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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

指数関数の微分

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自然指数関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が自然指数関数であるものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるかを検討できます。そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{a+h}-e^{a}}{h}
\end{equation*}と定義されますが、このままで評価するのは困難です。ただ、自然指数関数の極限について解説した際に、\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを示しました。したがって、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{a+h}-e^{a}}{h}
\\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{a}\left( e^{h}-1\right) }{h}\quad \because
\text{指数法則} \\
&=&\left( \lim_{h\rightarrow 0}e^{a}\right) \cdot \lim_{h\rightarrow
0}\left( \frac{e^{h}-1}{h}\right) \quad \because \text{収束する関数の積} \\
&=&e^{a}\cdot 1\quad \because \text{定数関数の極限および}\left( 1\right) \\
&=&e^{a}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =e^{a}
\end{equation*}となることが明らかになりました。

命題(自然指数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =e^{a}
\end{equation*}となる。

例(自然指数関数の微分)
自然指数関数\(e^{x}\)は\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるが、\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(\mathbb{R} \)の点を任意に選んだとき、\(e^{x}\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。したがって上の命題より\(f\)は微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された自然指数関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、その導関数はもとの自然数関数と一致するということです。

片側微分についても同様の命題が成り立ちます。

命題(自然指数関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =e^{a}
\end{equation*}となる。また、\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =e^{a}
\end{equation*}となる。

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例(自然指数関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2e^{x}+1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)です。内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺において定義されているため点\(a\)において微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&2\cdot \left. \left( e^{x}\right) ^{\prime
}\right\vert _{x=a}+1\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&2\cdot \left( \left. e^{x}\right\vert _{x=a}\right) +1\quad \because
\text{自然指数関数の微分} \\
&=&2e^{a}+1
\end{eqnarray*}となります。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で微分可能ではありません。\(f\)は点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されているため点\(a\)において右側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&2\cdot \left. \left( e^{x}\right)
_{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}+1\quad \because \text{右側微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&2\cdot \left( \left. e^{x}\right\vert _{x=0}\right) +1\quad \because
\text{自然指数関数の右側微分} \\
&=&2e^{0}+1 \\
&=&2\cdot 1+1 \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。また、\(f\)は点\(1\)以下の周辺の任意の点において定義されているため点\(1\)において左側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1-0\right) &=&2\cdot \left. \left( e^{x}\right)
_{+}^{\prime }\right\vert _{x=1}+1\quad \because \text{左側微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&2\cdot \left( \left. e^{x}\right\vert _{x=1}\right) +1\quad \because
\text{自然指数関数の左側微分} \\
&=&2e^{1}+1 \\
&=&2e+1
\end{eqnarray*}となります。したがって\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2e^{x}+1
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

自然指数関数との合成関数の微分

自然指数関数は\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が任意に与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =e^{f\left( x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは関数\(y=f\left( x\right) \)と自然指数関数\(e^{y}\)の合成関数である点に注意してください。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が点\(a\in X\)において微分可能であるかどうか検討できます。仮に\(f\)が点\(a\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。ここで注意したいことは、自然指数関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能であるため点\(f\left( a\right) \in \mathbb{R} \)において微分可能であるという点です。すると合成関数の微分より、\(g\)は点\(a\)において微分可能であることが保証されます。

命題(自然指数関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =e^{f\left( x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(g\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}g^{\prime }\left( a\right) =e^{f\left( a\right) }\cdot f^{\prime }\left(
a\right)
\end{equation*}となる。

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上の命題中の関数\(f\)が定義域上で微分可能であるならば、自然指数関数との合成関数の導関数に関する以下の命題を得ます。

命題(自然指数関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =e^{f\left( x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が微分可能であるならば、\(g\)は微分可能であるとともに、その導関数\(g^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g^{\prime }\left( x\right) =e^{f\left( x\right) }\cdot f^{\prime }\left(
x\right)
\end{equation*}を定める。

例(多項式関数と自然指数関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\exp \left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right)
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。この関数\(f\)は多項式関数\(y=\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と自然指数関数\(e^{y}=\exp \left( y\right) \)の合成関数です。多項式関数は\(X\)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime }=\sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1}
\quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ \exp \left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) \right] \left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime } \\
&=&\left[ \exp \left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) \right] \sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(有理関数と自然指数関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\exp \left( \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right)
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。この関数\(f\)は有理関数\(y=\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と自然指数関数\(e^{y}=\exp \left( y\right) \)の合成関数です。有理関数は\(X\)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\prime }=\frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left( x\right) -g\left( x\right) \cdot
h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left( x\right) \right] ^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\exp \left( \frac{g\left( x\right) }{h\left(
x\right) }\right) \left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\prime } \\
&=&\exp \left( \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right) \left[
\frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left( x\right) -g\left( x\right)
\cdot h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left( x\right) \right] ^{2}}\right] \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(自然指数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x^{2}+3}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(自然指数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( e^{2x}\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(自然指数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3\left( e^{2x^{4}+1}\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(自然指数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2e^{3x}}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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次回は対数関数の微分について学びます。

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