一般のルベーグ可測関数のルベーグ積分

ルベーグ可測関数の正成分のルベーグ積分

これまでの話の流れを振り返ると、まずは有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された単関数のルベーグ積分を定義するとともに、その知識を土台に、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数のルベーグ積分を定義しました。さらにその知識を土台に、一般のルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数のルベーグ積分を定義しましたが、以降ではこれらの知識を動員して、一般のルベーグ可測集合上に定義された一般の拡大実数値ルベーグ可測関数のルベーグ積分を定義します。

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、拡大実数値関数\(f^{+}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を、\begin{equation*}f^{+}=\max \left\{ f,0\right\}
\end{equation*}と定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}f^{+}\left( x\right) =\max \left\{ f\left( x\right) ,0\right\}
\end{equation*}を値として定めます。この関数\(f^{+}\)をもとの関数\(f\)の正成分（positive part）と呼びます。

拡大実数値関数\(f\)がルベーグ可測関数である場合、その正成分\(f^{+}\)は非負値をとるルベーグ可測関数になります。

ルベーグ可測集合\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f\)の正成分\(f^{+}\)は非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であることが明らかになりました。したがって、\(X\)上におけるルベーグ測度\begin{equation*}\int_{X}f^{+}
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まります。特に、\(f^{+}\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であることとは、\(X\)上におけるルベーグ積分が有限な実数として定まること、すなわち、\begin{equation*}\int_{X}f^{+}<+\infty
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

ルベーグ可測関数の負成分のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、拡大実数値関数\(f^{-}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を、\begin{equation*}f^{-}=\max \left\{ -f,0\right\}
\end{equation*}と定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}f^{-}\left( x\right) =\max \left\{ -f\left( x\right) ,0\right\}
\end{equation*}を値として定めます。この関数\(f^{-}\)をもとの関数\(f\)の負成分（negative part）と呼びます。

拡大実数値関数\(f\)がルベーグ可測関数である場合、その負成分\(f^{-}\)は非負値をとるルベーグ可測関数になります。

ルベーグ可測集合\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f\)の負成分\(f^{-}\)は非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であることが明らかになりました。したがって、\(X\)上におけるルベーグ測度\begin{equation*}\int_{X}f^{-}
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まります。特に、\(f^{-}\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であることとは、\(X\)上におけるルベーグ積分が有限な実数として定まること、すなわち、\begin{equation*}\int_{X}f^{-}<+\infty
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

ルベーグ可測関数のルベーグ積分

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}に加えて、それらの正成分と負成分\begin{eqnarray*}
f^{+} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
f^{-} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。

点\(x\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}f^{+}\left( x\right) -f^{-}\left( x\right) &=&\max \left\{ f\left( x\right)
,0\right\} -\max \left\{ -f\left( x\right) ,0\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) -0 & \left( if\ f\left( x\right) \geq 0\right) \\
0-\left( -f\left( x\right) \right) & \left( if\ f\left( x\right) <0\right)
\end{array}\right. \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成立するため、\begin{equation*}
f=f^{+}-f^{-}
\end{equation*}を得ます。したがって、\(f\)がルベーグ可測関数であることと、\(f^{+}\)と\(f^{-}\)の双方がルベーグ可測関数であることは必要十分になります。

ルベーグ可測集合\(X\)上に定義された拡大実数値関数\(f\)がルベーグ可測であることと、その正成分\(f^{+}\)と負成分\(f^{-}\)の双方がルベーグ可測関数であることは必要十分であることが明らかになりました。加えて、以下の関係\begin{equation*}f=f^{+}-f^{-}
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、\(f\)が拡大実数値ルベーグ可測関数である状況において、\(f^{+}\)と\(f^{-}\)がともに\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}\int_{X}f^{+} &<&+\infty \\
\int_{X}f^{-} &<&+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能（Lebesgue integrable over \(X\)）であると言います。その上で、\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分（Lebesgue integral over \(X\)）を、\begin{equation*}\int_{X}f=\int_{X}f^{+}-\int_{X}f^{-}
\end{equation*}と定義します。

改めて整理すると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であることとは、\begin{eqnarray*}\int_{X}f^{+} &<&+\infty \\
\int_{X}f^{-} &<&+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。また、\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分を、\begin{equation*}\int_{X}f=\int_{X}f^{+}-\int_{X}f^{-}
\end{equation*}と定義します。

絶対値関数を用いたルベーグ積分可能性の特徴づけ

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとします。その上で、以下の拡大実数\begin{equation*}\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すれば、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( x\right) =\left\vert f\left( x\right)
\right\vert
\end{equation*}を値として定めます。

