非負値をとるルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

非負値をとるルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられている状況を想定します。加えて、\(f\)は非負値をとるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の条件を満たすルベーグ可測関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は、\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\sup \left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq f\wedge \mu \left(
g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right) <+\infty \right\} \\
&=&\sup \left\{ \left. \int_{A}g\in \mathbb{R} \right\vert \left.
\begin{array}{c}
g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq f\wedge \\
A\in \mathfrak{M}_{\mu }\wedge A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <+\infty
\wedge \forall x\in X\backslash A:g\left( x\right) =0\end{array}\right. \right\}
\end{eqnarray*}と定義されますが、これは非負の拡大実数として定まります。特に、これが有限な実数として定まる場合、すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}f<+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であると言います。

以上の状況において、正の実数\(\lambda >0\)を任意に選んだ上で拡大実数値関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測関数であるため\(\lambda f\)もまたルベーグ可測です。また、\(f\left( x\right) \)は非負の実数または正の無限大であるため、それと正の実数\(\lambda \)の積もまた非負の実数または正の無限大であり、したがって、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq \left( \lambda f\right) \left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\lambda f\)もまた非負値をとるため、\(\lambda f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分が、\begin{eqnarray*}\int_{X}\lambda f &=&\sup \left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq \lambda f\wedge \mu
\left( g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right) <+\infty
\right\} \\
&=&\sup \left\{ \left. \int_{A}g\in \mathbb{R} \right\vert \left.
\begin{array}{c}
g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq \lambda f\wedge \\
A\in \mathfrak{M}_{\mu }\wedge A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <+\infty
\wedge \forall x\in X\backslash A:g\left( x\right) =0\end{array}\right. \right\}
\end{eqnarray*}として定まります。

以上の状況において、関数\(\lambda f\)のルベーグ積分ともとの関数\(f\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが保証されます。さらに、関数\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、関数\(\lambda f\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能になります。

ルベーグ可測関数が非負の実数のみを値としてとる場合

先の命題において、\(\lambda =0\)の場合は考慮されていません。実際、拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が、\begin{equation*}\exists x\in X:f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}を満たす場合、そのような点\(x\in X\)について、\begin{equation*}\lambda \cdot f\left( x\right) =0\cdot \left( +\infty \right)
\end{equation*}となり、これは不定形になってしまうため、拡大実数値関数\(\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそもそも定義不可能です。

一方、拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち\(f\)が実数値関数である場合には任意の\(\lambda \geq 0\)に対して関数\(\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これもまたルベーグ可測関数になります。その一方で、この場合にも、\(\lambda =0\)については、\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}0f=0\int_{X}f
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題