ルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分

ルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つのルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)と\(g\)はともに\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)および\(g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\int_{X}f^{+}-\int_{X}f^{-} \\
\int_{X}g &=&\int_{X}g^{+}-\int_{X}g^{-}
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まります。

関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ルベーグ可測関数どうしの和として定義される関数はルベーグ可測関数であるため\(f+g\)もまたルベーグ可測関数であることに注意してください。

以上の状況において、\(f+g\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分になることが保証されます。つまり、\(f+g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}\left( f+g\right) ^{+}-\int_{X}\left(
f+g\right) ^{-}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。加えて、関数\(f+g\)のルベーグ積分ともとの関数\(f,g\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

拡大実数値ルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)と\(g\)はともに\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)および\(g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\int_{X}f^{+}-\int_{X}f^{-} \\
\int_{X}g &=&\int_{X}g^{+}-\int_{X}g^{-}
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まります。

以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) +g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。ルベーグ可測関数どうしの和として定義される関数はルベーグ可測関数であるため\(f+g\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数であることに注意してください。

以上の状況において、\(f+g\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分になることが保証されます。つまり、\(f+g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}\left( f+g\right) ^{+}-\int_{X}\left(
f+g\right) ^{-}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。加えて、関数\(f+g\)のルベーグ積分ともとの関数\(f,g\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

拡大実数値関数どうしの和が必ずしも定義可能ではない場合

先の命題では以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) +g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ状況を想定しています。以上の条件が成り立たない場合、そもそも関数\(f+g\)は定義可能であるとは限りません。具体例を挙げると、\begin{equation*}\exists x\in X:f\left( x\right) =+\infty \wedge g\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、この点\(x\in X\)について、\begin{equation*}f\left( x\right) +g\left( x\right) =\left( +\infty \right) +\left( -\infty
\right)
\end{equation*}となり、これは不定形です。したがって関数\(f+g\)は定義不可能です。ただし、このような問題は解決可能です。具体的には以下の通りです。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)および\(g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\int_{X}f^{+}-\int_{X}f^{-} \\
\int_{X}g &=&\int_{X}g^{+}-\int_{X}g^{-}
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まります。したがって、\begin{equation*}
\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}もまた有限な実数として定まります。

ルベーグ積分可能な関数はほとんどいたるところで有限値をとるため、この場合、以下のルベーグ可測集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) =+\infty \vee f\left( x\right)
=-\infty \right\} \\
B &=&\left\{ x\in X\ |\ g\left( x\right) =+\infty \vee g\left( x\right)
=-\infty \right\}
\end{eqnarray*}のルベーグ測度は、\begin{eqnarray*}
\mu \left( A\right) &=&0 \\
\mu \left( B\right) &=&0
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\forall x &\in &X\backslash A:-\infty <f\left( x\right) <+\infty \\
\forall x &\in &X\backslash B:-\infty <g\left( x\right) <+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)ゆえに\(A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)です。さらに、\begin{eqnarray*}\mu \left( A\cup B\right) &\leq &\mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)
\quad \because \mu \text{の劣加法性} \\
&=&0+0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。その一方で、\(\mu \)の非負性より\(\mu \left( A\cup B\right)\geq 0\)であるため、\begin{equation*}\mu \left( A\cup B\right) =0
\end{equation*}を得ます。加えて、\begin{equation*}
\forall x\in X\backslash \left( A\cup B\right) :-\infty <f\left( x\right)
+g\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X\backslash \left( A\cup B\right) :-\infty <\left( f+g\right)
\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

関数\(f,g\)の定義域を\(X\backslash\left( A\cup B\right) \)へ縮小して、\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\backslash \left( A\cup B\right) \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\backslash \left( A\cup B\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}とします。\(A\cup B\)は零集合であるため、\begin{eqnarray}\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }f &=&\int_{X}f \quad \cdots (1) \\
\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }g &=&\int_{X}g \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立ちます。

関数\(f+g\)は\(X\backslash \left( A\cup B\right) \)上で有限値をとるため、以下の関数\begin{equation*}f+g:\mathbb{R} \supset X\backslash \left( A\cup B\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。すると先の命題より\(f+g\)もまた\(X\backslash \left( A\cup B\right) \)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation}\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }\left( f+g\right)
=\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }f+\int_{X\backslash \left( A\cup
B\right) }g \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。

以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\int_{X}f+\int_{X}g &=&\int_{X\backslash \left( A\cup B\right)
}f+\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }g\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \\
&=&\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }\left( f+g\right) \quad \because
\left( 3\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}f+\int_{X}g=\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }\left(
f+g\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、\(X\)上でルベーグ積分可能な関数\(f,g\)はともに\(X\)上でのほとんどいたるところで有限値をとるため、\(X\)上のほとんどいたるところで関数\(f+g\)が定義可能ですが、\(f+g\)が定義可能な集合\(X\backslash \left( A\cup B\right) \)上で\(f+g\)をルベーグ積分すれば、それはもとの関数\(f,g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分の和と一致します。

上の命題中のルベーグ可測関数\begin{equation}
f+g:\mathbb{R} \supset X\backslash \left( A\cup B\right) \rightarrow \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられた状況において、\(A\cup B\)上の点\(x\)に対して拡大実数\(\left( f+g\right)\left( x\right) \)を割り当てれば定義域を\(X\)へ拡張した関数\begin{equation}f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \quad \cdots (2)
\end{equation}が得られます。\(A\cup B\)上の点\(x\)に対する\(\left( f+g\right) \left(x\right) \)としてどのような値を選んだ場合でも、\(X\)上に定義された関数\(f+g\)はいずれもルベーグ可測になることが保証されます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は\(X\)上のほとんどいたるところで等しいため\(\left( 2\right) \)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}を得ます。つまり、\(X\)上でルベーグ積分可能な関数\(f,g\)はともに\(X\)上でのほとんどいたるところで有限値をとるため、\(X\)上のほとんどいたるところで関数\(f+g\)が定義可能ですが、その関数\(f+g\)の定義域をどのような形で\(X\)へ拡張した場合においても\(f+g\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、そのルベーグ積分の値は、もとの関数\(f,g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分の和と一致します。