螺旋（円螺旋）の長さと積分

螺旋上の弧は滑らか

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する螺旋の半径が\(a>0\)でありピッチが\(2\pi b\not=0\)である場合、螺旋の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos \left( t\right) \\
y=a\sin \left( t\right) \\
z=bt\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。

\(t_{0}<t_{1}\)を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で媒介変数\(t\)がとり得る範囲を有界閉区間\(\left[t_{0},t_{1}\right] \)へと制限した場合、螺旋上に存在する弧の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos \left( t\right) \\
y=a\sin \left( t\right) \\
z=bt\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}となります。

螺旋上の弧の\(x\)座標を特定する関数\(x:\mathbb{R} \supset \left[ t_{0},t_{1}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dx\left( t\right) }{dt} &=&\frac{d}{dt}a\cos \left( t\right) \\
&=&-a\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}となります。

螺旋上の弧の\(y\)座標を特定する関数\(y:\mathbb{R} \supset \left[ t_{0},t_{1}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy\left( t\right) }{dt} &=&\frac{d}{dt}a\sin \left( t\right) \\
&=&a\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}となります。

螺旋上の弧の\(z\)座標を特定する関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ t_{0},t_{1}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dz\left( t\right) }{dt} &=&\frac{d}{dt}bt \\
&=&b
\end{eqnarray*}となります。

以上より、任意の\(t\in \left(t_{0},t_{1}\right) \)において、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\frac{dx\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dy\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dz\left( t\right) }{dt}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-a\sin \left( t\right) \\
a\cos \left( t\right) \\
b\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となるため、螺旋上の弧は\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において滑らかであることが明らかになりました。

螺旋上の弧の長さ

螺旋上に存在する弧の媒介変数表示は、\(t_{0}<t_{1}\)を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos \left( t\right) \\
y=a\sin \left( t\right) \\
z=bt\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}と表現されるとともに、この弧は\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において滑らかであることが明らかになりました。したがって、螺旋上の弧の長さは、\begin{eqnarray*}&&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dz\left(
t\right) }{dt}\right] ^{2}}dt \\
&=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ -a\sin \left( t\right) \right] ^{2}+\left[ a\cos \left( t\right) \right] ^{2}+b^{2}}dt \\
&=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{a^{2}\sin ^{2}\left( t\right) +a^{2}\cos
^{2}\left( t\right) +b^{2}}dt \\
&=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{a^{2}+b^{2}}dt \\
&=&\left[ \sqrt{a^{2}+b^{2}}t\right] _{t_{0}}^{t_{1}} \\
&=&\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left( t_{1}-t_{0}\right)
\end{eqnarray*}と定まります。

演習問題