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,b)\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が\([a,b)\)上で広義リーマン積分可能であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( a,b\right) :\int_{a}^{c}f\left(
x\right) dx\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{c\rightarrow b-}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。その上で、\(f\)の\([a,b)\)上での広義リーマン積分は、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow b-}\int_{a}^{c}f\left(
x\right) dx
\end{equation*}と定義されます。さて、\(f\)が\([a,b)\)上で広義リーマン積分可能である場合、\begin{equation*}f\left( b\right) =+\infty
\end{equation*}と定めることにより得られる拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \overline{\mathbb{R} }_{+}\)は\(\left[ a,b\right] \)上でルベーグ積分可能になることが保証されるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{\left[ a,b\right] }f=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺は拡大実数値関数\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上でのルベーグ積分であり、右辺は実数値関数\(f\)の\([a,b)\)上での広義リーマン積分です。証明では単調収束定理を利用します。

命題(区間の右側の端点において無限大となる非負値関数のルベーグ積分と広義積分の関係)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする区間上に定義され非負値をとるルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,b)\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}を満たすものとする。その一方で、\(f\)は\([a,b)\)上で広義リーマン積分可能であるものとする。つまり、以下2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( a,b\right) :\int_{a}^{c}f\left(
x\right) dx\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{c\rightarrow b-}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つものとする。\(f\left( b\right) =+\infty \)と定める場合、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \overline{\mathbb{R} }_{+}\)は\(\left[ a,b\right] \)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{\left[ a,b\right] }f=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(ルベーグ積分と広義積分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,0\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -1,0\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left( -x\right) ^{-\frac{1}{2}} & \left( if\ -1\leq x<0\right) \\
+\infty & \left( if\ x=1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は非負値をとるとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、\(f\)が\(\left[ -1,0\right) \)上で広義リーマン積分可能であるか検討します。そこで、\begin{equation*}-1<\varepsilon <0
\end{equation*}を満たす\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(f\)の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,\varepsilon \right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -1,\varepsilon \right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right)
\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,\varepsilon \right] \right\} \\
&=&\left\{ \left( -x\right) ^{-\frac{1}{2}}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -1,\varepsilon \right] \right\} \\
&=&\left[ 1,\left( -\varepsilon \right) ^{-\frac{1}{2}}\right] \quad
\because -1<\varepsilon <0 \\
&=&\left[ 1,\frac{1}{\sqrt{-\varepsilon }}\right] \end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\left[-1,\varepsilon \right] \)上で有界です。さらに、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{\varepsilon }f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{\varepsilon
}\left( -x\right) ^{-\frac{1}{2}}dx \\
&=&\left[ -2\left( -x\right) ^{\frac{1}{2}}\right] _{-1}^{\varepsilon } \\
&=&-2\cdot \left( -\varepsilon \right) ^{\frac{1}{2}}+2\cdot 1^{\frac{1}{2}}
\\
&=&-2\sqrt{-\varepsilon }+2
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0-}\int_{-1}^{\varepsilon }f\left( x\right) dx
&=&\lim_{\varepsilon \rightarrow 0-}\left( -2\sqrt{-\varepsilon }+2\right)
\\
&=&0+2 \\
&=&2
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left[ -1,0\right) \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx=2
\end{equation*}となります。すると先の命題より、\(f\)は\(\left[-1,0\right] \)上でルベーグ積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{\left[ -1,0\right] }f &=&\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(ルベーグ積分と広義リーマン積分の関係)
以下のルベーグ積分\begin{equation*}
\int_{\left[ 1,3\right] }\frac{1}{\sqrt{x-1}}
\end{equation*}の値を求めてください。

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問題(ルベーグ積分と広義リーマン積分の関係)
以下のルベーグ積分\begin{equation*}
\int_{\left[ 0,1\right] }\ln
\end{equation*}の値を求めてください。

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関連知識

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有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数の差として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの2つの単関数のルベーグ積分の差と一致します。

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有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。また、有界関数の絶対値のルベーグ積分は、もとの関数のルベーグ積分の絶対値以上になります。

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非負値をとるルベーグ可測関のルベーグ積分の加法性

ルベーグ可測集合上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数が定義されている状況においてその集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られます。