自然対数関数の不定積分
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} _{++}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が自然対数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}であるということです。自然対数関数\(\ln \left(x\right) \)は\(\mathbb{R} _{++}\)上に定義可能であるため\(I\subset \mathbb{R} _{++}\)であることに注意してください。
自然対数関数は連続であるため不定積分が存在しますが、具体的には以下のようになります。
命題（自然対数関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} _{++}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=x\ln \left( x\right) -x+C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=x\ln \left( x\right) -x+C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（自然対数関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( 2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。対数法則より、\begin{equation*}
\ln \left( 2x\right) =\ln \left( 2\right) +\ln \left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立するため、\(f\)は定数関数と自然対数関数の和であり連続です。したがって不定積分が存在しますが、具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left[ \ln \left( 2\right) +\ln \left(
x\right) \right] dx \\
&=&\int \ln \left( 2\right) dx+\int \ln \left( x\right) dx\quad \because
\text{関数の和の不定積分} \\
&=&x\ln \left( 2\right) +x\ln \left( x\right) -x+C\quad \because \text{定数関数と自然対数関数の不定積分}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。対数法則より、\begin{equation*}
\ln \left( 2x\right) =\ln \left( 2\right) +\ln \left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立するため、\(f\)は定数関数と自然対数関数の和であり連続です。したがって不定積分が存在しますが、具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left[ \ln \left( 2\right) +\ln \left(
x\right) \right] dx \\
&=&\int \ln \left( 2\right) dx+\int \ln \left( x\right) dx\quad \because
\text{関数の和の不定積分} \\
&=&x\ln \left( 2\right) +x\ln \left( x\right) -x+C\quad \because \text{定数関数と自然対数関数の不定積分}
\end{eqnarray*}となります。
例（自然対数関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x\left[ 3+\ln \left( x\right) \right] }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=3+\ln \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、\begin{equation*}
\ln \left( x\right) =u-3
\end{equation*}となるため、\(x\in \mathbb{R} _{++}\)の場合には変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =e^{u-3} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\left( -3,+\infty \right) \)とすれば、その値域は\(\mathbb{R} _{++}\)となり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =3+\ln \left( x\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{1}{x\left[ 3+\ln \left( x\right) \right] }dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \frac{1}{e^{u-3}u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \frac{1}{e^{u-3}u}e^{u-3}du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int \frac{1}{u}du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\ln \left( \left\vert u\right\vert \right) +C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&\ln \left( \left\vert 3+\ln \left( x\right) \right\vert \right) +C\quad
\because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=3+\ln \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、\begin{equation*}
\ln \left( x\right) =u-3
\end{equation*}となるため、\(x\in \mathbb{R} _{++}\)の場合には変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =e^{u-3} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\left( -3,+\infty \right) \)とすれば、その値域は\(\mathbb{R} _{++}\)となり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =3+\ln \left( x\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{1}{x\left[ 3+\ln \left( x\right) \right] }dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \frac{1}{e^{u-3}u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \frac{1}{e^{u-3}u}e^{u-3}du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int \frac{1}{u}du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\ln \left( \left\vert u\right\vert \right) +C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&\ln \left( \left\vert 3+\ln \left( x\right) \right\vert \right) +C\quad
\because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
自然対数関数の定積分
先の命題を用いると、自然対数関数の定積分を以下のように特定できます。
命題（自然対数関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} _{++}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ x\ln \left( x\right) -x\right] _{a}^{b} \\
&=&\left[ b\ln \left( b\right) -b\right] -\left[ a\ln \left( a\right) -a\right] \end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}を定めるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ x\ln \left( x\right) -x\right] _{a}^{b} \\
&=&\left[ b\ln \left( b\right) -b\right] -\left[ a\ln \left( a\right) -a\right] \end{eqnarray*}となる。
例（自然対数関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( 2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\ln \left( 2x\right) dx \\
