限りなく大きい任意の値を含む無限閉区間上での非負値関数のルベーグ積分と広義積分の関係
実数\(a\in \mathbb{R} \)を端点とする無限閉区間上に定義され、非負の値をとる有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が与えられているものとします。リーマン積分は有界閉区間上に定義された関数を対象とした積分概念であるため、このままでは\(f\)をリーマン積分できません。ただし、\(a<c\)を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、関数\(f\)の区間\(\left[ a,c\right] \)上での不定積分\begin{equation*}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まるのであれば、\(c\rightarrow +\infty \)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{c\rightarrow +\infty }\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をとることができます。この極限が有限な実数として定まる場合、\(f\)はそもそもの定義域である\(\left[ a,+\infty \right) \)上で広義リーマン積分可能であると言います。その上で、\(f\)の\(\left[ a,+\infty \right) \)上における広義リーマン積分を、\begin{equation*}\int_{a}^{+\infty }f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow +\infty
}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{equation*}で表記します。
改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が\(\left[ a,+\infty \right) \)上で広義リーマン積分可能であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( a,b\right) :\int_{a}^{c}f\left(
x\right) dx\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{c\rightarrow +\infty }\int_{a}^{c}f\left( x\right)
dx\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。その上で、\(f\)の\(\left[a,+\infty \right) \)上での広義リーマン積分は、\begin{equation*}\int_{a}^{+\infty }f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow +\infty
}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定義されます。さて、\(f\)が\(\left[ a,+\infty \right) \)上で広義リーマン積分可能である場合、\(f\)は\(\left[a,+\infty \right) \)上でルベーグ積分可能になることが保証されるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{\left[ a,+\infty \right) }f=\int_{a}^{+\infty }f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺は関数\(f\)の\(\left[ a,+\infty \right) \)上でのルベーグ積分であり、右辺は関数\(f\)の\(\left[ a,+\infty \right) \)上での広義リーマン積分です。証明では単調収束定理を利用します。
x\right) dx\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{c\rightarrow +\infty }\int_{a}^{c}f\left( x\right)
dx\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つものとする。この場合、\(f\)は\(\left[a,+\infty \right) \)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{\left[ a,+\infty \right) }f=\int_{a}^{+\infty }f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は非負値をとります。\(f\)が\(\left[ 1,+\infty \right) \)上で広義リーマン積分可能であるか検討します。そこで、\begin{equation*}1<c<+\infty
\end{equation*}を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\begin{eqnarray*}\int_{1}^{c}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{c}\frac{1}{x^{2}}dx \\
&=&\left[ -\frac{1}{x}\right] _{1}^{c} \\
&=&-\frac{1}{c}+\frac{1}{1}\quad \because 1<c<+\infty \\
&=&-\frac{1}{c}+1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{c\rightarrow +\infty }\int_{1}^{c}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{c\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{c}+1\right) \\
&=&0+1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left[ 1,+\infty \right) \)上で広義リーマン積分可能であり、\begin{equation*}\int_{1}^{+\infty }f\left( x\right) dx=1
\end{equation*}となります。すると先の命題より、\(f\)は\(\left[1,+\infty \right) \)上でルベーグ積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{\left[ 1,+\infty \right) }f &=&\int_{1}^{+\infty }f\left( x\right) dx
\\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
限りなく小さい任意の値を含む無限閉区間上での非負値関数のルベーグ積分と広義積分の関係
実数\(b\in \mathbb{R} \)を端点とする無限閉区間上に定義され、非負の値をとる有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( -\infty ,b\right] \rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が与えられているものとします。リーマン積分は有界閉区間上に定義された関数を対象とした積分概念であるため、このままでは\(f\)をリーマン積分できません。ただし、\(c<b\)を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、関数\(f\)の区間\(\left[ c,b\right] \)上での不定積分\begin{equation*}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が有限な実数として定まるのであれば、\(c\rightarrow -\infty \)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{c\rightarrow -\infty }\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をとることができます。この極限が有限な実数として定まる場合、\(f\)はそもそもの定義域である\(\left( -\infty ,b\right] \)上で広義リーマン積分可能であると言います。その上で、\(f\)の\(\left( -\infty ,b\right] \)上における広義リーマン積分を、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow -\infty
}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}で表記します。
改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\infty ,b\right] \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が\(\left( -\infty ,b\right] \)上で広義リーマン積分可能であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( a,b\right) :\int_{c}^{b}f\left(
x\right) dx\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{c\rightarrow -\infty }\int_{c}^{b}f\left( x\right)
dx\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。その上で、\(f\)の\(\left(-\infty ,b\right] \)上での広義リーマン積分は、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow -\infty
}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定義されます。さて、\(f\)が\(\left( -\infty ,b\right] \)上で広義リーマン積分可能である場合、\(f\)は\(\left(-\infty ,b\right] \)上でルベーグ積分可能になることが保証されるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{\left( -\infty ,b\right] }f=\int_{-\infty }^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺は関数\(f\)の\(\left( -\infty ,b\right] \)上でのルベーグ積分であり、右辺は関数\(f\)の\(\left( -\infty ,b\right] \)上での広義リーマン積分です。証明では単調収束定理を利用します。
x\right) dx\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{c\rightarrow -\infty }\int_{c}^{b}f\left( x\right)
