余弦関数（cos関数）の不定積分と定積分

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\sin \left( x\right) +C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は恒等関数\(x\)と正弦関数\(\sin \left(x\right) \)の積であるため連続であり、したがって不定積分を持ちます。そこで、\(x\)は微分するとシンプルになる一方で\(\sin \left( x\right) \)を積分してもそれほど複雑にならないため、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&x \\
h^{\prime }\left( x\right) &=&\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}と定義すれば、\begin{equation*}
f=g\cdot h^{\prime }
\end{equation*}という関係が成立します。さらに、\begin{eqnarray*}
g^{\prime }\left( x\right) &=&1 \\
h\left( x\right) &=&-\cos \left( x\right)
\end{eqnarray*}です。関数\(g,h\)はともに\(C^{1}\)級であるため、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( g\cdot h^{\prime }\right) \left(
x\right) dx\quad \because f=g\cdot h^{\prime } \\
&=&\left( g\cdot h\right) \left( x\right) -\int \left( g^{\prime }\cdot
h\right) \left( x\right) dx\quad \because \text{部分積分} \\
&=&-x\cos \left( x\right) -\int \left[ -\cos \left( x\right) \right] dx \\
&=&-x\cos \left( x\right) +\int \cos \left( x\right) dx\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&-x\cos \left( x\right) +\sin \left( x\right) +C\quad \because \text{余弦関数の不定積分}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \sin \left( x\right) \right] _{a}^{b} \\
&=&\sin \left( b\right) -\sin \left( a\right)
\end{eqnarray*}となる。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\pi }f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{\pi }\cos \left( x\right)
dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \sin \left( x\right) \right] _{0}^{\pi }\quad \because \text{余弦関数の定積分} \\
&=&\sin \left( \pi \right) -\sin \left( 0\right) \\
&=&0-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( 2x+5\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は余弦関数\(\cos \left( x\right) \)と多項式関数\(2x+5\)の合成関数であるため連続であり、したがって定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=2x+5 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =\frac{u-5}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} \)とすれば、その値域は\(\mathbb{R} \)となり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =2x+5 \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \cos \left( 2x+5\right) dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int \cos \left( u\right) g^{\prime }\left( u\right) du\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \cos \left( u\right) \frac{1}{2}du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{2}\int \cos \left( u\right) du\quad \because \text{関数の定数倍の不定積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \sin \left( u\right) \right] +C\quad \because \text{正弦関数の不定積分} \\
&=&\frac{1}{2}\sin \left( 2x+5\right) +C\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( 2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の定積分\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi }\cos \left( 2x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\cos \left( x^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。