非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分の単調性
ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
\forall x &\in &X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty \\
\forall x &\in &X:0\leq g\left( x\right) \leq +\infty
\end{eqnarray*}が成り立つということです。さらに、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\leq g
\end{equation*}が成り立つものとします。
非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数のルベーグ積分は非負の拡大実数として定まりますが、以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
\int_{X}f\leq \int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。以上の性質を非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分に関する単調性（monotonicity）と呼びます。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}の間に以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\int_{X}f\leq \int_{X}g
\end{equation*}が成り立つ。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の間に以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。ルベーグ可測関数は拡大実数値ルベーグ可測関数であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\int_{X}f\leq \int_{X}g
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、一般のルベーグ可測集合上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数が有限な実数だけをとる場合でもルベーグ積分は有限な実数として定まるとは限らないため、先の不等式の両辺の値は有限な実数であるとは限りません。
非負値をとる有界なルベーグ可測関数のルベーグ積分の範囲
ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界かつ非負値をとるルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\exists M>0:\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq M
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists M>0:0\leq f\leq M
\end{equation*}が成り立つということです。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
0\leq \int_{X}f\leq M\cdot \mu \left( X\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\exists M>0:\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq M
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
0\leq \int_{X}f\leq M\cdot \mu \left( X\right)
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が\(X\)上において\(f\leq g\)を満たす場合には、\begin{equation*}\int_{X}f\leq \int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことを本文中で示しました。実際には、\(X\)上のほとんどいたるところで\(f\leq g\)が成り立つ場合にも同様の主張が成り立つことを示してください。
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