限りなく大きい任意の値を含む無限閉区間上での関数の広義積分
これまでは有界閉区間上に定義された有界な関数に対象を限定した上で、そのような関数がリーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、リーマン積分可能な関数の性質について解説してきました。では、定義域が有界閉区間ではないような関数や、有界ではない関数などについても、そのリーマン積分可能性を検討できるのでしょうか。ここでは定義域が無限閉区間であるような関数について考えます。以下が具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数の値域は、\begin{eqnarray*}
f\left( \left[ 1,+\infty \right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ 1\leq x<+\infty \right\} \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x^{2}}\in \mathbb{R} \ |\ 1\leq x<+\infty \right\} \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left( 0,1\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)の有界な部分集合であるため\(f\)は定義域\(\left[1,+\infty \right) \)上で有界です。とは言え、リーマン積分は有界閉区間上に定義された有界関数に対して定義される概念であるため、結局、この関数\(f\)が無限閉区間\(\left[ 1,+\infty \right) \)上でリーマン積分可能であるか検討することさえできません。
上の例が示唆するように、限りなく大きい任意の値を含む無限閉区間上に定義された関数に関しては、そもそもその区間上でリーマン積分可能であるか検討できません。このような問題を解決するためには、リーマン積分の概念を何らかの形で拡張する必要があります。具体的には以下の通りです。
実数\(a\in \mathbb{R} \)を端点とする無限閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。ここで、\begin{equation*}
a<c
\end{equation*}を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,c\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(\left[ a,c\right] \)において有界であるものとします。関数\(f\)が新たな定義域である有界閉区間\(\left[ a,c\right] \)上で有界であるならば、\(f\)が\(\left[ a,c\right] \)上でリーマン積分可能であるか検討できます。その上で、\(f\)は常に\(\left[ a,c\right] \)上でリーマン積分可能であるものとします。つまり、\(a<c\)を満たす\(c\in \mathbb{R} \)としてどのような値を選んだ場合でも、関数\(f\)の区間\(\left[ a,c\right] \)上での不定積分\begin{equation*}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が必ず有限な実数として定まる状況を想定するということです。以上の仮定のもとでは、限りなく大きい任意の\(c\)について不定積分\(\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx\)が有限な実数として定まることが保証されるため、\(c\rightarrow +\infty \)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{c\rightarrow +\infty }\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をとることができます。この極限が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)はそもそもの定義域である区間\(\left[ a,+\infty \right) \)上で広義積分可能（improper integrable）であると言います。また、\(f\)が区間\(\left[ a,+\infty \right) \)上で広義積分可能である場合、先の極限を、\begin{equation*}\int_{a}^{+\infty }f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow +\infty
}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(\left[ a,+\infty \right) \)上での広義積分（improper integral）と呼びます。
改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,+\infty \right) \)上で広義積分可能であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( a,+\infty \right)
:\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{c\rightarrow +\infty }\int_{a}^{c}f\left( x\right)
dx\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。その上で、\(f\)の\(\left[a,+\infty \right) \)上での広義積分は、\begin{equation*}\int_{a}^{+\infty }f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow +\infty
}\int_{a}^{c}f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定義されます。なお、関数\(f\)が\(\left[ a,+\infty \right) \)上で広義積分可能ではない場合、\(f\)は\(\left[ a,+\infty\right) \)上で発散する（diverge）と言います。
無限閉区間上に定義された関数を念頭に置いた上で先のように定義される積分を第1種の広義積分（improper integral of type 1）と呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が\(\left[ 1,+\infty \right) \)上で広義積分可能であるか検討します。そこで、\begin{equation*}1<c<+\infty
\end{equation*}を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\begin{eqnarray*}\int_{1}^{c}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{c}\frac{1}{x^{2}}dx \\
&=&\left[ -\frac{1}{x}\right] _{1}^{c} \\
&=&-\frac{1}{c}+\frac{1}{1}\quad \because 1<c<+\infty \\
&=&-\frac{1}{c}+1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{c\rightarrow +\infty }\int_{1}^{c}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{c\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{c}+1\right) \\
&=&0+1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left[ 1,+\infty \right) \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{1}^{+\infty }f\left( x\right) dx=1
\end{equation*}となります。
限りなく小さい任意の値を含む無限閉区間上での関数の広義積分
限りなく小さい任意の値を含む無限閉区間上に定義された関数についても、その広義積分を同様に定義します。具体的には以下の通りです。
実数\(b\in \mathbb{R} \)を端点とする無限閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( -\infty ,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。ここで、\begin{equation*}
