円と円弧の微分

円の微分

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する円の中心が\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)であり半径が\(r>0\)である場合、円の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=a+r\cos \left( t\right) \\
y=b+r\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}となります。

円上の点の\(x\)座標を特定する関数\(x:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dx}{dt} &=&\frac{d}{dt}\left( a+r\cos \left( t\right) \right) \\
&=&0+r\left[ -\sin \left( t\right) \right] \\
&=&-r\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}となります。

円上の点の\(y\)座標を特定する関数\(y:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dt} &=&\frac{d}{dt}\left( b+r\sin \left( t\right) \right) \\
&=&0+r\cos \left( t\right) \\
&=&r\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。

以上より、\(y\)の\(x\)に関する導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\
&=&\frac{r\cos \left( t\right) }{-r\sin \left( t\right) } \\
&=&-\frac{\cos \left( t\right) }{\sin \left( t\right) }
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\frac{dy}{dx}\)は媒介変数\(t\)に関する関数であり、その定義域は、\begin{eqnarray*}\left\{ t\in \left[ 0,2\pi \right] \ |\ \frac{dx}{dt}\not=0\right\}
&=&\left\{ t\in \left[ 0,2\pi \right] \ |\ -r\sin \left( t\right)
\not=0\right\} \\
&=&\left\{ t\in \left[ 0,2\pi \right] \ |\ \sin \left( t\right)
\not=0\right\} \\
&=&\left[ 0,2\pi \right] \backslash \left\{ 0,\pi ,2\pi \right\} \\
&=&\left( 0,\pi \right) \cup \left( \pi ,2\pi \right)
\end{eqnarray*}です。

円の接線の傾きの大きさ

円の媒介変数表示\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=a+r\cos \left( t\right) \\
y=b+r\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。\(y\)の\(x\)に関する導関数\(\frac{dy}{dx}\)が点\(t_{0}\in \left[ 0,2\pi \right] \)において定義されている場合には、すなわち、\begin{equation*}t_{0}\in \left( 0,\pi \right) \cup \left( \pi ,2\pi \right)
\end{equation*}である場合には、微分係数\begin{equation*}
\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}=-\frac{\cos \left( t_{0}\right) }{\sin
\left( t_{0}\right) }
\end{equation*}の大きさは、円上に存在する点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)を通過する接線の傾きの大きさと一致します。ただし、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a+r\cos \left( t_{0}\right) \\
b+r\sin \left( t_{0}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。

一方、導関数\(\frac{dy}{dx}\)が点\(t_{0}\in \left[ 0,2\pi \right] \)において定義されていない場合には、すなわち、\begin{equation*}t_{0}\in \left\{ 0,\pi ,2\pi \right\}
\end{equation*}である場合には、微分係数\(\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}\)はそもそも定義されていないため、微分係数の値から円上の点\(\left(x_{0},y_{0}\right) \)における接線の傾きの大きさを特定できません。以下の方針のもとで判定する必要があります。

媒介変数の値が\(t_{0}=0,2\pi \)である場合には、\begin{eqnarray*}\frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt} &=&-r\sin \left( t_{0}\right) =0 \\
\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt} &=&r\cos \left( t_{0}\right) =r
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{dy\left( t\right) }{dx}=\lim_{t\rightarrow
t_{0}}\frac{\frac{dy\left( t\right) }{dt}}{\frac{dx\left( t\right) }{dt}}=\frac{r}{0}=+\infty
\end{equation*}となります。したがって、円上に存在する点\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a+r\cos \left( t_{0}\right) \\
b+r\sin \left( t_{0}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a+r \\
b\end{array}\right)
\end{equation*}における接線は垂直な直線です。

媒介変数の値が\(t_{0}=\pi \)である場合には、\begin{eqnarray*}\frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt} &=&-r\sin \left( t_{0}\right) =0 \\
\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt} &=&r\cos \left( t_{0}\right) =-r
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{dy\left( t\right) }{dx}=\lim_{t\rightarrow
t_{0}}\frac{\frac{dy\left( t\right) }{dt}}{\frac{dx\left( t\right) }{dt}}=\frac{-r}{0}=-\infty
\end{equation*}となります。したがって、円上に存在する点\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a+r\cos \left( t_{0}\right) \\
b+r\sin \left( t_{0}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a-r \\
b\end{array}\right)
\end{equation*}における接線は垂直な直線です。

円弧の微分

円上の弧、すなわち円弧の媒介変数表示は、\begin{equation*}
0\leq t_{0}<t_{1}\leq 2\pi
\end{equation*}を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=a+r\cos \left( t\right) \\
y=b+r\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}となります。

先と同様に考えることにより、\(y\)の\(x\)に関する導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\
&=&\frac{r\cos \left( t\right) }{-r\sin \left( t\right) } \\
&=&-\frac{\cos \left( t\right) }{\sin \left( t\right) }
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\frac{dy}{dx}\)は媒介変数\(t\)に関する関数であり、その定義域は、\begin{eqnarray*}\left\{ t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \ |\ \frac{dx}{dt}\not=0\right\}
&=&\left\{ t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \ |\ -r\sin \left( t\right)
\not=0\right\} \\
&=&\left\{ t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \ |\ \sin \left( t\right)
\not=0\right\} \\
&=&\left\{ t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \ |\ \forall z\in \mathbb{Z} :t\not=z\pi \right\} \\
&=&\left[ t_{0},t_{1}\right] \backslash \left\{ 0,\pi ,2\pi \right\}
\end{eqnarray*}です。

円弧上に存在する点の接線の大きさについては円の場合と同様に考えます。

演習問題