&=&\int_{a}^{b}\left[ \ln \left( 2\right) +\ln \left( x\right) \right] dx\quad \because \text{対数法則} \\
&=&\int_{a}^{b}\ln \left( 2\right) dx+\int_{a}^{b}\ln \left( x\right)
dx\quad \because \text{関数の和の定積分} \\
&=&\left[ x\ln \left( 2\right) \right] _{a}^{b}+\left[ x\ln \left( x\right)
-x\right] _{a}^{b}\quad \because \text{定数関数と自然対数関数の定積分}
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\left[ x\ln \left( 2\right) \right] _{1}^{2}+\left[ x\ln \left( x\right) -x\right] _{1}^{2} \\
&=&\left[ 2\ln \left( 2\right) -1\ln \left( 2\right) \right] +\left[ 2\ln
\left( 2\right) -2\right] -\left[ 1\ln \left( 1\right) -1\right] \\
&=&2\ln \left( 2\right) -\ln \left( 2\right) +2\ln \left( 2\right) -2-0+1 \\
&=&3\ln \left( 2\right) -1
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\int_{a}^{b}\ln \left( 2x\right) dx \\
&=&\int_{a}^{b}\left[ \ln \left( 2\right) +\ln \left( x\right) \right] dx\quad \because \text{対数法則} \\
&=&\int_{a}^{b}\ln \left( 2\right) dx+\int_{a}^{b}\ln \left( x\right)
dx\quad \because \text{関数の和の定積分} \\
&=&\left[ x\ln \left( 2\right) \right] _{a}^{b}+\left[ x\ln \left( x\right)
-x\right] _{a}^{b}\quad \because \text{定数関数と自然対数関数の定積分}
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\left[ x\ln \left( 2\right) \right] _{1}^{2}+\left[ x\ln \left( x\right) -x\right] _{1}^{2} \\
&=&\left[ 2\ln \left( 2\right) -1\ln \left( 2\right) \right] +\left[ 2\ln
\left( 2\right) -2\right] -\left[ 1\ln \left( 1\right) -1\right] \\
&=&2\ln \left( 2\right) -\ln \left( 2\right) +2\ln \left( 2\right) -2-0+1 \\
&=&3\ln \left( 2\right) -1
\end{eqnarray*}となります。
自然対数関数との合成関数の積分
自然対数関数との合成関数もしくはそのような合成関数を含む関数を積分する際には、置換積分や部分積分などを利用します。具体例を挙げます。
例（自然対数関数との合成関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\frac{3}{2},+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -\frac{3}{2},+\infty \right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( 2x+3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は自然対数関数\(f\left( x\right) \)と多項式関数\(2x+3\)の合成関数であるため連続であり、したがって不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=2x+3 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =\frac{u-3}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)とすれば、その値域は\(\left( -\frac{3}{2},+\infty \right) \)となり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =2x+3 \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \ln \left( 2x+3\right) dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \ln \left( u\right) g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \ln \left( u\right) \frac{1}{2}du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{2}\int \ln \left( u\right) du\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left[ u\ln \left( u\right) -u\right] +C\quad \because \text{自然対数関数の不定積分} \\
&=&\frac{u}{2}\left[ \ln \left( u\right) -1\right] +C \\
&=&\frac{2x+3}{2}\left[ \ln \left( 2x+3\right) -1\right] +C\quad \because
\left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は自然対数関数\(f\left( x\right) \)と多項式関数\(2x+3\)の合成関数であるため連続であり、したがって不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=2x+3 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =\frac{u-3}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)とすれば、その値域は\(\left( -\frac{3}{2},+\infty \right) \)となり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =2x+3 \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \ln \left( 2x+3\right) dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \ln \left( u\right) g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \ln \left( u\right) \frac{1}{2}du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{2}\int \ln \left( u\right) du\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left[ u\ln \left( u\right) -u\right] +C\quad \because \text{自然対数関数の不定積分} \\
&=&\frac{u}{2}\left[ \ln \left( u\right) -1\right] +C \\
&=&\frac{2x+3}{2}\left[ \ln \left( 2x+3\right) -1\right] +C\quad \because
\left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
演習問題
問題（自然対数関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{10}\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（自然対数関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 2,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 2,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x-2\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（自然対数関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（自然対数関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\ln \left( x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
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