c<b
\end{equation*}を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、この関数の定義域を、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ c,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}へと縮小した場合、この関数\(f\)は新たな定義域\(\left[ c,b\right] \)において有界であるものとします。関数\(f\)が新たな定義域である有界閉区間\(\left[ c,b\right] \)上で有界であるならば、\(f\)が\(\left[ c,b\right] \)上でリーマン積分可能であるか検討できます。その上で、\(f\)は常に\(\left[ c,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとします。つまり、\(c<b\)を満たす\(c\in \mathbb{R} \)としてどのような値を選んだ場合でも、関数\(f\)の区間\(\left[ c,b\right] \)上での不定積分\begin{equation*}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が必ず有限な実数として定まる状況を想定するということです。以上の仮定のもとでは、限りなく小さい任意の\(c\)について不定積分\(\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx\)が有限な実数として定まることが保証されるため、\(c\rightarrow -\infty \)の場合の極限\begin{equation*}\lim_{c\rightarrow -\infty }\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}をとることができます。この極限が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)はそもそもの定義域である区間\(\left( -\infty ,b\right] \)上で広義積分可能（improper integrable）であると言います。また、\(f\)が区間\(\left( -\infty ,b\right] \)上で広義積分可能である場合、先の極限を、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow -\infty
}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(\left( -\infty ,b\right] \)上での広義積分（improper integral）と呼びます。
改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\infty ,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( -\infty ,b\right] \)上で広義積分可能であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( -\infty ,b\right)
:\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{c\rightarrow -\infty }\int_{c}^{b}f\left( x\right)
dx\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。その上で、\(f\)の\(\left(-\infty ,b\right] \)上での広義積分は、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{b}f\left( x\right) dx=\lim_{c\rightarrow -\infty
}\int_{c}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}と定義されます。なお、関数\(f\)が\(\left( -\infty ,b\right] \)上で広義積分可能ではない場合、\(f\)は\(\left( -\infty ,b\right] \)上で発散する（diverge）と言います。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が\(\left( -\infty ,-1\right] \)上で広義積分可能であるか検討します。そこで、\begin{equation*}-\infty <c<-1
\end{equation*}を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\begin{eqnarray*}\int_{c}^{-1}f\left( x\right) dx &=&\int_{c}^{-1}\frac{1}{x^{2}}dx \\
&=&\left[ -\frac{1}{x}\right] _{c}^{-1} \\
&=&-\frac{1}{\left( -1\right) }+\frac{1}{c}\quad \because -\infty <c<-1 \\
&=&1+\frac{1}{c}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{c\rightarrow -\infty }\int_{c}^{-1}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{c\rightarrow -\infty }\left( 1+\frac{1}{c}\right) \\
&=&1+0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left( -\infty ,-1\right] \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{-1}f\left( x\right) dx=1
\end{equation*}となります。
全区間上での関数の広義積分
全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された関数については、何らかの点を選んだ上でその点を境に区間を2つの無限閉区間に分割した上で、それぞれの区間において広義積分可能であるか検証します。双方の区間において広義積分可能である場合、その関数は全区間上で広義積分可能であるものと定めます。その上で、2つの無限閉区間における広義積分の和として、全区間における広義積分を定義します。具体的には以下の通りです。
関数\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。点\(a\in \mathbb{R} \)を適当に選んだ上で、この関数\(f\)が区間\(\left(-\infty ,a\right] \)上で広義積分可能であり、なおかつ区間\(\left[ a,+\infty \right) \)上で広義積分可能であるならば、すなわち、広義積分\begin{eqnarray*}&&\int_{-\infty }^{a}f\left( x\right) dx \\
&&\int_{a}^{+\infty }f\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まる場合には、この関数\(f\)はそもそもの定義域である全区間\(\mathbb{R} \)上で広義積分可能（improper integrable）であると言います。また、\(f\)の\(\mathbb{R} \)上での広義積分（improper integral）を、\(\left( -\infty ,a\right] \)上での広義積分と\(\left[ a,+\infty\right) \)上での広義積分の和として定義します。つまり、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) dx=\int_{-\infty }^{a}f\left(
x\right) dx+\int_{a}^{+\infty }f\left( x\right) dx
\end{equation*}として\(f\)の\(\mathbb{R} \)上での広義積分を定義するということです。一方、関数\(f\)が区間\(\left( -\infty ,a\right] \)上で広義積分可能ではないか、区間\(\left[ a,+\infty \right) \)上で広義積分ではないか、その少なくとも一方が成り立つ場合、この関数\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で広義積分可能ではないものと定め、この場合、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で発散する（diverge）と言います。
