ルベーグ可測関数どうしの差のルベーグ積分

ルベーグ可測関数どうしの差のルベーグ積分

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。

以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) -g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、拡大実数値関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。ルベーグ可測関数どうしの差として定義される関数はルベーグ可測であるため、\(f-g\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数です。

以上の状況において、関数\(f,g\)がともに\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合には関数\(f-g\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、両者のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f-g\right) d\mu =\int_{X}fd\mu -\int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。

拡大実数値関数どうしの差が必ずしも定義可能ではない場合

先の命題では拡大実数値ルベーグ可測関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)に関して以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) -g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ状況を想定しています。以上の条件が成り立たない場合、そもそも関数\(f-g\)は定義可能であるとは限りません。具体例を挙げると、\begin{equation*}\exists x\in X:f\left( x\right) =g\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、この点\(x\in X\)について、\begin{equation*}f\left( x\right) -g\left( x\right) =\left( +\infty \right) -\left( +\infty
\right)
\end{equation*}となり、これは不定形です。したがって関数\(f-g\)は定義不可能です。ただし、このような問題は解決可能です。具体的には以下の通りです。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)および\(g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分について、\begin{eqnarray*}\int_{X}fd\mu &<&+\infty \\
\int_{X}gd\mu &<&+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu -\int_{X}gd\mu <+\infty
\end{equation*}もまた成り立ちます。

ルベーグ積分可能な関数はほとんどいたるところで有限値をとるため、この場合、以下のルベーグ可測集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \left\{ +\infty ,-\infty
\right\} \right\} \\
B &=&\left\{ x\in X\ |\ g\left( x\right) \in \left\{ +\infty ,-\infty
\right\} \right\}
\end{eqnarray*}のルベーグ測度は、\begin{eqnarray*}
\mu \left( A\right) &=&0 \\
\mu \left( B\right) &=&0
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\forall x &\in &X\backslash A:-\infty <f\left( x\right) <+\infty \\
\forall x &\in &X\backslash B:-\infty <g\left( x\right) <+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)ゆえに\(A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)です。さらに、\begin{eqnarray*}\mu \left( A\cup B\right) &\leq &\mu \left( A\right) +\mu \left( B\right)
\quad \because \mu \text{の劣加法性} \\
&=&0+0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。その一方で、\(\mu \)の非負性より\(\mu \left( A\cup B\right)\geq 0\)であるため、\begin{equation*}\mu \left( A\cup B\right) =0
\end{equation*}を得ます。加えて、\begin{equation*}
\forall x\in X\backslash \left( A\cup B\right) :-\infty <f\left( x\right)
-g\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X\backslash \left( A\cup B\right) :-\infty <\left( f-g\right)
\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

拡大実数値関数\(f,g\)の定義域を\(X\backslash \left( A\cup B\right) \)へ縮小すると実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\backslash \left( A\cup B\right) \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\backslash \left( A\cup B\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}になります。\(f,g\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるため、その部分集合であるルベーグ可測集合\(X\backslash \left( A\cup B\right) \)上においてもルベーグ積分可能です。しかも、\(A\cup B\)は零集合であるため、\begin{eqnarray}\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }fd\mu &=&\int_{X}fd\mu \quad \cdots (1)
\\
\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }gd\mu &=&\int_{X}gd\mu \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立ちます。

関数\(f-g\)は\(X\backslash \left( A\cup B\right) \)上で実数値をとるため、以下の実数値関数\begin{equation*}f-g:\mathbb{R} \supset X\backslash \left( A\cup B\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。すると先の命題より\(f-g\)もまた\(X\backslash \left( A\cup B\right) \)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation}\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }\left( f-g\right) d\mu
=\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }fd\mu -\int_{X\backslash \left(
A\cup B\right) }gd\mu \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。

以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\int_{X}fd\mu -\int_{X}gd\mu &=&\int_{X\backslash \left( A\cup B\right)
}fd\mu -\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }gd\mu \quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }\left( f-g\right) d\mu \quad
\because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X\backslash \left( A\cup B\right) }\left( f-g\right) d\mu
=\int_{X}fd\mu -\int_{X}gd\mu
\end{equation*}を得ます。つまり、\(X\)上でルベーグ積分可能な拡大実数値関数\(f,g\)はともに\(X\)上でのほとんどいたるところで実数値をとるため、\(X\)上のほとんどいたるところで実数値関数\(f-g\)が定義可能ですが、\(f-g\)が定義可能な集合\(X\backslash\left( A\cup B\right) \)上で\(f-g\)をルベーグ積分すれば、それはもとの拡大実数値関数\(f,g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分の差と一致します。

上の命題中のルベーグ可測関数\begin{equation}
f-g:\mathbb{R} \supset X\backslash \left( A\cup B\right) \rightarrow \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられた状況において、\(A\cup B\)上の点\(x\)に対して拡大実数\(\left( f-g\right)\left( x\right) \)を割り当てれば定義域を\(X\)へ拡張した拡大実数値関数\begin{equation}f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \quad \cdots (2)
\end{equation}が得られます。\(A\cup B\)上の点\(x\)に対する\(\left( f-g\right) \left(x\right) \)としてどのような値を選んだ場合でも、\(X\)上に定義された関数\(f-g\)はルベーグ可測になることが保証されます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は\(X\)上のほとんどいたるところで等しいため\(\left( 2\right) \)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{X}\left( f-g\right) d\mu =\int_{X}fd\mu -\int_{X}gd\mu
\end{equation*}を得ます。つまり、\(X\)上でルベーグ積分可能な拡大実数値関数\(f,g\)はともに\(X\)上でのほとんどいたるところで実数値をとるため、\(X\)上のほとんどいたるところで実数値関数\(f-g\)が定義可能ですが、その関数\(f-g\)の定義域をどのような形で\(X\)へ拡張した場合においても拡大実数値関数\(f-g\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、そのルベーグ積分の値は、もとの関数\(f,g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分の差と一致します。