整数ベキ関数の不定積分
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が整数ベキ関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値は、整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{z}
\end{equation*}と表されるということです。\(z>0\)の場合、\(f\)は自然数ベキ関数となります。また、\(z=0\)の場合には\(x^{0}=1\)となるため、\(f\)は定数関数になります。自然数ベキ関数や定数関数の不定積分や定積分についてはすでに解説したため、以下では\(z<0\)の場合について考えます。負の整数\(z\)はある自然数\(n\)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}を定める関数\(f\)を分析対象にするということです。\(n\in \mathbb{N} \)です。ただし、実数をゼロで割ることはできないため、この関数は点\(0\)において定義されないことに注意してください。\(0\not\in I\)です。
整数ベキ関数\(x^{-n}\)は連続であるため不定積分が存在しますが、具体的には以下のようになります。まずは\(n=1\)の場合です。
命題（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-1}=\frac{1}{x}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( \left\vert x\right\vert \right) +C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( \left\vert x\right\vert \right) +C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
続いて\(n\geq 2\)の場合です。
命題（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(n\geq 2\)を満たす自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1}+C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1}+C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\(I\subset \mathbb{R} _{++}\)の場合の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( x\right) +C
\end{equation*}であり、\(I\subset \mathbb{R} _{− −}\)の場合の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( -x\right) +C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\(I\subset \mathbb{R} _{++}\)の場合の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( x\right) +C
\end{equation*}であり、\(I\subset \mathbb{R} _{− −}\)の場合の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( -x\right) +C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{5}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は整数ベキ関数\(x^{-2}\)の定数倍（\(5\)倍）であるため定積分を持ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{5}{x^{2}}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int 5x^{-2}dx \\
&=&5\int x^{-2}dx\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&5\int x^{-2}dx \\
&=&5\cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&-5x^{-1}+C \\
&=&-\frac{5}{x}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は整数ベキ関数\(x^{-2}\)の定数倍（\(5\)倍）であるため定積分を持ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{5}{x^{2}}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int 5x^{-2}dx \\
&=&5\int x^{-2}dx\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&5\int x^{-2}dx \\
&=&5\cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&-5x^{-1}+C \\
&=&-\frac{5}{x}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3}{x^{5}}-\frac{1}{4x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は整数ベキ関数の定数倍どうしの差として定義されているため定積分を持ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( \frac{3}{x^{5}}-\frac{1}{4x^{2}}\right) dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \left( 3x^{-5}-\frac{x^{-2}}{4}\right) dx \\
&=&\int 3x^{-5}dx-\int \frac{x^{-2}}{4}dx\quad \because \text{関数の差の不定積分} \\
&=&3\int x^{-5}dx-\frac{1}{4}\int x^{-2}dx\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&3\cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1}-\frac{1}{4}\cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&-\frac{3}{4}x^{-4}+\frac{1}{4}x^{-1}+C \\
&=&-\frac{3}{4x^{4}}+\frac{1}{4x}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は整数ベキ関数の定数倍どうしの差として定義されているため定積分を持ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( \frac{3}{x^{5}}-\frac{1}{4x^{2}}\right) dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \left( 3x^{-5}-\frac{x^{-2}}{4}\right) dx \\
&=&\int 3x^{-5}dx-\int \frac{x^{-2}}{4}dx\quad \because \text{関数の差の不定積分} \\
&=&3\int x^{-5}dx-\frac{1}{4}\int x^{-2}dx\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&3\cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1}-\frac{1}{4}\cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&-\frac{3}{4}x^{-4}+\frac{1}{4}x^{-1}+C \\
&=&-\frac{3}{4x^{4}}+\frac{1}{4x}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
整数ベキ関数の定積分
先の命題を用いると、整数ベキ関数の定積分を以下のように特定できます。まずは\(n=1\)の場合です。
命題（自然数ベキ関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-1}=\frac{1}{x}
\end{equation*}と表されるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \ln \left( \left\vert x\right\vert
\right) \right] _{a}^{b} \\
&=&\ln \left( \left\vert b\right\vert \right) -\ln \left( \left\vert
a\right\vert \right)
\end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}と表されるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \ln \left( \left\vert x\right\vert
\right) \right] _{a}^{b} \\
&=&\ln \left( \left\vert b\right\vert \right) -\ln \left( \left\vert
a\right\vert \right)
\end{eqnarray*}となる。
続いて\(n\geq 2\)の場合です。
命題（整数ベキ関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(n\geq 2\)を満たす自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{x^{-n+1}}{-n+1}\right] _{1}^{b} \\
&=&\frac{b^{-n+1}-a^{-n+1}}{-n+1}
\end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}と表されるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{x^{-n+1}}{-n+1}\right] _{1}^{b} \\
&=&\frac{b^{-n+1}-a^{-n+1}}{-n+1}
\end{eqnarray*}となる。
例（整数ベキ関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\(I\subset \mathbb{R} _{++}\)の場合の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( x\right) +C
