一般の指数関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(b\in X\)および周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(b\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( b\right) =a^{b}\cdot \ln \left( a\right)
\end{equation*}となる。

指数関数は全区間上に定義可能であるため、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点を含め周辺の任意の点において定義されています。すると先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =a^{x}\cdot \ln \left( a\right)
\end{equation*}を定めます。つまり、指数関数\(a^{x}\)の導関数はもとの関数\(a^{x}\)の定数倍（\(\ln \left( a\right) \)倍）と一致します。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}\)と指数関数\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\)の積として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ x^{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\right] ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x^{2}\right) ^{\prime }\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}+x^{2}\left[
\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\right] ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の積} \\
&=&2x\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}+x^{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\ln
\left( \frac{1}{2}\right) \quad \because \text{多項式関数および指数関数の微分} \\
&=&2x\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}-x^{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\ln
\left( 2\right) \\
&=&\frac{2x-x^{2}\ln \left( 2\right) }{2^{x}} \\
&=&\frac{x\left( 2-x\ln \left( 2\right) \right) }{2^{x}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{5}-1\right) \cdot 10^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{5}-1\)と指数関数\(10^{x}\)の積として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ \left( x^{5}-1\right) \cdot 10^{x}\right] ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x^{5}-1\right) ^{\prime }\cdot 10^{x}+\left( x^{5}-1\right) \left(
10^{x}\right) ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の積} \\
&=&5x^{4}\cdot 10^{x}+\left( x^{5}-1\right) \left( 10^{x}\cdot \ln \left(
10\right) \right) \quad \because \text{多項式関数および指数関数の微分} \\
&=&10^{x}\left[ \ln \left( 10\right) \cdot x^{5}+5x^{4}-\ln \left( 10\right) \right] \end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2^{x}}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と指数関数\(2^{x}\)の商として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \frac{2^{x}}{x^{2}+1}\right) ^{\prime
}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( 2^{x}\right) ^{\prime }\left( x^{2}+1\right) -2^{x}\left(
x^{2}+1\right) ^{\prime }}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{微分可能な関数の商} \\
&=&\frac{2^{x}\ln \left( 2\right) \left( x^{2}+1\right) -2^{x}\left(
2x\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{多項式関数および指数関数の微分} \\
&=&\frac{2^{x}\left( \ln \left( 2\right) x^{2}-2x+\ln \left( 2\right)
\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

「単利・年利\(5\)\% 」という条件の定期金利に\(100\)万円を預けると、\(x\)年後の元利合計（万円）は、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&100\cdot \left( 1+0.05\right) ^{x} \\
&=&100\cdot 1.05^{x}
\end{eqnarray*}となります。この関数のグラフは以下の通りです。

初期時点（\(t=0\)）の元本に関して、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&100\cdot 1.05^{0} \\
&=&100\cdot 1 \\
&=&100
\end{eqnarray*}が確かに成り立っています。\(f\)は微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }\)は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =100\cdot 1.05^{x}\cdot \ln \left( 1.05\right)
\end{equation*}であるため、任意の\(x\)について、\begin{equation*}\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{f\left( x\right) }=\frac{100\cdot
1.05^{x}\cdot \ln \left( 1.05\right) }{100\cdot 1.05^{x}}=\ln \left(
1.05\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは定数です。これは何を意味するのでしょうか。\(f^{\prime }\left( x\right) \)は\(x\)年後の時点における元本の増加率であり、\(f\left( x\right) \)は\(x\)年後の時点における元本合計です。したがって、それらの商\(\frac{f^{\prime }\left(x\right) }{f\left( x\right) }\)は\(x\)年後の時点における\(1\)円当たりの増加率です。したがって、以上の事実は、元本合計が変化しても1円当たりの増加率は\(\ln \left( 1.05\right) \)で一定であることを意味します。逆に言うと、\(1\)円当たりの増加率が一定でも、元本合計は指数関数的に急速に増加するということです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(b\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(b\)において右側微分可能であるとともに、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( b+0\right) =a^{b}\cdot \ln \left( a\right)
\end{equation*}となる。また、\(f\)が点\(b\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(b\)において左側微分可能であるとともに、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( b-0\right) =a^{b}\cdot \ln \left( a\right)
\end{equation*}となる。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2^{x}+1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺において定義されているため点\(a\)において微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( 2^{x}\right) ^{\prime
}\right\vert _{x=a}+\left( 1\right) ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の和} \\
&=&\left( \left. 2^{x}\ln \left( 2\right) \right\vert _{x=a}\right) +0\quad
\because \text{指数関数の微分} \\
&=&2^{a}\ln \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で微分可能ではありません。\(f\)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されているため点\(0\)において右側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left( 2^{x}\right) _{+}^{\prime
}\right\vert _{x=0}+\left. \left( 1\right) _{+}^{\prime }\right\vert \quad
\because \text{右側微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&\left( \left. 2^{x}\ln \left( 2\right) \right\vert _{x=0}\right) +0\quad
\because \text{指数関数および定数関数の右側微分} \\
&=&2^{0}\ln \left( 2\right) \\
&=&\ln \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。また、\(f\)は点\(1\)以下の周辺の任意の点において定義されているため点\(1\)において左側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1-0\right) &=&\left. \left( 2^{x}\right) _{-}^{\prime
}\right\vert _{x=1}+\left. \left( 1\right) _{-}^{\prime }\right\vert \quad
\because \text{左側微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&\left( \left. 2^{x}\ln \left( 2\right) \right\vert _{x=1}\right) +0\quad
\because \text{指数関数および定数関数の左側微分} \\
&=&2^{1}\ln \left( 2\right) \\
&=&2\ln \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2^{x}\ln \left( 2\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{5}-1\right) \cdot 10^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{5}\left( \frac{1}{10}\right) ^{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。