恒等関数の原始関数
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が恒等関数であるものとします。つまり、任意の\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}が成り立つということです。
恒等関数は連続であるため原始関数が存在します。具体的には以下の通りです。
命題（恒等関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。さらに、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。さらに、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（恒等関数の原始関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{equation*}を関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}x^{2}+C\right) \\
&=&x+0 \\
&=&x \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であるため、先の命題より、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{equation*}を関数\(F:\mathbb{R} \supset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、\(F\)は\(f\)の原始関数になります。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}x^{2}+C\right) \\
&=&x+0 \\
&=&x \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
恒等関数の不定積分
連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、連続関数である恒等関数について以下が成り立ちます。
命題（恒等関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（恒等関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{2}x^{2}+C
\end{equation*}です。ただし、\(C\)は積分定数です。
恒等関数の定積分
恒等関数の原始関数が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより、恒等関数の定積分を特定できます。具体的には以下の通りです。
命題（恒等関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}を定めるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{eqnarray*}となる。
例（恒等関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{0}^{1}=\frac{1}{2}\left( 1^{2}-0^{2}\right) =\frac{1}{2} \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{-1}^{0}=\frac{1}{2}\left[ 0^{2}-\left( -1\right) ^{2}\right] =-\frac{1}{2} \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{-1}^{1}=\frac{1}{2}\left[ 1^{2}-\left( -1\right) ^{2}\right] =0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{0}^{1}=\frac{1}{2}\left( 1^{2}-0^{2}\right) =\frac{1}{2} \\
\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{-1}^{0}=\frac{1}{2}\left[ 0^{2}-\left( -1\right) ^{2}\right] =-\frac{1}{2} \\
\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{-1}^{1}=\frac{1}{2}\left[ 1^{2}-\left( -1\right) ^{2}\right] =0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（定数関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ -1,1\right] \)上において積分可能でしょうか。積分区間を\(\left[ -1,0\right] \)と\(\left[ 0,1\right] \)に分割します。まずは\(\left[ -1,0\right] \)上での積分について考えます。関数\(f\)の定義域を\(\left[ -1,0\right] \)に制限して得られる関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,0\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値と、定数関数\begin{equation*}
1:\mathbb{R} \supset \left[ -1,0\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値は有限個の点\(x=0\)においてのみ異なるため、両者の定積分は一致します。したがって、\(f\)の\(\left[ -1,0\right] \)上での定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}1dx \\
&=&\left[ x\right] _{-1}^{0}\quad \because \text{定数関数の定積分} \\
&=&0-\left( -1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。続いて、\(\left[ 0,1\right] \)上での積分について考えます。関数\(f\)の定義域を\(\left[ 0,1\right] \)に制限して得られる関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値と、恒等関数\begin{equation*}
x:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値は有限個の点\(x=0\)においてのみ異なるため、両者の定積分は一致します。したがって、\(f\)の\(\left[ 0,1\right]\)上での定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{1}xdx \\
&=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{0}^{1}\quad \because \text{恒等関数の定積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left( 1^{2}-0\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)はもとの区間\(\left[ -1,1\right] \)上において積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}f\left( x\right)
dx+\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\quad \because \text{定積分の加法性} \\
&=&1+\frac{1}{2} \\
&=&\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ -1,1\right] \)上において積分可能でしょうか。積分区間を\(\left[ -1,0\right] \)と\(\left[ 0,1\right] \)に分割します。まずは\(\left[ -1,0\right] \)上での積分について考えます。関数\(f\)の定義域を\(\left[ -1,0\right] \)に制限して得られる関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,0\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値と、定数関数\begin{equation*}
1:\mathbb{R} \supset \left[ -1,0\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値は有限個の点\(x=0\)においてのみ異なるため、両者の定積分は一致します。したがって、\(f\)の\(\left[ -1,0\right] \)上での定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{0}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}1dx \\
&=&\left[ x\right] _{-1}^{0}\quad \because \text{定数関数の定積分} \\