dx\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つものとする。この場合、\(f\)は\(\left(-\infty ,b\right] \)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{\left( -\infty ,b\right] }f=\int_{-\infty }^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は非負値をとります。\(f\)が\(\left( -\infty ,-1\right] \)上で広義積分可能であるか検討します。そこで、\begin{equation*}-\infty <c<-1
\end{equation*}を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\begin{eqnarray*}\int_{c}^{-1}f\left( x\right) dx &=&\int_{c}^{-1}\frac{1}{x^{2}}dx \\
&=&\left[ -\frac{1}{x}\right] _{c}^{-1} \\
&=&-\frac{1}{\left( -1\right) }+\frac{1}{c}\quad \because -\infty <c<-1 \\
&=&1+\frac{1}{c}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{c\rightarrow -\infty }\int_{c}^{-1}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{c\rightarrow -\infty }\left( 1+\frac{1}{c}\right) \\
&=&1+0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left( -\infty ,-1\right] \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{-1}f\left( x\right) dx=1
\end{equation*}となります。すると先の命題より、\(f\)は\(\left(-\infty ,-1\right] \)上でルベーグ積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{\left( -\infty ,-1\right] }f &=&\int_{-\infty }^{-1}f\left( x\right) dx
\\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
全区間上での非負値関数のルベーグ積分と広義積分の関係
全区間上に定義され、非負の値をとる有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が与えられているものとします。リーマン積分は有界閉区間上に定義された関数を対象とした積分概念であるため、このままでは\(f\)をリーマン積分できません。ただし、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、関数\(f\)が区間\(\left( -\infty ,a\right] \)上で広義積分可能であり、なおかつ区間\(\left[ a,+\infty \right) \)上で広義積分可能であるならば、すなわち、広義積分\begin{eqnarray*}&&\int_{-\infty }^{a}f\left( x\right) dx \\
&&\int_{a}^{+\infty }f\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まる場合、\(f\)はそもそもの定義域である\(\mathbb{R} \)上で広義リーマン積分可能であると言います。その上で、\(f\)の\(\mathbb{R} \)上における広義リーマン積分を、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) dx=\int_{-\infty }^{a}f\left(
x\right) dx+\int_{a}^{+\infty }f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定義します。\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で広義積分可能である場合、点\(a\in \mathbb{R} \)の選び方とは関係なく、\(f\)の\(\mathbb{R} \)上における広義リーマン積分は一意的です。
改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が\(\mathbb{R} \)上で広義リーマン積分可能であることとは、点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(f\)が\(\left( -\infty ,a\right]\)上で広義積分可能かつ\(\left[ a,+\infty \right) \)上で広義積分可能であることとして定義されます。その上で、\(f\)の\(\mathbb{R} \)上での広義リーマン積分は、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) dx=\int_{-\infty }^{a}f\left(
x\right) dx+\int_{a}^{+\infty }f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定義されます。さて、\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で広義リーマン積分可能である場合、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ積分可能になることが保証されるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{\mathbb{R} }f=\int_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) dx
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺は関数\(f\)の\(\mathbb{R} \)上でのルベーグ積分であり、右辺は関数\(f\)の\(\mathbb{R} \)上での広義リーマン積分です。証明では単調収束定理を利用します。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は非負値をとります。\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で広義積分可能であるか検討します。そこで、\(\mathbb{R} \)を2つの区間\(\left( -\infty ,0\right] \)および\(\left[ 0,+\infty \right) \)に分割した上で、\(f\)が\(\left( -\infty ,0\right] \)上で広義積分可能かつ\(\left[ 0,+\infty \right) \)上で広義積分可能であるか検証します。まずは、\(f\)が\(\left( -\infty ,0\right] \)上で広義積分可能であるか検証します。そこで、\begin{equation*}-\infty <c<0
\end{equation*}を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\begin{eqnarray*}\int_{c}^{0}f\left( x\right) dx &=&\int_{c}^{0}\frac{1}{x^{2}+1}dx \\
&=&\left[ \arctan \left( x\right) \right] _{c}^{0} \\
&=&\arctan \left( 0\right) -\arctan \left( c\right) \\
&=&-\arctan \left( c\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{c\rightarrow -\infty }\int_{c}^{0}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{c\rightarrow -\infty }\left( -\arctan \left( c\right) \right) \\
&=&\frac{1}{2}\pi
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left( -\infty ,0\right] \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{0}f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}\pi
\end{equation*}となります。続いて、\(f\)が\(\left[ 0,+\infty \right) \)上で広義積分可能であるか検証します。そこで、\begin{equation*}0<c<+\infty
\end{equation*}を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{c}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{c}\frac{1}{x^{2}+1}dx \\
&=&\left[ \arctan \left( x\right) \right] _{0}^{c} \\
&=&\arctan \left( c\right) -\arctan \left( 0\right) \\
&=&\arctan \left( c\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{c\rightarrow +\infty }\int_{0}^{c}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{c\rightarrow +\infty }\arctan \left( c\right) \\
&=&\frac{1}{2}\pi
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left[ 0,+\infty \right) \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{0}^{+\infty }f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}\pi
\end{equation*}となります。以上より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で広義積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) dx &=&\int_{-\infty }^{0}f\left(
x\right) dx+\int_{0}^{+\infty }f\left( x\right) dx \\
&=&\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi \\
&=&\pi
\end{eqnarray*}であることが明らかになりました。すると先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{\mathbb{R} }f &=&\int_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) dx \\
&=&\pi
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\int_{\left( 1,+\infty \right) }\frac{1}{\left( 2x+1\right) ^{3}}
\end{equation*}の値を求めてください。
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