\end{equation*}であり、\(I\subset \mathbb{R} _{− −}\)の場合の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( -x\right) +C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}\int_{1}^{3}f\left( x\right) dx &=&\ln \left( 3\right) -\ln \left( 1\right)
=\ln \left( 3\right) \\
\int_{-3}^{-1}f\left( x\right) dx &=&\ln \left( -\left( -1\right) \right)
-\ln \left( -\left( -3\right) \right) =-\ln \left( 3\right)
\end{eqnarray*}などとなります。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\(I\subset \mathbb{R} _{++}\)の場合の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( x\right) +C
\end{equation*}であり、\(I\subset \mathbb{R} _{− −}\)の場合の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\ln \left( -x\right) +C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}\int_{1}^{3}f\left( x\right) dx &=&\ln \left( 3\right) -\ln \left( 1\right)
=\ln \left( 3\right) \\
\int_{-3}^{-1}f\left( x\right) dx &=&\ln \left( -\left( -1\right) \right)
-\ln \left( -\left( -3\right) \right) =-\ln \left( 3\right)
\end{eqnarray*}などとなります。
例（整数ベキ関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{5}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=-\frac{5}{x}+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\left( -\frac{5}{2}\right) -\left( -\frac{5}{1}\right) =\frac{5}{2} \\
\int_{-2}^{-1}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\frac{5}{\left( -1\right) }\right] -\left[ -\frac{5}{\left( -2\right) }\right] =\frac{5}{2}
\end{eqnarray*}などとなります。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=-\frac{5}{x}+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\left( -\frac{5}{2}\right) -\left( -\frac{5}{1}\right) =\frac{5}{2} \\
\int_{-2}^{-1}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\frac{5}{\left( -1\right) }\right] -\left[ -\frac{5}{\left( -2\right) }\right] =\frac{5}{2}
\end{eqnarray*}などとなります。
例（整数ベキ関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3}{x^{5}}-\frac{1}{4x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=-\frac{3}{4x^{4}}+\frac{1}{4x}+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\left( -\frac{3}{4\cdot 2^{4}}+\frac{1}{4\cdot 2}\right) -\left( -\frac{3}{4\cdot 1^{4}}+\frac{1}{4\cdot 1}\right) =\frac{37}{64} \\
\int_{-2}^{-1}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\frac{3}{4\cdot \left(
-1\right) ^{4}}+\frac{1}{4\cdot \left( -1\right) }\right] -\left[ -\frac{3}{4\cdot \left( -2\right) ^{4}}+\frac{1}{4\cdot \left( -2\right) }\right] =-\frac{53}{64}
\end{eqnarray*}などとなります。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=-\frac{3}{4x^{4}}+\frac{1}{4x}+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\left( -\frac{3}{4\cdot 2^{4}}+\frac{1}{4\cdot 2}\right) -\left( -\frac{3}{4\cdot 1^{4}}+\frac{1}{4\cdot 1}\right) =\frac{37}{64} \\
\int_{-2}^{-1}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\frac{3}{4\cdot \left(
-1\right) ^{4}}+\frac{1}{4\cdot \left( -1\right) }\right] -\left[ -\frac{3}{4\cdot \left( -2\right) ^{4}}+\frac{1}{4\cdot \left( -2\right) }\right] =-\frac{53}{64}
\end{eqnarray*}などとなります。
整数ベキ関数との合成関数の積分
整数ベキ関数との合成関数もしくはそのような合成関数を含む関数を積分する際には、置換積分や部分積分などを利用します。具体例を挙げます。
例（整数ベキ関数との合成関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x-1}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は多項式関数\(x-1\)と整数ベキ関数\(\frac{1}{x}=x^{-1}\)の合成関数と解釈できます。\(f\)は連続であるため不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=x-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)とすると値域は\(\left(1,+\infty \right) \)であり、これは\(f\)の定義域と一致します。\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。加えて、\(g\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =x-1 \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{1}{x-1}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \frac{1}{u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left(
1\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \frac{1}{u}du \\
&=&\int u^{-1}du \\
&=&\ln \left( \left\vert u\right\vert \right) +C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&\ln \left( \left\vert x-1\right\vert \right) +C\quad \because \left(
3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は多項式関数\(x-1\)と整数ベキ関数\(\frac{1}{x}=x^{-1}\)の合成関数と解釈できます。\(f\)は連続であるため不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=x-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)とすると値域は\(\left(1,+\infty \right) \)であり、これは\(f\)の定義域と一致します。\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。加えて、\(g\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =x-1 \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{1}{x-1}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \frac{1}{u}g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because \left(
1\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \frac{1}{u}du \\
&=&\int u^{-1}du \\
&=&\ln \left( \left\vert u\right\vert \right) +C\quad \because \text{整数ベキ関数の不定積分} \\
&=&\ln \left( \left\vert x-1\right\vert \right) +C\quad \because \left(
3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
演習問題
問題（整数ベキ関数の積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（整数ベキ関数の積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{7}{x^{3}}+\frac{2}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（整数ベキ関数の積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =6x^{2}-\frac{2}{x}-7
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（整数ベキ関数との合成関数の積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
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