非負値をとる単関数のルベーグ積分は非負
ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)はルベーグ可測関数であるとともに、その値域が有限集合\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{eqnarray*}であるということです。加えて、\(f\)は定義域\(X\)上において非負値のみをとるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{k}\geq 0
\end{equation*}が成り立つということです。
単関数\(f\)の値域に属するそれぞれの値\(a_{k}\in f\left(X\right) \)に対して、以下の集合\begin{eqnarray*}\left\{ f=a_{k}\right\} &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right)
=a_{k}\right\} \\
&=&f^{-1}\left( \left\{ a_{k}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を定義すれば、\(f\)の定義域であるルベーグ集合\(X\)は、\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}\left\{ f=a_{k}\right\}
\end{equation*}という形の非交和で表現されます。単関数\(f\)の標準形とは、\begin{equation*}\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と定義される関数ですが、これはもとの単関数\(f\)と一致します。ただし、\(\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\)は集合\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)に関する特性関数です。つまり、以下の関係\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\end{equation*}が成り立つため、単関数\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{
f=a_{k}\right\} }\right) \right) \left( x\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\left( x\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
x\right) \right) \\
&=&a_{1}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{1}\right\} }\left( x\right) +\cdots
+a_{n}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{n}\right\} }\left( x\right)
\end{eqnarray*}となります。
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\)上に定義された単関数\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であり、そのルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}f=\sum_{k=1}^{n}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( \left\{ f=a_{k}\right\}
\right) \right]
\end{equation*}は有限な実数として定まりますが、以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
\int_{X}f\geq 0
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\forall x\in X:f\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)の標準形が、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\end{equation*}であるものとする。このとき、\begin{equation*}
\int_{X}\lambda f\geq 0
\end{equation*}が成り立つ。
単関数を表現する手段は標準形に限定されません。ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が、以下の条件\begin{equation*}
X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を満たすルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}という形で表されることは、\(f\)が単関数であるための必要十分条件です。
加えて、\(f\)が\(X\)上で非負値をとることは、定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)がいずれも非負値であることと必要十分になります。
\end{equation*}を満たすルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in X:f\left( x\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{k}\geq 0
\end{eqnarray*}は必要十分である。
以上の命題を踏まえると以下を得ます。
\end{equation*}を満たすとともに、以下の条件\begin{equation*}
X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を満たすルベーグ集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、\begin{equation*}
\int_{X}\lambda f\geq 0
\end{equation*}が成り立つ。
結論をまとめます。
\end{equation*}を満たすならば、\begin{equation*}
\int_{X}\lambda f\geq 0
\end{equation*}が成り立つ。
単関数のルベーグ積分の単調性
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの単関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合には、これらのルベーグ積分の間にも同様の大小関係\begin{equation*}
\int_{X}f\leq \int_{X}g
\end{equation*}が成立することが保証されます。以上の性質を単関数のルベーグ積分に関する単調性（monotonicity）と呼びます。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
\int_{X}f\leq \int_{X}g
\end{equation*}が成り立つ。
単関数の絶対値のルベーグ積分
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}の値域が、\begin{equation*}
f\left( X\right) =\left\{ a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right\}
\end{equation*}であるものとします。その上で、関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( x\right) =\left\vert f\left( x\right)
\right\vert
\end{equation*}を定めます。
単関数はルベーグ可測であるため\(f\)はルベーグ可測ですが、ルベーグ可測関数の絶対値をとることにより得られる関数はルベーグ関数であるため\(\left\vert f\right\vert \)はルベーグ可測です。加えて、\(\left\vert f\right\vert \)の値域は、\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( X\right) =\left\{ \left\vert a_{1}\right\vert
,\left\vert a_{2}\right\vert ,\cdots ,\left\vert a_{n}\right\vert \right\}
\end{equation*}ですが、これは有限集合です。したがって\(\left\vert f\right\vert \)もまた単関数であることが明らかになりました。
単関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のルベーグ積分と、そこから定義される単関数\(\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert \int_{X}f\right\vert \leq \int_{X}\left\vert f\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、単関数\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分は、単関数\(f\)のルベーグ積分の絶対値以上になります。
\end{equation*}が成り立つ。
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