関数の点における微分係数は極限を用いて定義されますが、その点が区間の境界点である場合などには通常の意味での極限が定義不可能であるため、片側極限を用いて微分可能性を定義します。このようにして定義された微分係数を片側微分係数と呼びます。
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片側微分係数

これまでは関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の内点\(a\in X^{i}\)における微分可能性について考えてきました。一方、有界閉区間のように境界を含む集合上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack s,t]\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間の端点\(s,t\)はいずれも定義域の内点ではなく境界点となりますが、このような点における微分可能性についてどのように考えればよいでしょうか。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における微分係数は以下の極限\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されますが、この極限が存在するか否かを検討する際には、\(h\not=0\)を満たす十分小さい任意の実数\(h\)について、平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が定義されている必要があります。このような事情を踏まえた上で、これまでは点\(a\)の候補を定義域\(X\)の内点に限定しました。一方、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack s,t]\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域\(\left[ s,t\right] \)の左側の端点\(s\)に注目すると、\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)について\(f\left( s+h\right) \)は定義されておらず、したがって平均変化率\begin{equation*}
\frac{f\left( s+h\right) -f\left( s\right) }{h}
\end{equation*}もまた\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)について定義されていないため、点\(s\)における通常の意味での微分可能性を検討できません。一方、\(h>0\)を満たす十分小さい任意の\(h\)に関して上の平均変化率は定義されているため、\(h\)が正の値をとりながら\(0\)に限りなく近づく場合の右側極限\begin{equation*}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f(s+h)-f(s)}{h}
\end{equation*}が存在するか否かを検討することはできます。そこで、このような右側極限が存在する場合、これを\(f\)の\(s\)における微分係数とみなします。同様に、定義域\(\left[ s,t\right] \)の右側の端点\(t\)については、\(h\)が負の値をとりながら\(0\)に限りなく近づく場合の左側極限\begin{equation*}
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}
\end{equation*}が存在する場合、これを\(f\)の\(t\)における微分係数とみなします。

以上の議論では、関数の定義域が有界な閉区間である場合、その定義域の端点における微分可能性を定義するためにはどうすればよいかという問題意識を背景に、関数の片側極限を用いて端点における微分可能性を定義しました。ただ、このような考え方は区間の端点に限らず、定義域上の任意の点に関しても適用可能です。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の任意の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(f\)の\(a\)における微分可能性を表す概念としては、通常の極限から定義される微分係数\begin{equation*}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}の他にも、右側極限から定義される微分係数\begin{equation*}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}や、左側極限から定義される微分係数\begin{equation*}
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}などが存在するということです。これらの関係については後ほど詳しく解説します。

以上の議論を整理しましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数\(x\)が定義域上の点\(a\in X\)から\(h>0\)だけ変化したときの平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が与えられたとき、\(a\)を固定した上で\(h\)を変数とみなした上で、\(h\rightarrow 0+\)のときの右側極限\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとります。この右側極限は存在する(有限な実数に右側収束する)とは限りませんが、仮に存在する場合、この右側極限を\(f\)の\(a\)における右側微分係数(right-hand differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}
f^{\prime }(a+0),\quad \frac{df(a+0)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(a+0),\quad
\left. \frac{df\left( x+0\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a+0\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を満たすものとして関数\(f\)の点\(a\)における右側微分係数\(f^{\prime }\left( a+0\right) \)は定義されるということです。右側微分係数\(f^{\prime }\left( a+0\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において右側微分可能(right-hand differentiable at \(a\))であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数\(x\)が定義域上の点\(a\in X\)から\(h<0\)だけ変化したときの平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が与えられたとき、\(a\)を固定した上で\(h\)を変数とみなした上で、\(h\rightarrow 0-\)のときの左側極限\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}をとります。この左側極限は存在する(有限な実数に左側収束する)とは限りませんが、仮に存在する場合、この左側極限を\(f\)の\(a\)における左側微分係数(left-hand differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}
f^{\prime }(a-0),\quad \frac{df(a-0)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(a-0),\quad
\left. \frac{df\left( x-0\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a-0\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を満たすものとして関数\(f\)の点\(a\)における左側微分係数\(f^{\prime }\left( a-0\right) \)は定義されるということです。左側微分係数\(f^{\prime }\left( a-0\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において左側微分可能(left-hand differentiable at \(a\))であると言います。

右側微分係数\(f^{\prime }(a+0)\)と左側微分係数\(f^{\prime }\left( a-0\right) \)を総称して、\(f\)の\(a\)における片側微分係数(one-sided differential coefficient)や半微分係数(semi-differential coefficient)などと呼びます。右側微分係数\(f^{\prime }(a+0)\)と左側微分係数\(f^{\prime }\left( a-0\right) \)がともに存在する場合、\(f\)は\(a\)において片側微分可能(one-sided differentiable)であるとか半微分可能(semi-differentiable)であるなどと言います。

例(片側微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}と定義されているものとします。\(f\)は\(0\)より小さい値において定義されていないため、\(0\)における通常の意味での微分可能性や左側微分可能性を検討することはできません。一方、\(f\)は\(0\)以上の値において定義されているため、\(0\)における右側微分可能性を検討することはできます。具体的には、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( 0+h\right) ^{2}-0^{2}}{h}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}h \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(0\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 0+0\right) =0
\end{equation*}であることが明らかになりました。また、\(f\)は\(1\)より大きい値において定義されていないため、\(1\)における通常の意味での微分可能性や右側微分可能性を検討することはできません。一方、\(f\)は\(1\)以下の値において定義されているため、\(1\)における左側微分可能性を検討することはできます。具体的には、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left( 1+h\right) ^{2}-1^{2}}{h}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( 2+h\right) \\
&=&2
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(1\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 1-0\right) =2
\end{equation*}であることが明らかになりました。
例(片側微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義されているものとします。\(h>0\)の場合、点\(0\)における平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}=\frac{\left( 0+h\right) -0}{h}=1
\end{equation*}となるため、\(f\)の\(0\)における右側微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 0+0\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h\right)
-f\left( 0\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0+}1=1
\end{equation*}となります。一方、\(h<0\)の場合、点\(0\)における平均変化率は、\begin{equation*}
\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}=\frac{-\left( 0+h\right)
-\left( -0\right) }{h}=-1
\end{equation*}となるため、\(f\)の\(0\)における左側微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 0-0\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( 0+h\right)
-f\left( 0\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}\left( -1\right) =-1
\end{equation*}となります。この例が示唆するように、関数がある点において右側と左側の両方から微分可能である場合、右側微分係数と左側微分係数は一致するとは限りません。

