指数関数の極限

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a\not=1\)かつ\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a\not=1\)かつ\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}f\left( x\right) =a^{b}
\end{equation*}が成り立つ。

自然指数関数\begin{equation*}
e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は指数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}e^{x}=e^{a}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}e^{x} &=&e^{1}=e \\
\lim_{x\rightarrow 0}e^{x} &=&e^{0}=1 \\
\lim_{x\rightarrow -1}e^{x} &=&e^{-1}=\frac{1}{e}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

指数関数\begin{equation*}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は指数関数であるため、先の命題より、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}=\left( \frac{1}{2}\right) ^{a}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x} &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{1}=\frac{1}{2} \\
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x} &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{0}=1 \\
\lim_{x\rightarrow -1}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x} &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{-1}=2
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3^{x^{2}+x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+x+1\)と指数関数\(3^{x}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{2}+x+1\right) =a^{2}+a+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}であるとともに、点\(a^{2}+a+1\in \mathbb{R} \)において、指数関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a^{2}+a+1}3^{x}=3^{a^{2}+a+1} \quad \cdots (2)
\end{equation}となるため（関数\(3^{x}\)は点\(a^{2}+a+1\)において連続）、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}3^{x^{2}+x+1}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&3^{a^{2}+a+1}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&3^{1+1+1}=3^{3}=27 \\
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&3^{0+0+1}=3^{1}=3 \\
\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) &=&3^{1-1+1}=3^{1}=3
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a\not=1\)かつ\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow b+}f\left( x\right) =a^{b} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) =a^{b}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
e^{x} & \left( if\ 0<x<1\right) \\
e & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because a<0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}1\quad
\because x<0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1\quad \because \text{定数関数の片側極限}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}e^{x}\quad
\because x>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&e^{0}\quad \because \text{指数関数の片側極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}f\left(
x\right) =1
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を得ます。\(0<a<1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}e^{x}\quad
\because 0<a<1\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&e^{a}\quad \because \text{指数関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、点\(1\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}e^{x}\quad
\because x<1\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&e^{1}\quad \because \text{指数関数の片側極限} \\
&=&e
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1+}e\quad
\because x>1\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&e\quad \because \text{定数関数の片側極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 1+}f\left(
x\right) =e
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =e
\end{equation*}を得ます。\(a>1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}e\quad
\because a>1\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&e\quad \because \text{定数関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a\not=1\)かつ\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。正の無限大における極限について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }a^{x}=\left\{
\begin{array}{cl}
+\infty & \left( if\ a>1\right) \\
0 & \left( if\ 0<a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ一方で、負の無限大における極限について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }a^{x}=\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ a>1\right) \\
+\infty & \left( if\ 0<a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。

自然指数関数\begin{equation*}
e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は指数関数であるとともに\(e>1\)を満たすため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{x} &=&+\infty \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }e^{x} &=&0
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。

指数関数\begin{equation*}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は指数関数であるとともに\(0<\frac{1}{2}<1\)を満たすため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{x} &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }e^{x} &=&+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3^{x^{2}+x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+x+1\)と指数関数\(3^{x}\)の合成関数であることに注意してください。多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{2}+x+1\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}であるとともに、指数関数の極限より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }3^{x}=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}3^{x^{2}+x+1}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&+\infty \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{\frac{x-3}{x-2}}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \\
&&\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。