整数ベキ関数の原始関数
区間上に定義された整数ベキ関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{z}
\end{equation*}と表されるということです。整数ベキ関数は点\(0\)において定義されないため、問題としている区間\(I\)は\(0\)を含まないことに注意が必要です。つまり、\(I\subset \mathbb{R} _{++}\)または\(I\subset \mathbb{R} _{− −}\)です。
\(z>0\)の場合、\(f\)は自然数ベキ関数です。\(z=0\)の場合には\(x^{0}=1\)となるため、\(f\)は定数関数です。自然数ベキ関数や定数関数の積分についてはすでに解説したため、以下では\(z<0\)の場合について考えます。負の整数\(z\)はある自然数\(n\)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定める関数\(f\)を分析対象にするということです。\(n\in \mathbb{N} \)です。
整数ベキ関数は連続であるため原始関数が存在します。まずは\(n=1\)の場合、すなわち、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-1}=\frac{1}{x}
\end{equation*}の場合の\(f\)の原始関数は以下の通りです。
命題（整数ベキ関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-1}
\end{equation*}を定めるものとする。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\ln \left( \left\vert x\right\vert \right) +C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\ln \left( \left\vert x\right\vert \right) +C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
続いて、\(n\geq 2\)の場合です。
命題（整数ベキ関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(n\geq 2\)を満たす自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}
\end{equation*}と表されるものとする。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{x^{-n+1}}{-n+1}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{x^{-n+1}}{-n+1}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
整数ベキ関数の不定積分
連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、連続関数である整数ベキ関数について以下が成り立ちます。まずは\(n=1\)の場合です。
命題（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-1}
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( \left\vert x\right\vert \right) +C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( \left\vert x\right\vert \right) +C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
続いて\(n\geq 2\)の場合です。
命題（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(n\geq 2\)を満たす自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1}+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1}+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-1}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\(I\subset \mathbb{R} _{++}\)の場合の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( x\right) +C
\end{equation*}であり、\(I\subset \mathbb{R} _{− −}\)の場合の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( -x\right) +C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\(I\subset \mathbb{R} _{++}\)の場合の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( x\right) +C
\end{equation*}であり、\(I\subset \mathbb{R} _{− −}\)の場合の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( -x\right) +C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{5}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{5}{x^{2}}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int 5x^{-2}dx \\
&=&5\int x^{-2}dx\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&5\cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&-5x^{-1}+C \\
&=&-\frac{5}{x}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{5}{x^{2}}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int 5x^{-2}dx \\
&=&5\int x^{-2}dx\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&5\cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&-5x^{-1}+C \\
&=&-\frac{5}{x}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3}{x^{5}}-\frac{1}{4x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( \frac{3}{x^{5}}-\frac{1}{4x^{2}}\right) dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \left( 3x^{-5}-\frac{x^{-2}}{4}\right) dx \\
&=&\int 3x^{-5}dx-\int \frac{x^{-2}}{4}dx\quad \because \text{差の法則} \\
&=&3\int x^{-5}dx-\frac{1}{4}\int x^{-2}dx\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&3\cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1}-\frac{1}{4}\cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&-\frac{3}{4}x^{-4}+\frac{1}{4}x^{-1}+C \\
&=&-\frac{3}{4x^{4}}+\frac{1}{4x}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( \frac{3}{x^{5}}-\frac{1}{4x^{2}}\right) dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \left( 3x^{-5}-\frac{x^{-2}}{4}\right) dx \\
&=&\int 3x^{-5}dx-\int \frac{x^{-2}}{4}dx\quad \because \text{差の法則} \\
&=&3\int x^{-5}dx-\frac{1}{4}\int x^{-2}dx\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&3\cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1}-\frac{1}{4}\cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&-\frac{3}{4}x^{-4}+\frac{1}{4}x^{-1}+C \\
&=&-\frac{3}{4x^{4}}+\frac{1}{4x}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（整数ベキ関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x-1}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は多項式関数\(x-1\)と整数ベキ関数\(\frac{1}{x}=x^{-1}\)の合成関数です。\(f\)は連続であるため不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=x-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)とすると値域は\(\left(1,+\infty \right) \)であり、これは\(f\)の定義域と一致します。\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。加えて、\(g\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =x-1 \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{1}{x-1}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \frac{1}{u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left(