拡大実数値ルベーグ可測関数の絶対値として定義される関数は拡大実数値ルベーグ可測関数であるため、\(f\)が拡大実数値ルベーグ可測関数である場合には\(\left\vert f\right\vert \)もまた拡大実数値ルベーグです。加えて、絶対値の定義より、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq \left\vert f\left( x\right) \right\vert \leq +\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X:0\leq \left\vert f\right\vert \left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\vert f\right\vert \)は非負値をとります。したがって、\(X\)上におけるルベーグ測度\begin{equation*}\int_{X}\left\vert f\right\vert
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まります。

特に、\(\left\vert f\right\vert \)が\(X\)上でルベーグ積分可能であることとは、\(X\)上におけるルベーグ積分が有限な実数として定まること、すなわち、\begin{equation*}\int_{X}\left\vert f\right\vert <+\infty
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であることと必要十分です。

先の命題はルベーグ可測関数\(f\)がルベーグ積分可能であることの判定条件を与えているのであり、\(f\)と\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分が一致するとまでは主張していません。実際、\(f\)がルベーグ積分可能である状況において、\(f\)のルベーグ積分と\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

ルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるとは限らない

ルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

ルベーグ可測関数が実数値関数であっても、ルベーグ積分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

ルベーグ積分の一意性

ルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるとは限らないことが明らかになりました。一方、ルベーグ可測関数がルベーグ積分可能である場合、そのルベーグ積分は1つの実数として定まります。

非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分との関係

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。非負値をとるルベーグ可測関数を対象とするルベーグ積分の定義にもとづく\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( N\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}で表記します。一方、一般のルベーグ可測関数を対象に新たに定義したルベーグ積分概念にもとづく先の非負値をとる関数\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( L\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}で表記します。この場合、\begin{equation*}
\left( L\right) \ \int_{X}f=\left( N\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}を得ます。つまり、新たに定義したルベーグ積分の概念は、非負値をとる関数を対象としたルベーグ積分の概念の一般化です。

有界なルベーグ可測関数のルベーグ積分との関係

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数を対象とするルベーグ積分の定義にもとづく\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( B\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}で表記します。一方、一般のルベーグ可測関数を対象に新たに定義したルベーグ積分概念にもとづく先の有界関数\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( L\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}で表記します。この場合、\begin{equation*}
\left( L\right) \ \int_{X}f=\left( B\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}を得ます。つまり、新たに定義したルベーグ積分の概念は、有限測度を持つルベーグ集合上に定義された有界関数を対象としたルベーグ積分の概念の一般化です。

零集合上に定義されたルベーグ可測関数のルベーグ積分

零集合はルベーグ可測集合です。したがって、零集合上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数について、そのルベーグ積分を考えることができますが、そのルベーグ積分は必ず\(0\)になります。

ルベーグ積分可能な関数はほとんどいたるところで有限値をとる

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、\(f\)は\(X\)上のほとんどいたるところで有限な実数を値としてとることが保証されます。つまり、以下のルベーグ可測集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \left\{ +\infty ,-\infty \right\}
\right\}
\end{equation*}のルベーグ測度が、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) =0
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\forall x\in X\backslash A:-\infty <f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

特性関数を用いたルベーグ積分の表現

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。

ルベーグ可測集合\(X\)に関する特性関数\(\chi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を導入した上で、拡大実数値\begin{equation*}f\cdot \chi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測であり、ルベーグ可測関数どうしの積として定義される関数はルベーグ可測であるため\(f\cdot \chi _{X}\)はルベーグ可測です。さらに、以下の関係\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) =\left( f\cdot \chi _{X}\right) \left(
x\right)
\end{equation*}が明らかに成り立つため、以下の関係\begin{equation*}
\int_{X}f=\int_{X}f\cdot \chi _{X}
\end{equation*}が成り立ちます。では、\(f\)を\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合上でルベーグ積分する場合にも同様の関係は成立するのでしょうか。

ルベーグ可測集合\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合\(A\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を導入した上で、拡大実数値\begin{equation*}f\cdot \chi _{A}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測であり、ルベーグ可測関数どうしの積として定義される関数はルベーグ可測であるため、\begin{equation*}
\int_{X}f\cdot \chi _{A}
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることに注意してください。加えて、以下の関係\begin{equation*}
\left( f\cdot \chi _{A}\right) \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in A\right) \\
0 & \left( if\ x\in X\backslash A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。\(f\)はルベーグ可測関数であるため\(A\)上でのルベーグ積分が定まりますが、これについては、以下の関係\begin{equation*}\int_{A}f=\int_{X}f\cdot \chi _{A}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

演習問題