恒等関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているならば、\(f\)は\(a\)において連続である。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、\(f\)は\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様の議論が成立します。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数は\(\mathbb{R} \)上で連続であるということです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\left( 0,1\right) \)は開集合であるため、点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。しかも\(f\)は恒等関数であるため、上の命題より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点において同様の議論が成立するため\(f\)は\(\left(0,1\right) \)上で連続です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において右側連続であり、\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において左側連続である。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)です。内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている恒等関数であるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で連続ではありません。\(f\)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されている恒等関数であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。また、\(f\)は点\(1\)以下の周辺の任意の点において定義されている恒等関数であるため、\(f\)は\(1\)において左側連続です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
x & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(a<3\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =1\)となりますが、これは定数関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。\(a>3\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)となりますが、これは恒等関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。点\(3\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
3+}x=3\not=f\left( 3\right) \\
\lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3-}1=1=f\left(
3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(3\)において右側連続ではない一方で左側連続です。したがって\(f\)は点\(3\)において連続ではありません。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
2 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。