繰り返しになりますが、関数\(f\)が全区間\(\mathbb{R} \)上で広義積分可能であるかを検討する場合には、点\(a\in \mathbb{R} \)を適当に選んだ上で、全区間\(\mathbb{R} \)を2つの区間\(\left( -\infty ,a\right] \)および\(\left[ a,+\infty \right) \)に分けた上で、それぞれの区間において\(f\)が広義積分可能であることを確認することになります。では、この点\(a\)をどのように選べばよいのでしょうか。実は、点\(a\)としてどのような点を選んだ場合においても、得られる結果は同じであることが保証されます。以下の命題がその根拠です。
&&\left( b\right) \ f\text{は}\left( -\infty ,b\right] \text{上で広義積分可能かつ}\left[ b,+\infty \right) \text{上で広義積分可能}
\end{eqnarray*}は必要十分であるとともに、これらが真である場合には、以下の関係\begin{equation*}
\int_{-\infty }^{a}f\left( x\right) dx+\int_{a}^{+\infty }f\left( x\right)
dx=\int_{-\infty }^{b}f\left( x\right) dx+\int_{b}^{+\infty }f\left(
x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題より、関数\(f\)が全区間\(\mathbb{R} \)上で広義積分可能であるかを検討する場合には、\(\mathbb{R} \)を2つの無限閉区間へ分ける境となる点を任意に選んでも一般性が失われないことが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で広義積分可能であるか検討します。そこで、\(\mathbb{R} \)を2つの区間\(\left( -\infty ,0\right] \)および\(\left[ 0,+\infty \right) \)に分割した上で、\(f\)が\(\left( -\infty ,0\right] \)上で広義積分可能かつ\(\left[ 0,+\infty \right) \)上で広義積分可能であるか検証します。まずは、\(f\)が\(\left( -\infty ,0\right] \)上で広義積分可能であるか検証します。そこで、\begin{equation*}-\infty <c<0
\end{equation*}を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\begin{eqnarray*}\int_{c}^{0}f\left( x\right) dx &=&\int_{c}^{0}\frac{1}{x^{2}+1}dx \\
&=&\left[ \arctan \left( x\right) \right] _{c}^{0} \\
&=&\arctan \left( 0\right) -\arctan \left( c\right) \\
&=&-\arctan \left( c\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{c\rightarrow -\infty }\int_{c}^{0}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{c\rightarrow -\infty }\left( -\arctan \left( c\right) \right) \\
&=&\frac{1}{2}\pi
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left( -\infty ,0\right] \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{-\infty }^{0}f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}\pi
\end{equation*}となります。続いて、\(f\)が\(\left[ 0,+\infty \right) \)上で広義積分可能であるか検証します。そこで、\begin{equation*}0<c<+\infty
\end{equation*}を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{c}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{c}\frac{1}{x^{2}+1}dx \\
&=&\left[ \arctan \left( x\right) \right] _{0}^{c} \\
&=&\arctan \left( c\right) -\arctan \left( 0\right) \\
&=&\arctan \left( c\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{c\rightarrow +\infty }\int_{0}^{c}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{c\rightarrow +\infty }\arctan \left( c\right) \\
&=&\frac{1}{2}\pi
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left[ 0,+\infty \right) \)上で広義積分可能であり、\begin{equation*}\int_{0}^{+\infty }f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}\pi
\end{equation*}となります。以上より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で広義積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) dx &=&\int_{-\infty }^{0}f\left(
x\right) dx+\int_{0}^{+\infty }f\left( x\right) dx \\
&=&\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi \\
&=&\pi
\end{eqnarray*}であることが明らかになりました。
関数は広義積分可能であるとは限らない
関数は広義積分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が\(\left[ 1,+\infty \right) \)上で広義積分可能であるか検討します。そこで、\begin{equation*}1<c<+\infty
\end{equation*}を満たす\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\begin{eqnarray*}\int_{1}^{c}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{c}\frac{1}{x}dx \\
&=&\left[ \ln \left( \left\vert x\right\vert \right) \right] _{1}^{c} \\
&=&\ln \left( c\right) -\ln \left( 1\right) \quad \because 1<c<+\infty \\
&=&\ln \left( c\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{c\rightarrow +\infty }\int_{1}^{c}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{c\rightarrow +\infty }\ln \left( c\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(f\)は\(\left[ 1,+\infty \right) \)上で広義積分可能ではありません（発散する）。
演習問題
\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{\left( 2x+1\right) ^{3}}dx
\end{equation*}が広義積分であることを確認してください。その上で、広義積分可能であるか検討するとともに、広義積分可能である場合には広義積分の値を具体的に求めてください。
\int_{-\infty }^{0}\frac{1}{3-4x}dx
\end{equation*}が広義積分であることを確認してください。その上で、広義積分可能であるか検討するとともに、広義積分可能である場合には広義積分の値を具体的に求めてください。
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