ルベーグ積分に関する比較判定法
実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。これに対して、以下の3つの条件を満たす拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}
g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が存在する状況を想定します。
1つ目の条件は、\(g\)が非負値をとるということです。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq g\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0\leq g\leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。
2つ目の条件は、\(g\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能であるということ、つまり、\begin{equation*}\int_{X}gd\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。
3つ目の条件は、\(X\)上において\(g\)が定める値が\(f\)が定める値の絶対値以上であること、\begin{equation*}\forall x\in X:\left\vert f\left( x\right) \right\vert \leq g\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert \leq g
\end{equation*}が成り立つということです。
拡大実数値関数\(f\)に対して以上の3つの条件を満たす拡大実数値関数\(g\)が存在する場合、\(f\)は\(X\)上においてルベーグ積分可能であることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。これをルベーグ積分に関する比較判定法（integral comparison test）と呼びます。
\end{equation*}を満たす拡大実数値ルベーグ可測関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が存在するならば、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能である。
\begin{array}{cl}
2 & \left( if\ 0\leq x<\frac{1}{2}\right) \\
-1 & \left( if\ \frac{1}{2}\leq x\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はルベーグ可測集合\(\left[ 0,1\right] \)上に定義されたルベーグ可測関数です。関数\(g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =2
\end{equation*}を定めるものとします。\(g\)は定数関数であるためルベーグ可測です。また、\(f\)は非負値をとるとともに、\(\left[ 0,1\right] \)上において、\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \leq g
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{eqnarray*}
\int_{\left[ 0,1\right] }gd\mu &=&\int_{\left[ 0,1\right] }2d\mu \quad
\because g\text{の定義} \\
&=&2\cdot \mu \left( \left[ 0,1\right] \right) \\
&=&2\left( 1-0\right) \\
&=&2 \\
&<&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(g\)は\(\left[ 0,1\right] \)上でルベーグ積分可能です。したがって、比較判定法より\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上でルベーグ積分可能です。
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ルベーグ可測関数の絶対値として定義される関数はルベーグ可測であるため\(\left\vert f\right\vert \)はルベーグ可測です。さらに、以下の条件\begin{equation}\int_{X}\left\vert f\right\vert d\mu <+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であるための必要十分条件です。その一方で、\(\left\vert f\right\vert \)は非負値をとるとともに、\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \leq \left\vert f\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、比較判定法より、\(\left\vert f\right\vert \)が\(X\)上でルベーグ積分可能であるならば、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能です。ただし、\(\left\vert f\right\vert \)は非負値をとるため、\(\left\vert f\right\vert \)が\(X\)上でルベーグ積分可能であることは\(\left( 1\right) \)が成り立つことを意味します。以上より、比較判定法が要求する条件は\(\left(1\right) \)の一般化であることが明らかになりました。
演習問題
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \cap \left[ 0,1\right] \right) \\
-x^{2} & \left( if\ x\in \left[ 0,1\right] \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はルベーグ可測集合\(\left[ 0,1\right] \)上に定義されたルベーグ可測関数です。\(f\)が\(\left[ 0,1\right] \)上でルベーグ積分可能であることを比較判定法を用いて示してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】