WIIS

ルベーグ積分

非負値をとるルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

目次

Twitter
Mailで保存

非負値をとるルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられている状況を想定します。加えて、\(f\)は非負値をとるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の条件を満たすルベーグ可測関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は、\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\sup \left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq f\wedge \mu \left(
g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right) <+\infty \right\} \\
&=&\sup \left\{ \left. \int_{A}g\in \mathbb{R} \right\vert \left.
\begin{array}{c}
g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq f\wedge \\
A\in \mathfrak{M}_{\mu }\wedge A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <+\infty
\wedge \forall x\in X\backslash A:g\left( x\right) =0\end{array}\right. \right\}
\end{eqnarray*}と定義されますが、これは非負の拡大実数として定まります。特に、これが有限な実数として定まる場合、すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}f<+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であると言います。

以上の状況において、正の実数\(\lambda >0\)を任意に選んだ上で拡大実数値関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測関数であるため\(\lambda f\)もまたルベーグ可測です。また、\(f\left( x\right) \)は非負の実数または正の無限大であるため、それと正の実数\(\lambda \)の積もまた非負の実数または正の無限大であり、したがって、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq \left( \lambda f\right) \left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\lambda f\)もまた非負値をとるため、\(\lambda f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分が、\begin{eqnarray*}\int_{X}\lambda f &=&\sup \left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq \lambda f\wedge \mu
\left( g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right) <+\infty
\right\} \\
&=&\sup \left\{ \left. \int_{A}g\in \mathbb{R} \right\vert \left.
\begin{array}{c}
g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq \lambda f\wedge \\
A\in \mathfrak{M}_{\mu }\wedge A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <+\infty
\wedge \forall x\in X\backslash A:g\left( x\right) =0\end{array}\right. \right\}
\end{eqnarray*}として定まります。

以上の状況において、関数\(\lambda f\)のルベーグ積分ともとの関数\(f\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが保証されます。さらに、関数\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、関数\(\lambda f\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能になります。

命題(非負値をとるルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとする。正の実数\(\lambda >0\)を任意に選んで関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、\(\lambda f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数になる。このとき、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つ。加えて、\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であるならば、\(\lambda f\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能になる。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

ルベーグ可測関数が非負の実数のみを値としてとる場合

先の命題において、\(\lambda =0\)の場合は考慮されていません。実際、拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が、\begin{equation*}\exists x\in X:f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}を満たす場合、そのような点\(x\in X\)について、\begin{equation*}\lambda \cdot f\left( x\right) =0\cdot \left( +\infty \right)
\end{equation*}となり、これは不定形になってしまうため、拡大実数値関数\(\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそもそも定義不可能です。

一方、拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち\(f\)が実数値関数である場合には任意の\(\lambda \geq 0\)に対して関数\(\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これもまたルベーグ可測関数になります。その一方で、この場合にも、\(\lambda =0\)については、\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}0f=0\int_{X}f
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(非負値をとるルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分)
ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) =+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、正の定数\(c>0\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。この場合、任意の\(\lambda \geq 0\)に対してルベーグ可測関数\(\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義可能である一方で、\(\lambda =0\)に関しては、\begin{equation*}\int_{X}0f=0\int_{X}f
\end{equation*}は成り立ちません(演習問題)。

 

演習問題

問題(非負値をとるルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分)
ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) =+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、正の定数\(c>0\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。この場合、任意の\(\lambda \geq 0\)に対してルベーグ可測関数\(\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義可能である一方で、\(\lambda =0\)に関しては、\begin{equation*}\int_{X}0f=0\int_{X}f
\end{equation*}が成り立たないことを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Twitter
Mailで保存

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

単関数の定数倍のルベーグ積分

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された単関数の定数倍として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの単関数のルベーグ積分の定数倍と一致します。

単関数どうしの和のルベーグ積分

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数の和として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの2つの単関数のルベーグ積分の和と一致します。

単関数どうしの差のルベーグ積分

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数の差として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの2つの単関数のルベーグ積分の差と一致します。

多変数関数の定数倍の偏微分

偏微分可能な関数の定数倍として定義される関数もまた偏微分可能であり、その関数の勾配ベクトルはもとの関数の勾配ベクトルの定数倍と一致します。

単関数のルベーグ積分の単調性(単関数の絶対値のルベーグ積分)

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数がとり得る値の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。また、単関数の絶対値のルベーグ積分は、もとの単関数のルベーグ積分の絶対値以上になります。

有界関数のルベーグ積分とリーマン積分の関係

有界閉区間上に定義された有界関数がリーマン積分可能である場合にはルベーグ積分可能である一方で、ルベーグ積分可能な関数はリーマン積分可能であるとは限りません。したがって、ルベーグ積分はリーマン積分の拡張です。

多変数関数の定数倍の上積分・下積分・定積分

n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された多変数関数が多重リーマン積分可能である場合、その関数の定数倍として定義される多変数関数もまた多重リーマン積分可能です。

可測関数の定数倍は可測関数

ルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測関数です。また、ボレル可測関数の定数倍として定義される関数はボレル可測関数です。

有界関数の定数倍のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ積分可能である場合、その定数倍として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

有界関数どうしの和のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数がルベーグ積分可能である場合、それらの和として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

有界関数どうしの差のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数がルベーグ積分可能である場合、それらの差として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

有界関数のルベーグ積分の加法性

有限測度を持つルベーグ可測集合上に有界なルベーグ可測関数が定義されている状況においてその集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られます。

有界関数のルベーグ積分の単調性

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。また、有界関数の絶対値のルベーグ積分は、もとの関数のルベーグ積分の絶対値以上になります。