無限大における上極限と下極限を用いた関数の収束判定

有界な関数は無限大において収束するとは限らない

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この関数\(f\)は限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。

このような関数\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \forall M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( a,+\infty \right) \)上において有界であることは、\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \exists m\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left( a,+\infty \right) :m\leq f\left( x\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

関数\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束する場合、その関数は何らかの区間\(\left( a,+\infty\right) \)上において有界になることが保証されます。一方、何らかの区間\(\left( a,+\infty \right) \)上において有界な関数\(f\)は\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

負の無限大における極限についても同様です。具体的には以下の通りです。

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この関数\(f\)は限りなく小さい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。

このような関数\(f\)が\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \forall m\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( x<m\Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( -\infty ,a\right) \)上において有界であることは、\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \exists m\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left( -\infty ,a\right) :m\leq f\left( x\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

関数\(f\)が\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束する場合、その関数は何らかの区間\(\left( -\infty,a\right) \)上において有界になることが保証されます。一方、何らかの区間\(\left( -\infty ,a\right) \)上において有界な関数\(f\)は\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

有界単調関数の収束定理は万能ではない

何らかの区間\(\left( a,+\infty \right) \)上において有界な関数は\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束するとは限らないことが明らかになりました。ただ、関数が何らかの区間\(\left( a,+\infty \right) \)上において有界かつ単調である場合には、有界単調関数の収束定理より、その関数は\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束することが保証されます。その一方で、区間\(\left( a,+\infty \right) \)上において有界かつ単調ではない関数が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束する事態も起こり得るため、有界単調関数の収束定理は万能ではありません。以下の例より明らかです。

負の無限大における極限についても同様です。具体的には以下の通りです。

関数が何らかの区間\(\left( -\infty ,a\right) \)上において有界かつ単調である場合には、有界単調関数の収束定理より、その関数は\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束することが保証されます。その一方で、区間\(\left( -\infty ,a\right) \)上において有界かつ単調ではない関数が\(x\rightarrow-\infty \)の場合に有限な実数へ収束する事態も起こり得るため、有界単調関数の収束定理は万能ではありません。以下の例より明らかです。

無限大における上極限と下極限を用いた関数の収束判定

単調であるとは限らない局所有界な関数を対象とした場合、それが正の無限大において有限な実数へ収束することを判定する方法は存在するのでしょうか。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい任意の点において定義されているとともに区間\(\left(a,+\infty \right) \)上で有界である場合には、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の\(f\)の上極限と下極限\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\sup f\left( x\right) &=&\lim_{t\rightarrow
+\infty }\sup f\left( \left( t,+\infty \right) \right) \\
\lim_{x\rightarrow +\infty }\inf f\left( x\right) &=&\lim_{t\rightarrow
+\infty }\inf f\left( \left( t,+\infty \right) \right)
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まることが保証されますが、両者が一致することは、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\sup f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
+\infty }\inf f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束するための必要十分条件です。しかも、以上の条件が成り立つ場合、関数\(f\)の極限は上極限や下極限と一致します。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty
}\sup f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty }\inf f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

負の無限大における極限についても同様です。具体的には以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい任意の点において定義されているとともに区間\(\left(-\infty ,a\right) \)上で有界である場合には、\(x\rightarrow -\infty \)の場合の\(f\)の上極限と下極限\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\sup f\left( x\right) &=&\lim_{t\rightarrow
-\infty }\sup f\left( \left( -\infty ,t\right) \right) \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }\inf f\left( x\right) &=&\lim_{t\rightarrow
-\infty }\inf f\left( \left( -\infty ,t\right) \right)
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まることが保証されますが、両者が一致することは、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\sup f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
-\infty }\inf f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束するための必要十分条件です。しかも、以上の条件が成り立つ場合、関数\(f\)の極限は上極限や下極限と一致します。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow -\infty
}\sup f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow -\infty }\inf f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。証明は先の命題と同様です。