非負値をとるルベーグ可測関のルベーグ積分の加法性

非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分の加法性

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

\(X\)の部分集合であるような互いに素な2つのルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。ルベーグ可測集合族は和集合について閉じているため\(A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)であり、したがって以下のルベーグ積分\begin{equation*}\int_{A\cup B}f,\quad \int_{A}f,\quad \int_{B}f
\end{equation*}がそれぞれ拡大実数として定まりますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\int_{A\cup B}f=\int_{A}f+\int_{B}f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、ルベーグ可測集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られるということです。以上の性質を非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分に関する加法性（additivity）と呼びます。

零集合の補集合上でのルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

零集合であるような\(X\)の部分集合\(A\)を任意に選びます。零集合はルベーグ可測集合であるため\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)であるとともに、零集合の定義より、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =0
\end{equation*}です。\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)かつ\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)であるため\(X\backslash A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)であり、したがって以下のルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}f,\quad \int_{X\backslash A}f
\end{equation*}がともに拡大実数として定まりますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\int_{X}f=\int_{X\backslash A}f
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(X\)上のルベーグ積分を導出する際、\(X\)から零集合を除いてもルベーグ積分の値は変化しません。