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無理関数の極限

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無理関数の極限

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、無理関数\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(x^{\frac{1}{n}}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、そこでの極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}となります。

命題(無理関数の極限)

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(x^{\frac{1}{n}}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(無理関数の極限)
\(n\)が奇数である場合、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} \)であるため、以下の関数\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x^{\frac{1}{n}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(無理関数の極限)
\(n\)が偶数である場合、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} _{+}\)であるため、以下の関数\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(x^{\frac{1}{n}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(無理関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-3x+1\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}-3x+1\)と無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{2}-3x+1\right) =a^{2}-3a+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(3\)は奇数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、したがって\(x^{\frac{1}{3}}\)は点\(a^{2}-3a+1\)および周辺の任意の点において定義されているため、無理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a^{2}-3a+1}x^{\frac{1}{3}}=\left( a^{2}-3a+1\right) ^{\frac{1}{3}} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{\frac{1}{3}}\)は点\(a^{2}-3a+1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
x^{2}-3x+1\right) ^{\frac{1}{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( a^{2}-3a+1\right) ^{\frac{1}{3}}\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。\(\mathbb{R} \)上の任意の点\(a\)について同様です。
例(無理関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ \frac{4}{3},+\infty \right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3x-4\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x-4\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \left( \frac{4}{3},+\infty \right) \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( 3x-4\right) =3a-4 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(2\)は偶数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、したがって\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(3a-4\)および周辺の任意の点において定義されているため、無理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 3a-4}x^{\frac{1}{2}}=\left( 3a-4\right) ^{\frac{1}{2}}
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(3a-4\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
3x-4\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 3a-4\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。\(\left( \frac{4}{3},+\infty\right) \)上の任意の点\(a\)について同様です。
例(無理関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right) =\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(3\)は奇数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、したがって\(x^{\frac{1}{3}}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)および周辺の任意の点において定義されているため、無理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}}x^{\frac{1}{3}}=\left[
\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{\frac{1}{3}} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{\frac{1}{3}}\)は点\(\frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{\frac{1}{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\right] ^{\frac{1}{3}}\quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)上の任意の点\(a\)について同様です。
例(無理関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -3,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{4}{x+3}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{4}{x+3}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \left( -3,+\infty \right) \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{4}{x+3}\right) =\frac{4}{a+3} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(2\)は偶数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、したがって\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(\frac{4}{a+3}\)および周辺の任意の点において定義されているため、無理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{4}{a+3}}x^{\frac{1}{2}}=\left( \frac{4}{a+3}\right)
^{\frac{1}{2}} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(\frac{4}{a+3}\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{4}{x+3}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left( \frac{4}{a+3}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。\(\left( -3,+\infty \right) \)上の任意の点\(a\)について同様です。

 

無理関数の片側極限

先の命題を踏まえると、片側極限に関する以下の命題が得られます。

命題(無理関数の片側極限)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(x^{\frac{1}{n}}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}x^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}が成り立つ。また、\(x^{\frac{1}{n}}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}x^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

例(無理関数の極限)
自然数\(n\)を任意に選んだとき、有界閉区間上に無理関数\(x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \supset \left[ 1,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。定義域の内点\(a\in \left( 1,2\right) \)を任意に選んだとき、無理関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(1\)に注目したとき、無理関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1+}x^{\frac{1}{n}}=1^{\frac{1}{n}}=1\quad \because 1^{n}=1
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(2\)に注目したとき、無理関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 2-}x^{\frac{1}{n}}=2^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

無理関数の無限大における極限

\(n\)が奇数である場合、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\mathbb{R} \)上に定義された狭義単調増加関数であり、\(n\)が偶数である場合、\(x^{\frac{1}{n}}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義された狭義単調増加関数であることを踏まえると、以下が成り立つことが示されます。

命題(無理関数の無限大における極限)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(n\)の偶奇に関わらず、\(x^{\frac{1}{n}}\)が限りなく大きい任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{\frac{1}{n}}=+\infty
\end{equation*}が成り立つ。また、\(n\)が奇数であるとともに、\(x^{\frac{1}{n}}\)が限りなく小さい任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{\frac{1}{n}}=-\infty
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(無理関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-3x+1\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}-3x+1\)と無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の合成関数であることに注意してください。多項式関数の無限大における極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{2}-3x+1\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }\left[ x^{2}\left( 1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) \right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{2}-3x+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(3\)は奇数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、したがって\(x^{\frac{1}{3}}\)は限りなく大きい任意の点において定義されているため、無理関数の無限大における極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{\frac{1}{3}}=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( x^{2}-3x+1\right) ^{\frac{1}{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。同様にして、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}であることもまた示されます。

例(無理関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -3,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{4}{x+3}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{4}{x+3}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数であることに注意してください。有理関数の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{4}{x+3}\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}\right) \\
&=&\frac{0}{1+0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{4}{x+3}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。\(2\)は偶数であるため無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、したがって\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(0\)以上の任意の点において定義されているため、無理関数の片側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}x^{\frac{1}{2}}=0^{\frac{1}{2}}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{\frac{1}{2}}\)は点\(0\)において右側連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{4}{x+3}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(無理関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x-1\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \left[1,+\infty \right) \)について、\(x\)が\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を求めてください。また、\(x\)が限りなく大きくなる場合や、\(x\)が限りなく小さくなる場合の\(f\)の極限を求めてください。また、極限が存在しない場合にはその理由を述べてください。
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