非負値をとるルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

非負値をとるルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義され、非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

ルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられた状況において、正の実数\(\lambda >0\)を任意に選んだ上で拡大実数値関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測であるため、\(\lambda f\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数であることに注意してください。また、\(\lambda >0\)ゆえに\(\lambda f\)もまた非負値をとります。関数\(f\)のルベーグ積分と関数\(\lambda f\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda fd\mu =\lambda \int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。しかも、\(f\)がルベーグ積分可能である場合には\(\lambda f\)もまたルベーグ積分可能になります。つまり、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu <+\infty \Rightarrow \int_{X}\lambda fd\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

ルベーグ可測関数が非負の実数だけを値としてとる場合

先の命題において\(\lambda =0\)の場合は考慮されていません。実際、拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が、\begin{equation*}\exists x\in X:f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}を満たす場合、そのような点\(x\in X\)について、\begin{equation*}\lambda \cdot f\left( x\right) =0\cdot \left( +\infty \right)
\end{equation*}となりますが、これは不定形であるため、拡大実数値関数\(\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそもそも定義不可能です。

一方、拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち\(f\)が非負の有限な実数だけを値としてとる場合には、任意の\(\lambda \geq 0\)に対して関数\(\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これもまたルベーグ可測関数になります。その一方で、この場合にも、\(\lambda =0\)の場合には、\begin{equation*}\int_{X}\lambda fd\mu =\lambda \int_{X}fd\mu
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}0fd\mu =0\int_{X}fd\mu
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題