&=&0-\left( -1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。続いて、\(\left[ 0,1\right] \)上での積分について考えます。関数\(f\)の定義域を\(\left[ 0,1\right] \)に制限して得られる関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値と、恒等関数\begin{equation*}
x:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定める値は有限個の点\(x=0\)においてのみ異なるため、両者の定積分は一致します。したがって、\(f\)の\(\left[ 0,1\right]\)上での定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{0}^{1}xdx \\
&=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{0}^{1}\quad \because \text{恒等関数の定積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left( 1^{2}-0\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)はもとの区間\(\left[ -1,1\right] \)上において積分可能であり、\begin{eqnarray*}\int_{-1}^{1}f\left( x\right) dx &=&\int_{-1}^{0}f\left( x\right)
dx+\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\quad \because \text{定積分の加法性} \\
&=&1+\frac{1}{2} \\
&=&\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。
恒等関数と純変化量定理
純変化量定理を再掲します。これは微分積分学の第2基本定理から導かれます。
命題（純変化量定理）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとする。この場合には、以下の関係\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}が成立する。
\end{equation*}が成立する。
導関数\(\frac{df}{dx}\)がそれぞれの点\(x\in \left( a,b\right) \)に対して定める値、すなわち点\(x\)における\(f\)の微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h\right)
-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}とは、点\(x\)における\(f\left(x\right) \)の瞬間変化率に相当する概念です。純変化量定理によると、この瞬間変化率\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分することにより、変数\(x\)が点\(a\)から点\(b\)へ変化する場合の前後における\(f\left( x\right) \)の変化量\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。
関数\(f\)の導関数\(\frac{df}{dx}\)が恒等関数であるものとします。恒等関数は連続であるためリーマン積分可能であり、したがって純変化定理を利用できます。つまり、瞬間変化率\(\frac{df}{dx}\)が恒等関数であるような状況においては、もとの関数\(f\)の変化量\(f\left( b\right) -f\left(a\right) \)は、恒等関数の定積分と一致するということです。
例（恒等関数と純変化量定理）
直角三角形の直角を挟む2辺のうちの一方の辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)であるとき、その直角三角形の面積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}x^{2}
\end{equation*}です。\(0<a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。導関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\frac{d}{dx}\frac{1}{2}x^{2}=x\quad \because
\left( 1\right)
\end{equation*}を定めますが、これは恒等関数です。すると、\begin{eqnarray*}
f\left( b\right) -f\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{a}^{b}xdx\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{a}^{b}\quad \because \text{恒等関数の定積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \quad \because \text{恒等関数の定積分}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、問題としている辺の長さ\(x\)を\(a\)から\(b\)まで伸ばすと直角三角形の面積は\(\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \)だけ増加します。
\end{equation*}です。\(0<a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。導関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\frac{d}{dx}\frac{1}{2}x^{2}=x\quad \because
\left( 1\right)
\end{equation*}を定めますが、これは恒等関数です。すると、\begin{eqnarray*}
f\left( b\right) -f\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{a}^{b}xdx\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left[ \frac{1}{2}x^{2}\right] _{a}^{b}\quad \because \text{恒等関数の定積分} \\
&=&\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \quad \because \text{恒等関数の定積分}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、問題としている辺の長さ\(x\)を\(a\)から\(b\)まで伸ばすと直角三角形の面積は\(\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) \)だけ増加します。
演習問題
問題（恒等関数の積分）
以下の定積分\begin{equation*}
\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}xdx
\end{equation*}を求めてください。
\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}xdx
\end{equation*}を求めてください。
問題（恒等関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。区間\(\left[ 2,5\right] \)上において\(f\)のグラフと\(x\)軸によって囲まれる領域の面積を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。区間\(\left[ 2,5\right] \)上において\(f\)のグラフと\(x\)軸によって囲まれる領域の面積を求めてください。
問題（恒等関数の定積分）
車が\(10\)秒間走行しました。スタートしてから\(x\)秒後の時点における瞬間速度が秒速\(x\)メートルであるものとします。\(10\)秒間での総走行距離を求めてください。
問題（恒等関数の定積分）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が恒等関数であるものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるということです。本文中では、微分積分学の基本定理を用いることにより、\(f\)の定積分が、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) =\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{equation*}であることを求めました。定積分の本来の定義にもとづいて同様の結果を導いてください。
\end{equation*}を定めるということです。本文中では、微分積分学の基本定理を用いることにより、\(f\)の定積分が、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) =\frac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right)
\end{equation*}であることを求めました。定積分の本来の定義にもとづいて同様の結果を導いてください。
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