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恒等関数の連続性

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恒等関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は恒等関数であるものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているとき、\(f\)が\(a\)において連続であるか否かを検討できますが、\(f\)は常に入力した値と同一の値を返すことを踏まえると、\(f\)は\(a\)において連続であることが予想されます。実際、これは正しい主張です。証明は以下の通りです。

恒等関数の定義より任意の\(x\in X\)に対して\(f\left( x\right) =x\)であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&a\quad \because \text{恒等関数の極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は\(a\)において連続であることが示されました。

命題(恒等関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているならば、\(f\)は\(a\)において連続である。
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例(恒等関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
x & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は\(x\leq 3\)において定数関数ですが、定数関数は連続であるため、\(f\)は\(a<3\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であり、点\(3\)において左側連続です。一方、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3+}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&3\quad \because \text{恒等関数の片側極限} \\
&\not=&f\left( 3\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は点\(3\)において右側連続ではなく、したがって連続でもありません。また、\(f\)は\(x>3\)において恒等関数ですが、先に示したように恒等関数は連続であるため、\(f\)は\(a>3\)を満たす任意の\(a\in \mathbb{R} \)において連続です。

 

恒等関数の片側連続性

片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます(証明は演習問題にします)。

命題(定数関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は\(a\)において右側連続であり、\(f\)が\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は\(a\)において左側連続である。
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例(恒等関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は恒等関数であるため、先の命題より、\(f\)は点\(0\)において右側連続であり、点\(1\)において左側連続です。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x=0=f\left(
0\right) \\
\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x=1=f\left(
1\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

恒等関数は連続関数

以上の2つの命題より恒等関数は連続であることが明らかになりました。

命題(恒等関数は連続関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}であるものとする。\(f\)は連続関数である。
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例(恒等関数は連続関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
x & \left( if\ 1<x<2\right) \\
2 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(x\leq 1\)において定数関数ですが、定数関数は連続であるため、\(f\)は\(a<1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であり、点\(1\)において左側連続です。さらに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1+}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{恒等関数の片側極限} \\
&=&f\left( 1\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は点\(1\)において右側連続です。したがって\(f\)は点\(1\)において連続です。\(f\)は\(1<x<2\)において恒等関数ですが、恒等関数は連続であるため、\(f\)は\(1<a<2\)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において連続です。\(f\)は\(x\geq 2\)において定数関数ですが、定数関数は連続であるため、\(f\)は\(a>2\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であり、点\(2\)において右側連続です。さらに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2-}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&2\quad \because \text{恒等関数の片側極限} \\
&=&f\left( 2\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は点\(2\)において左側連続です。したがって\(f\)は点\(2\)において連続です。以上より\(f\)は連続関数であることが明らかになりました。

次回は連続な関数の定数倍として定義される関数が連続であることを示します。

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