恒等関数の連続性
恒等関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるということです。
点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
命題（恒等関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続である。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続である。
恒等関数の片側連続性
片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。
命題（恒等関数の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続かつ左側連続である。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続かつ左側連続である。
例（恒等関数の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =1\)となりますが、これは定数関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。また、点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because x>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}x\quad
\because x<0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&0 \\
&\not=&1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において左側連続ではありません。したがって、\(f\)は点\(0\)において連続でもありません。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =x\)となりますが、これは恒等関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =1\)となりますが、これは定数関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。また、点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because x>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}x\quad
\because x<0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&0 \\
&\not=&1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において左側連続ではありません。したがって、\(f\)は点\(0\)において連続でもありません。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =x\)となりますが、これは恒等関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。
演習問題
問題（イプシロン・デルタ論法を用いた恒等関数の連続性の証明）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。本文中では関数の極限を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。本文中では関数の極限を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
問題（位相を用いた恒等関数の連続性の証明）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。本文中で示したように、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。本文中では関数の極限を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことを位相を用いて証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。本文中で示したように、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。本文中では関数の極限を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことを位相を用いて証明してください。
問題（恒等関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
問題（恒等関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
2 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
2 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
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