 

片側微分係数の一意性

繰り返しになりますが、関数\(f\)の点\(a\)における右側微分係数\(f^{\prime }\left( a+0\right) \)は、\(f\)の点\(a\)における平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\ \left( >0\right) \)に関する関数とみなした上での\(h\rightarrow 0+\)の場合の右側極限として定義されます。一般に、関数が右側収束する場合に右側極限は一意的に定まるため、関数の右側極限として定義される右側微分係数もまた一意的です。左側微分係数についても同様です。

命題(片側微分係数の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において右側微分可能であるとき、右側微分係数\(f^{\prime }\left( a+0\right) \)は一意的に定まる。また、\(f\)が\(a\)において左側微分可能であるとき、左側微分係数\(f^{\prime }\left( a-0\right) \)は一意的に定まる。
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上の命題は、関数\(f\)が右側微分可能な点\(a\)において、そこでの右側微分係数\(f^{\prime }\left( a+0\right) \)が1つの実数として定まるという主張です。関数\(f\)が異なる複数の点である\(a\)と\(a^{\prime }\)において右側微分可能であるとき、そこでの右側微分係数である\(f^{\prime }\left( a+0\right) \)と\(f^{\prime }\left( a^{\prime }+0\right) \)が一致するという主張ではありません。通常、右側微分係数\(f^{\prime }\left( a+0\right) \)の値は点\(a\)に応じて変化します。ただ、以下のような例外もあります。左側微分係数についても同様です。

例(片側微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =1
\end{equation*}と定義されているとき、定義域\(\mathbb{R} \)の点\(a\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{1-1}{h} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となり、これは\(a\)の値に依存せず\(0\)で一定です。つまり、この関数\(f\)は\(\mathbb{R} \)の任意の点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\(a\)の値によらず右側微分係数\(f^{\prime }\left( a+0\right) \)は\(0\)で一定です。左側微分係数についても同様です。

 

微分と片側微分の関係

関数は点において片側微分可能であるとは限りません。また、先に例を通じて確認したように、関数が点において左右から片側微分可能な場合、右側微分係数と左側微分係数は一致するとは限りません。では、通常の微分係数と片側微分係数の間にはどのような関係が成り立つのでしょうか。

図:片側微分と微分

上の図で表されるグラフを持つ関数\(f\)が与えられたとき、点\(a\)における\(f\)の右側微分係数は点\(A\)における右下がりのグレーの接線の傾きの大きさに相当し、点\(a\)における\(f\)の左側微分係数は点\(A\)における右上がりのグレーの接線の傾きの大きさに相当します。したがって、両者が異なることは一目瞭然です。また、点\(a\)における\(f\)の微分係数は点\(A\)における接線の傾きの大きさに相当しますが、図から明らかであるように、そのような接線は一意的に定まらないため、この関数\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。つまり、関数が点において片側微分可能である場合、左右の片側微分係数は一致するとは限りませんし、その点において通常の意味で微分可能であるとも限りません。

一方、関数が定義域の内点において片側微分可能であり、なおかつ左右の片側微分係数が一致することは、関数がその点において微分可能であるための必要十分条件です。しかも、その場合、微分係数と左右の片側微分係数は一致します。実際、関数\(f\)が定義域の内点\(a\)において片側微分可能であり、なおかつ左右の片側微分係数が一致することは、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\in
\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味しますが、収束関数の性質より、上の命題は、\begin{equation*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\in
\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(f\)が点\(a\)において微分可能であることと必要十分です。しかもこのとき、上の3つの極限が一致しますが、これは、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left(
a-0\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

命題(微分と片側微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が内点\(a\in X^{i}\)において、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right) \in
\mathbb{R} \end{equation*}を満たすことは、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) \in
\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。さらにこのとき、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left(
a-0\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題より、関数\(f\)が定義域の内点\(a\)において片側微分可能でない場合や、片側微分可能であっても左右の片側微分係数が一致しない場合には、\(f\)は\(a\)において通常の意味において微分可能ではありません。

例(微分と片側微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\vert x+7\right\vert
\end{equation*}と定義されているとき、\(f\)は点\(-7\)において微分可能でしょうか。\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( -7+h\right) -f\left( -7\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert \left( -7+h\right) +7\right\vert
-\left\vert \left( -7\right) +7\right\vert }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert -\left\vert
0\right\vert }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{-h}{h}\quad \because h<0 \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( -7-0\right) =-1
\end{equation*}が成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( -7+h\right) -f\left( -7\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert \left( -7+h\right) +7\right\vert
-\left\vert \left( -7\right) +7\right\vert }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert -\left\vert
0\right\vert }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{h}{h}\quad \because h>0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( -7+0\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(f\)は点\(-7\)において片側微分可能であるものの、そこでの右側微分係数と左側微分係数は異なるため、先の命題より、\(f\)は\(-7\)において微分可能ではありません。

次回は導関数と呼ばれる概念について学びます。

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