ルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

ルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}f=\int_{X}f^{+}-\int_{X}f^{-}
\end{equation*}が有限な実数として定まります。

実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測関数であるため\(\lambda f\)もまたルベーグ可測関数であることに注意してください。

以上の状況において、\(\lambda f\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分になることが保証されます。つまり、\(\lambda f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\int_{X}\left( \lambda f\right) ^{+}-\int_{X}\left(
\lambda f\right) ^{-}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。加えて、関数\(\lambda f\)のルベーグ積分ともとの関数\(f\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

拡大実数値ルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}f=\int_{X}f^{+}-\int_{X}f^{-}
\end{equation*}が有限な実数として定まります。

実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\forall x\in X:\lambda f\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\begin{equation*}
\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。ルベーグ可測関数の定数倍として定義される関数はルベーグ可測関数であるため\(\lambda f\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数であることに注意してください。

以上の状況において、\(\lambda f\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分になることが保証されます。つまり、\(\lambda f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\int_{X}\left( \lambda f\right) ^{+}-\int_{X}\left(
\lambda f\right) ^{-}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。加えて、関数\(\lambda f\)のルベーグ積分ともとの関数\(f\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\lambda \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

拡大実数値関数の定数倍が必ずも定義可能ではない場合

先の命題では以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:\lambda f\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ状況を想定しています。以上の条件が成り立たない場合、そもそも関数\(\lambda f\)は定義可能であるとは限りません。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\lambda &=&0 \\
\exists x &\in &X:f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}の場合には、この点\(x\in X\)について、\begin{equation*}\lambda f\left( x\right) =0\cdot \left( +\infty \right)
\end{equation*}となり、これは不定形です。したがって関数\(\lambda f\)は不定形です。ただし、このような問題は解決可能です。具体的には以下の通りです。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}f=\int_{X}f^{+}-\int_{X}f^{-}
\end{equation*}が有限な実数として定まります。したがって、実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda \int_{X}f
\end{equation*}もまた有限な実数として定まります。

ルベーグ積分可能な関数はほとんどいたるところで有限値をとるため、この場合、以下のルベーグ可測集合\begin{equation*}
A=\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) =+\infty \vee f\left( x\right)
=-\infty \right\}
\end{equation*}のルベーグ測度は、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) =0
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\forall x\in X\backslash A:-\infty <f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

関数\(f\)の定義域を\(X\backslash A\)へ縮小して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\backslash A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}とします。\(A\)は零集合であるため、\begin{equation}\int_{X\backslash A}f=\int_{X}f \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。

関数\(f\)は\(X\backslash A\)上で有限値をとるため、以下の関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\backslash A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。すると先の命題より\(\lambda f\)もまた\(X\backslash A\)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation}\int_{X\backslash A}\lambda f=\lambda \int_{X\backslash A}f \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。

以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lambda \int_{X}f &=&\lambda \int_{X\backslash A}f\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\int_{X\backslash A}\lambda f\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lambda \int_{X}f=\int_{X\backslash A}\lambda f
\end{equation*}を得ます。つまり、\(X\)上でルベーグ積分可能な関数\(f\)は\(X\)上のほとんどいたるところで有限値をとるため、\(X\)上のほとんどいたるところで関数\(\lambda f\)が定義可能ですが、\(\lambda f\)が定義可能な集合\(X\backslash A\)上で\(\lambda f\)をルベーグ積分すれば、それはもとの関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分と一致します。

上の命題中のルベーグ可測関数\begin{equation}
\lambda f:\mathbb{R} \supset X\backslash A\rightarrow \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられた状況において、\(A\)上の点\(x\)に対して拡大実数\(\left( \lambda f\right) \left( x\right) \)を割り当てれば定義域を\(X\)へ拡大した関数\begin{equation}\lambda f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \quad \cdots (2)
\end{equation}が得られます。\(A\)上の点\(x\)に対する\(\left( \lambda f\right) \left(x\right) \)としてどのような値を選んだ場合でも、\(X\)上に定義された関数\(\lambda f\)はいずれもルベーグ可測になることが保証されます。\(\left(1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は\(X\)上のほとんどいたるところで等しいため\(\left( 2\right) \)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{X}\lambda f=\int_{X\backslash A}\lambda f
\end{equation*}を得ます。以上の事実と先の命題を踏まえると、\begin{equation*}
\lambda \int_{X}f=\int_{X}\lambda f
\end{equation*}を得ます。つまり、\(X\)上でルベーグ積分可能な関数\(f\)は\(X\)上のほとんどいたるところで有限値をとるため、\(X\)上のほとんどいたるところで関数\(\lambda f\)が定義可能ですが、その関数\(\lambda f\)の定義域をどのような形で\(X\)へ拡張した場合においても\(\lambda f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、そのルベーグ積分の値は、もとの関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分の\(\lambda \)倍と一致します。