非負値関数のルベーグ積分の非負性
ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0\leq f\leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。
加えて、\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}f=\int_{X}f^{+}-\int_{X}f^{-}
\end{equation*}が有限な実数として定まりますが、以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
0\leq \int_{X}f<+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、非負値をとるルベーグ可測関数がルベーグ積分可能である場合、ルベーグ積分の値は非負の有限な実数になります。
\end{equation*}が成り立つ。
ルベーグ積分の単調性
ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。さらに、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\leq g
\end{equation*}が成り立つものとします。
加えて、\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)および\(g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\int_{X}f^{+}-\int_{X}f^{-} \\
\int_{X}g &=&\int_{X}g^{+}-\int_{X}g^{-}
\end{eqnarray*}が有限な実数として定まりますが、以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
\int_{X}f\leq \int_{X}g
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質をルベーグ積分に関する単調性（monotonicity）と呼びます。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}の間に以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。\(f\)と\(g\)がともに\(X\)上でルベーグ積分可能であるならば、\begin{equation*}\int_{X}f\leq \int_{X}g
\end{equation*}が成り立つ。
絶対値関数のルベーグ積分
ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。
加えて、\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}f=\int_{X}f^{+}-\int_{X}f^{-}
\end{equation*}が有限な実数として定まるため、その絶対値\begin{equation*}
\left\vert \int_{X}f\right\vert
\end{equation*}もまた有限な実数として定まります。
以上の状況において関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( x\right) =\left\vert f\left( x\right)
\right\vert
\end{equation*}を定めます。ルベーグ可測関数の絶対値として定義される関数はルベーグ可測関数であるため\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数ですが、以上の状況のもとでは\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能になることが保証されます。したがって、\(\left\vert f\right\vert \)の\(X\)上でのルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\left\vert f\right\vert =\int_{X}\left\vert f\right\vert
^{+}-\int_{X}\left\vert f\right\vert ^{-}
\end{equation*}が有限な実数として定まります。加えて、関数\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分ともとの関数\(f\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert \int_{X}f\right\vert \leq \int_{X}\left\vert f\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、関数\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分は、もとの関数\(f\)のルベーグ積分の絶対値以上になります。
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}が成り立つことを本文中で示しました。実際には、\(X\)上のほとんどいたるところで\(f\geq 0\)が成り立つ場合にも同様の主張が成り立つことを示してください。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が\(X\)上において\(f\leq g\)を満たすとともに\(f\)と\(g\)がともに\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、\begin{equation*}\int_{X}f\leq \int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことを本文中で示しました。実際には、\(X\)上のほとんどいたるところで\(f\leq g\)が成り立つ場合にも同様の主張が成り立つことを示してください。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が\(X\)上のほとんどいたるところで等しいものとします。加えて、\(f\)と\(g\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合には、\begin{equation*}\int_{X}f=\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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