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恒等関数の連続性

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恒等関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は恒等関数であるものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているとき、\(f\)が\(a\)において連続であるか否かを検討できますが、\(f\)は常に入力した値と同一の値を返すことを踏まえると、\(f\)は\(a\)において連続であることが予想されます。実際、これは正しい主張です。

命題(恒等関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているならば、\(f\)は\(a\)において連続である。
証明
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命題(恒等関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、\(f\)は\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様の議論が成立します。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された恒等関数は\(\mathbb{R} \)上で連続であるということです。
例(恒等関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\left( 0,1\right) \)は開集合であるため、点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。しかも\(f\)は恒等関数であるため、上の命題より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点において同様の議論が成立するため\(f\)は\(\left(0,1\right) \)上で連続です。

 

恒等関数の片側連続性

片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(定数関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において右側連続であり、\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において左側連続である。
証明
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例(恒等関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)です。内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている恒等関数であるため、\(f\)は点\(a\)において連続です。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で連続ではありません。\(f\)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されている恒等関数であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。また、\(f\)は点\(1\)以下の周辺の任意の点において定義されている恒等関数であるため、\(f\)は\(1\)において左側連続です。
例(恒等関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
x & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(a<3\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =1\)となりますが、これは定数関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。\(a>3\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)となりますが、これは恒等関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。点\(3\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
3+}x=3\not=f\left( 3\right) \\
\lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3-}1=1=f\left(
3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(3\)において右側連続ではない一方で左側連続です。したがって\(f\)は点\(3\)において連続ではありません。

 

演習問題

問題(恒等関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
解答を見る
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問題(恒等関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
2 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
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次回は連続な関数の定数倍として定義される関数が連続であることを示します。

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関連知識

恒等関数
恒等関数

入力した値に等しい値を返す関数を恒等関数と呼びます。恒等関数は狭義単調増加関数であるとともに、定義域と値域は一致します。したがって、全区間上に定義された恒等関数は逆関数を持ち、それもまた恒等関数になります。また、恒等関数と任意の関数の合成関数もまた恒等関数になります。

恒等関数
恒等関数の極限

恒等関数は定義域上の任意の点において有限な実数へ収束する一方、正の無限大において正の無限大へ発散し、負の無限大において負の無限大に発散します。

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