1\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \frac{1}{u}du \\
&=&\int u^{-1}du \\
&=&\ln \left( \left\vert u\right\vert \right) +C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&\ln \left( \left\vert x-1\right\vert \right) +C\quad \because \left(
3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は多項式関数\(x-1\)と整数ベキ関数\(\frac{1}{x}=x^{-1}\)の合成関数です。\(f\)は連続であるため不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=x-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)とすると値域は\(\left(1,+\infty \right) \)であり、これは\(f\)の定義域と一致します。\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。加えて、\(g\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =x-1 \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{1}{x-1}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \frac{1}{u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left(
1\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \frac{1}{u}du \\
&=&\int u^{-1}du \\
&=&\ln \left( \left\vert u\right\vert \right) +C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&\ln \left( \left\vert x-1\right\vert \right) +C\quad \because \left(
3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
整数ベキ関数の定積分
整数ベキ関数の原始関数が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより、整数ベキ関数の定積分を特定できます。具体的には以下の通りです。まずは\(n=1\)の場合です。
命題（整数ベキ関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-1}
\end{equation*}を定めるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \ln \left( \left\vert x\right\vert
\right) \right] _{a}^{b} \\
&=&\ln \left( \left\vert b\right\vert \right) -\ln \left( \left\vert
a\right\vert \right)
\end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}を定めるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \ln \left( \left\vert x\right\vert
\right) \right] _{a}^{b} \\
&=&\ln \left( \left\vert b\right\vert \right) -\ln \left( \left\vert
a\right\vert \right)
\end{eqnarray*}となる。
続いて\(n\geq 2\)の場合です。
命題（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(n\geq 2\)を満たす自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}
\end{equation*}と表されるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{x^{-n+1}}{-n+1}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{b^{-n+1}-a^{-n+1}}{-n+1}
\end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}と表されるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{x^{-n+1}}{-n+1}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{b^{-n+1}-a^{-n+1}}{-n+1}
\end{eqnarray*}となる。
例（整数ベキ関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-1}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\(I\subset \mathbb{R} _{++}\)の場合には、\(a<b\)を満たす任意の\(a,b\in I\)について、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\ln \left( b\right) -\ln \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(I\subset \mathbb{R} _{− −}\)の場合には、\(a<b\)を満たす任意の\(a,b\in I\)について、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\ln \left( -b\right) -\ln \left( -a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\(I\subset \mathbb{R} _{++}\)の場合には、\(a<b\)を満たす任意の\(a,b\in I\)について、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\ln \left( b\right) -\ln \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(I\subset \mathbb{R} _{− −}\)の場合には、\(a<b\)を満たす任意の\(a,b\in I\)について、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\ln \left( -b\right) -\ln \left( -a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例（整数ベキ関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{5}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{2}\frac{5}{x^{2}}dx \\
&=&5\int_{1}^{2}x^{-2}dx \\
&=&5\left[ \frac{x^{-1}}{-1}\right] _{1}^{2} \\
&=&5\left[ -\frac{1}{x}\right] _{1}^{2} \\
&=&5\left( -\frac{1}{2}+1\right) \\
&=&\frac{5}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-2}^{-1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-2}^{-1}\frac{5}{x^{2}}dx \\
&=&5\int_{-2}^{-1}x^{-2}dx \\
&=&5\left[ \frac{x^{-1}}{-1}\right] _{-2}^{-1} \\
&=&5\left[ -\frac{1}{x}\right] _{-2}^{-1} \\
&=&5\left( 1-\frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{5}{2}
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{2}\frac{5}{x^{2}}dx \\
&=&5\int_{1}^{2}x^{-2}dx \\
&=&5\left[ \frac{x^{-1}}{-1}\right] _{1}^{2} \\
&=&5\left[ -\frac{1}{x}\right] _{1}^{2} \\
&=&5\left( -\frac{1}{2}+1\right) \\
&=&\frac{5}{2}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-2}^{-1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-2}^{-1}\frac{5}{x^{2}}dx \\
&=&5\int_{-2}^{-1}x^{-2}dx \\
&=&5\left[ \frac{x^{-1}}{-1}\right] _{-2}^{-1} \\
&=&5\left[ -\frac{1}{x}\right] _{-2}^{-1} \\
&=&5\left( 1-\frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{5}{2}
\end{eqnarray*}です。
例（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3}{x^{5}}-\frac{1}{4x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{2}\left( \frac{3}{x^{5}}-\frac{1}{4x^{2}}\right) dx \\
&=&3\int_{1}^{2}x^{-5}dx-\frac{1}{4}\int_{1}^{2}x^{-2}dx \\
&=&3\left[ \frac{x^{-4}}{-4}\right] _{1}^{2}-\frac{1}{4}\left[ \frac{x^{-1}}{-1}\right] _{1}^{2} \\
