ルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

ルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。

実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を選んだとき、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:\lambda f\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、拡大実数値関数\begin{equation*}
\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。ルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測であるため、\(\lambda f\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数です。

以上の状況において、関数\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合には関数\(\lambda f\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、両者のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda fd\mu =\lambda \int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。

拡大実数値関数の定数倍が必ずも定義可能ではない場合

先の命題では拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)と実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)に対して以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:\lambda f\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ状況を想定しています。以上の条件が成り立たない場合、そもそも関数\(\lambda f\)は定義可能であるとは限りません。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\lambda &=&0 \\
\exists x &\in &X:f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、この点\(x\in X\)について、\begin{equation*}\lambda f\left( x\right) =0\cdot \left( +\infty \right)
\end{equation*}となり、これは不定形です。したがって関数\(\lambda f\)は定義不可能です。ただし、このような問題は解決可能です。具体的には以下の通りです。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分について、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立つため、実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda \int_{X}fd\mu <+\infty
\end{equation*}もまた成り立ちます。

ルベーグ積分可能な関数はほとんどいたるところで実数値をとるため、この場合、以下のルベーグ可測集合\begin{equation*}
A=\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \left\{ +\infty ,-\infty \right\}
\right\}
\end{equation*}のルベーグ測度は、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) =0
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\forall x\in X\backslash A:-\infty <f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

拡大実数値関数\(f\)の定義域を\(X\backslash A\)へ縮小すると実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\backslash A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}になります。\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるため、その部分集合であるルベーグ可測集合\(X\backslash A\)上においてもルベーグ積分可能です。しかも、\(A\)は零集合であるため、\begin{equation}\int_{X\backslash A}fd\mu =\int_{X}fd\mu \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。

関数\(f\)は\(X\backslash A\)上で実数値をとるため、以下の実数値関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\backslash A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。すると先の命題より\(\lambda f\)もまた\(X\backslash A\)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation}\int_{X\backslash A}\lambda fd\mu =\lambda \int_{X\backslash A}fd\mu
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。

以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lambda \int_{X}fd\mu &=&\lambda \int_{X\backslash A}fd\mu \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\int_{X\backslash A}\lambda fd\mu \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lambda \int_{X}fd\mu =\int_{X\backslash A}\lambda fd\mu
\end{equation*}を得ます。つまり、\(X\)上でルベーグ積分可能な拡大実数値関数\(f\)は\(X\)上のほとんどいたるところで実数値をとるため、\(X\)上のほとんどいたるところで実数値関数\(\lambda f\)が定義可能ですが、\(\lambda f\)が定義可能な集合\(X\backslash A\)上で\(\lambda f\)をルベーグ積分すれば、それはもとの拡大実数値関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分と一致します。

上の命題中のルベーグ可測関数\begin{equation}
\lambda f:\mathbb{R} \supset X\backslash A\rightarrow \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられた状況において、\(A\)上の点\(x\)に対して拡大実数\(\left( \lambda f\right) \left( x\right) \)を割り当てれば定義域を\(X\)へ拡大した拡大実数値関数\begin{equation}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \quad \cdots (2)
\end{equation}が得られます。\(A\)上の点\(x\)に対する\(\left( \lambda f\right) \left(x\right) \)としてどのような値を選んだ場合でも、\(X\)上に定義された関数\(\lambda f\)はルベーグ可測になることが保証されます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は\(X\)上のほとんどいたるところで等しいため\(\left( 2\right) \)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{X}\lambda fd\mu =\int_{X\backslash A}\lambda fd\mu
\end{equation*}を得ます。以上の事実と先の命題を踏まえると、\begin{equation*}
\lambda \int_{X}fd\mu =\int_{X}\lambda fd\mu
\end{equation*}を得ます。つまり、\(X\)上でルベーグ積分可能な拡大実数値関数\(f\)は\(X\)上のほとんどいたるところで実数値をとるため、\(X\)上のほとんどいたるところで実数値関数\(\lambda f\)が定義可能ですが、その関数\(\lambda f\)の定義域をどのような形で\(X\)へ拡張した場合においても拡大実数値関数\(\lambda f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、そのルベーグ積分の値は、もとの関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分の\(\lambda \)倍と一致します。