関数の定数倍の上リーマン積分と下リーマン積分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界であるものとします。このとき、関数\(cf\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界です（演習問題）。有界閉区間上に定義された有界関数は上リーマン積分可能かつ下リーマン積分可能ですが、両者の上リーマン積分と下リーマン積分の間には以下の関係が成り立ちます。
dx=c\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx \\
&&\left( b\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}\left( cf\right) \left(
x\right) dx=c\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}がともに成り立ち、\(c<0\)である場合には、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}\left( cf\right) \left( x\right)
dx=c\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx \\
&&\left( d\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}\left( cf\right) \left(
x\right) dx=c\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。したがって、\(c=-1\)の場合には、\(\left( c\right) ,\left( d\right) \)より、\begin{eqnarray*}&&\left( e\right) \ \overline{\int }_{a}^{b}\left( -f\right) \left( x\right)
dx=-\underline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx \\
&&\left( f\right) \ \underline{\int }_{a}^{b}\left( -f\right) \left(
x\right) dx=-\overline{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立つ。
関数の定数倍の定積分
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるならば、関数\(cf\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界かつリーマン積分可能であるとともに、両者の定積分は一致することが保証されます。証明では上積分と下積分に関する先の命題を利用します。
x\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
つまり、リーマン積分可能な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまたリーマン積分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の定積分を\(c\)倍すれば\(cf\)の定積分が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)のリーマン積分可能性を検討する際には、リーマン積分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)がリーマン積分可能であることを確認すればよいということになります。
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)は\(\left[ a,b\right]\)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{equation}\int_{a}^{b}xdx=\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(f\)は積分可能な関数\(x\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されているため、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&-\int_{a}^{b}xdx\quad \because \text{積分可能な関数の定数倍の積分} \\
&=&-\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left( -x\right) dx=-\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{equation*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}\left( -x\right) dx &=&-\frac{1}{2}\left( 1^{2}-0^{2}\right) =-\frac{1}{2} \\
\int_{-1}^{1}\left( -x\right) dx &=&-\frac{1}{2}\left[ 1^{2}-\left(
-1\right) ^{2}\right] =0 \\
\int_{-1}^{0}\left( -x\right) dx &=&-\frac{1}{2}\left[ 0^{2}-\left(
-1\right) ^{2}\right] =\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}などとなります。
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)は\(\left[ a,b\right]\)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{equation}\int_{a}^{b}xdx=\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(f\)は積分可能な関数\(x\)の定数倍（\(\frac{1}{2}\)倍）として定義されているため、先の命題より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\frac{1}{2}\int_{a}^{b}xdx\quad \because
\text{積分可能な関数の定数倍の積分} \\
&=&\frac{1}{4}\left( b^{2}-a^{2}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left( \frac{x}{2}\right) dx=\frac{1}{4}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{equation*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}\left( \frac{x}{2}\right) dx &=&\frac{1}{4}\left(
1^{2}-0^{2}\right) =\frac{1}{4} \\
\int_{-1}^{1}\left( \frac{x}{2}\right) dx &=&\frac{1}{4}\left[ 1^{2}-\left(
-1\right) ^{2}\right] =0 \\
\int_{-1}^{0}\left( \frac{x}{2}\right) dx &=&\frac{1}{4}\left[ 0^{2}-\left(
-1\right) ^{2}\right] =-\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}などとなります。
演習問題
\end{equation*}が成り立つものとします。また、関数\(g:\mathbb{R} \supset \left[ 0,10\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,10\right] \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{2}f\left( x\right)
\end{equation*}を定めるとともに、\begin{equation*}
\int_{4}^{10}g\left( x\right) dx=8
\end{equation*}が成り立つものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\int_{0}^{10}f\left( x\right) dx
\end{equation*}の値を求めてください。
\begin{array}{ll}
\frac{1}{2}x & \left( if\ -1\leq x\leq 0\right) \\
-\frac{1}{2}x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx
\end{equation*}の値を求めてください。
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