螺旋上の弧は滑らか
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する螺旋の半径が\(a>0\)でありピッチが\(2\pi b\not=0\)である場合、螺旋の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos \left( t\right) \\
y=a\sin \left( t\right) \\
z=bt\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。
\(t_{0}<t_{1}\)を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で媒介変数\(t\)がとり得る範囲を有界閉区間\(\left[t_{0},t_{1}\right] \)へと制限した場合、螺旋上に存在する弧の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos \left( t\right) \\
y=a\sin \left( t\right) \\
z=bt\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}となります。
螺旋上の弧の\(x\)座標を特定する関数\(x:\mathbb{R} \supset \left[ t_{0},t_{1}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dx\left( t\right) }{dt} &=&\frac{d}{dt}a\cos \left( t\right) \\
&=&-a\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}となります。
螺旋上の弧の\(y\)座標を特定する関数\(y:\mathbb{R} \supset \left[ t_{0},t_{1}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy\left( t\right) }{dt} &=&\frac{d}{dt}a\sin \left( t\right) \\
&=&a\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}となります。
螺旋上の弧の\(z\)座標を特定する関数\(z:\mathbb{R} \supset \left[ t_{0},t_{1}\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dz\left( t\right) }{dt} &=&\frac{d}{dt}bt \\
&=&b
\end{eqnarray*}となります。
以上より、任意の\(t\in \left(t_{0},t_{1}\right) \)において、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\frac{dx\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dy\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dz\left( t\right) }{dt}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-a\sin \left( t\right) \\
a\cos \left( t\right) \\
b\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となるため、螺旋上の弧は\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において滑らかであることが明らかになりました。
\end{equation*}を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right) \\
z=t\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}と表現されます。任意の\(t\in \left( t_{0},t_{1}\right) \)において、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\frac{dx\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dy\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dz\left( t\right) }{dt}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right) \\
1\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となるため、この弧は\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において滑らかです。
\end{equation*}を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x=2\cos \left( t\right) \\
y=2\sin \left( t\right) \\
z=3t\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}と表現されます。任意の\(t\in \left( t_{0},t_{1}\right) \)において、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\frac{dx\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dy\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dz\left( t\right) }{dt}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2\sin \left( t\right) \\
2\cos \left( t\right) \\
3\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となるため、この弧は\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において滑らかです。
螺旋上の弧の長さ
螺旋上に存在する弧の媒介変数表示は、\(t_{0}<t_{1}\)を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos \left( t\right) \\
y=a\sin \left( t\right) \\
z=bt\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}と表現されるとともに、この弧は\(\left[ t_{0},t_{1}\right] \)上において滑らかであることが明らかになりました。したがって、螺旋上の弧の長さは、\begin{eqnarray*}&&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dz\left(
t\right) }{dt}\right] ^{2}}dt \\
&=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ -a\sin \left( t\right) \right] ^{2}+\left[ a\cos \left( t\right) \right] ^{2}+b^{2}}dt \\
&=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{a^{2}\sin ^{2}\left( t\right) +a^{2}\cos
^{2}\left( t\right) +b^{2}}dt \\
&=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{a^{2}+b^{2}}dt \\
&=&\left[ \sqrt{a^{2}+b^{2}}t\right] _{t_{0}}^{t_{1}} \\
&=&\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left( t_{1}-t_{0}\right)
\end{eqnarray*}と定まります。
\begin{array}{l}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right) \\
z=t\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}であるとともに、この弧は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上において滑らかであるため、その長さは、\begin{eqnarray*}&&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{\left[ \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dz\left(
t\right) }{dt}\right] ^{2}}dt \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{\left[ -\sin \left( t\right) \right] ^{2}+\left[
\cos \left( t\right) \right] ^{2}+1^{2}}dt \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{\sin ^{2}\left( t\right) +\cos ^{2}\left( t\right)
+1}dt \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{2}dt \\
&=&\left[ \sqrt{2}t\right] _{0}^{2\pi } \\
&=&2\sqrt{2}\pi
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{l}
x=2\cos \left( t\right) \\
y=2\sin \left( t\right) \\
z=3t\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}であるとともに、この弧は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上において滑らかであるため、その長さは、\begin{eqnarray*}&&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{\left[ \frac{dx\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dy\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\left[ \frac{dz\left(
t\right) }{dt}\right] ^{2}}dt \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{\left[ -2\sin \left( t\right) \right] ^{2}+\left[
2\cos \left( t\right) \right] ^{2}+3^{2}}dt \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{4\sin ^{2}\left( t\right) +4\cos ^{2}\left(
t\right) +9}dt \\
&=&\int_{0}^{2\pi }\sqrt{13}dt \\
&=&\left[ \sqrt{13}t\right] _{0}^{2\pi } \\
&=&2\sqrt{13}\pi
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\left\{
\begin{array}{l}
x=2\cos \left( t\right) \\
y=2\sin \left( t\right) \\
z=\frac{t}{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この弧の長さを特定してください。
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