&=&3\left[ -\frac{1}{4x^{4}}\right] _{1}^{2}-\frac{1}{4}\left[ -\frac{1}{x}\right] _{1}^{2} \\
&=&3\cdot \frac{15}{64}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} \\
&=&\frac{37}{64}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-2}^{-1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-2}^{-1}\left( \frac{3}{x^{5}}-\frac{1}{4x^{2}}\right) dx \\
&=&3\int_{-2}^{-1}x^{-5}dx-\frac{1}{4}\int_{-2}^{-1}x^{-2}dx \\
&=&3\left[ \frac{x^{-4}}{-4}\right] _{-2}^{-1}-\frac{1}{4}\left[ \frac{x^{-1}}{-1}\right] _{-2}^{-1} \\
&=&3\left[ -\frac{1}{4x^{4}}\right] _{-2}^{-1}-\frac{1}{4}\left[ -\frac{1}{x}\right] _{-2}^{-1} \\
&=&3\cdot \left( -\frac{15}{64}\right) -\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} \\
&=&-\frac{53}{64}
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{2}\left( \frac{3}{x^{5}}-\frac{1}{4x^{2}}\right) dx \\
&=&3\int_{1}^{2}x^{-5}dx-\frac{1}{4}\int_{1}^{2}x^{-2}dx \\
&=&3\left[ \frac{x^{-4}}{-4}\right] _{1}^{2}-\frac{1}{4}\left[ \frac{x^{-1}}{-1}\right] _{1}^{2} \\
&=&3\left[ -\frac{1}{4x^{4}}\right] _{1}^{2}-\frac{1}{4}\left[ -\frac{1}{x}\right] _{1}^{2} \\
&=&3\cdot \frac{15}{64}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} \\
&=&\frac{37}{64}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-2}^{-1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-2}^{-1}\left( \frac{3}{x^{5}}-\frac{1}{4x^{2}}\right) dx \\
&=&3\int_{-2}^{-1}x^{-5}dx-\frac{1}{4}\int_{-2}^{-1}x^{-2}dx \\
&=&3\left[ \frac{x^{-4}}{-4}\right] _{-2}^{-1}-\frac{1}{4}\left[ \frac{x^{-1}}{-1}\right] _{-2}^{-1} \\
&=&3\left[ -\frac{1}{4x^{4}}\right] _{-2}^{-1}-\frac{1}{4}\left[ -\frac{1}{x}\right] _{-2}^{-1} \\
&=&3\cdot \left( -\frac{15}{64}\right) -\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} \\
&=&-\frac{53}{64}
\end{eqnarray*}です。
自然数ベキ関数と純変化量定理
純変化量定理を再掲します。これは微分積分学の第2基本定理から導かれます。
命題（純変化量定理）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとする。この場合には、以下の関係\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}が成立する。
\end{equation*}が成立する。
導関数\(\frac{df}{dx}\)がそれぞれの点\(x\in \left( a,b\right) \)に対して定める値、すなわち点\(x\)における\(f\)の微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h\right)
-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}とは、点\(x\)における\(f\left(x\right) \)の瞬間変化率に相当する概念です。純変化量定理によると、この瞬間変化率\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分することにより、変数\(x\)が点\(a\)から点\(b\)へ変化する場合の前後における\(f\left( x\right) \)の変化量\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。
例（整数ベキ関数と純変化量定理）
質量\(M\)の天体の中心からの距離\(r>0\)の位置にある質量\(m\)の物体の重力ポテンシャルエネルギーは、\begin{equation*}f\left( r\right) =-\frac{GMm}{r}
\end{equation*}です。ただし、\(G\)は万有引力定数です。\(0<a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。問題としている物体の距離を\(a\)から\(b\)まで遠ざけたとき、ポテンシャルエネルギーは\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =-\frac{GMm}{b}+\frac{GMm}{a}
\end{equation*}だけ変化しますが、同じことを純変化量定理から求めます。導関数\(\frac{df}{dr}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(r\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation}\frac{df\left( r\right) }{dr}=\frac{GMm}{r^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めますが、これは物体に働く引力です。すると、\begin{eqnarray*}
f\left( b\right) -f\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}\frac{df\left( r\right) }{dr}dr\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{a}^{b}\frac{GMm}{r^{2}}dr\quad \because \left( 1\right) \\
&=&GMm\int_{a}^{b}r^{-2}dr \\
&=&GMm\left[ \frac{r^{-1}}{-1}\right] _{a}^{b} \\
&=&GMm\left[ -\frac{1}{r}\right] _{a}^{b} \\
&=&GMm\left( -\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right) \\
&=&-\frac{GMm}{b}+\frac{GMm}{a}
\end{eqnarray*}となるため、先と同様の結果が得られました。
\end{equation*}です。ただし、\(G\)は万有引力定数です。\(0<a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。問題としている物体の距離を\(a\)から\(b\)まで遠ざけたとき、ポテンシャルエネルギーは\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =-\frac{GMm}{b}+\frac{GMm}{a}
\end{equation*}だけ変化しますが、同じことを純変化量定理から求めます。導関数\(\frac{df}{dr}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(r\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation}\frac{df\left( r\right) }{dr}=\frac{GMm}{r^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めますが、これは物体に働く引力です。すると、\begin{eqnarray*}
f\left( b\right) -f\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}\frac{df\left( r\right) }{dr}dr\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{a}^{b}\frac{GMm}{r^{2}}dr\quad \because \left( 1\right) \\
&=&GMm\int_{a}^{b}r^{-2}dr \\
&=&GMm\left[ \frac{r^{-1}}{-1}\right] _{a}^{b} \\
&=&GMm\left[ -\frac{1}{r}\right] _{a}^{b} \\
&=&GMm\left( -\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right) \\
&=&-\frac{GMm}{b}+\frac{GMm}{a}
\end{eqnarray*}となるため、先と同様の結果が得られました。
演習問題
問題（整数ベキ関数の積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（整数ベキ関数の積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{7}{x^{3}}+\frac{2}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（整数ベキ関数の積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =6x^{2}-\frac{2}{x}-7
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（整数ベキ関数との合成関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
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