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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

逆関数の微分

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逆関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が単射であるならば、終集合を値域に制限した\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)は全単射になるため、その逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在することが保証されるとともに、\(f^{-1}\)もまた全単射になります。

逆関数\(f^{-1}\)が定義域上の点\(b\in f\left( X\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f^{-1}\)が点\(b\)において微分可能であるか検討できますが、\(f^{-1}\)はどのような条件のもとで微分可能になるのでしょうか。逆関数の定義より\(f^{-1}\left( b\right) \in X\)ですが、\(f\)がこの点\(f^{-1}\left( b\right) \)の周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(f^{-1}\left(b\right) \)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数が、\begin{equation*}f^{\prime }\left( f^{-1}\left( b\right) \right) \not=0
\end{equation*}を満たすものとします。以上に加えて\(f^{-1}\)が点\(b\)において連続である場合、\(f^{-1}\)が点\(b\)において連続であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{equation*}\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( b\right) =\frac{1}{f^{\prime }\left(
f^{-1}\left( b\right) \right) }
\end{equation*}となります。

命題(逆関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は単射であるものとする。このとき逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在する。\(f^{-1}\)は点\(b\in f\left( X\right) \)の周辺の任意の点において定義されており、\(f\)は点\(f^{-1}\left( b\right) \in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとする。さらに、\(f\)は点\(f^{-1}\left( b\right) \)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( f^{-1}\left( b\right) \right) \not=0
\end{equation*}が成り立つものとする。加えて、\(f^{-1}\)が点\(b\)において連続であるならば、\(f^{-1}\)は点\(b\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( b\right) =\frac{1}{f^{\prime }\left(
f^{-1}\left( b\right) \right) }
\end{equation*}となる。

証明

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逆関数の微分を通じた微分

先の命題は、逆関数\(f^{-1}\)を微分するためにはもとの関数\(f\)を微分すればよいという主張です。ただ、関数\(f\)の逆関数が\(g\)であることと\(g\)の逆関数が\(f\)であることは必要十分であるため、先の命題において\(f\)と\(f^{-1}\)の立場を入れ替えた主張もまた成り立ちます。

命題(逆関数の微分を通じた微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は単射であるものとする。このとき逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在する。\(f\)は点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されており、\(f^{-1}\)は点\(f\left( a\right) \in f\left( X\right) \)の周辺の任意の点において定義されているものとする。さらに、\(f^{-1}\)は点\(f\left( a\right) \)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) \not=0
\end{equation*}が成り立つものとする。加えて、\(f\)が点\(a\)において連続であるならば、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) }
\end{equation*}となる。

つまり、関数\(f\)を微分するかわりに逆関数\(f^{-1}\)を微分してもよいということです。重要なことは、関数と逆関数が与えられたとき、どちらか一方を微分すれば他方の微分も得られるという点です。与えられた関数を簡単に微分できるのであればそのまま微分すればよく、それが難しければ逆関数の微分を試みる、という運用が可能です。

例(逆関数の微分を通じた微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(1\)において微分可能でしょうか。無理関数の微分を学んでいないため、\(f\)を直接微分するのではなく、逆関数\(f^{-1}\)の微分を通じて\(f\)が微分可能であるか検討します。\(f\)は値域が\(\mathbb{R} _{+}\)であるような狭義単調増加関数であるため逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在し、これはそれぞれの\(y\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =y^{2}
\end{equation*}を定めます。\(f^{-1}\)は多項式関数であるため以下の点\begin{equation}f\left( 1\right) =1^{\frac{1}{2}}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( f\left( 1\right) \right) &=&\left(
f^{-1}\right) ^{\prime }\left( 1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left. \left( y^{2}\right) ^{\prime }\right\vert _{y=1}\quad \because
f^{-1}\text{の定義} \\
&=&\left. 2y\right\vert _{y=1}\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&2
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( f\left( 1\right) \right) =2\not=0
\quad \cdots (2)
\end{equation}を満たします。また、\(f\)は無理関数であるため点\(1\)において連続です。逆関数の微分に関する先の命題の条件が満たされることが明らかになったため、\(f\)は点\(1\)において微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&\frac{1}{\left( f^{-1}\right) ^{\prime
}\left( f\left( 1\right) \right) }\quad \because \text{逆関数の微分} \\
&=&\frac{1}{2}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。

例(逆関数の微分を通じた微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において微分可能でしょうか。有理ベキ関数の微分は学んでいないため、\(f\)を直接微分するのではなく、逆関数\(f^{-1}\)の微分を通じて\(f\)が微分可能であるか検討します。\(f\)は値域が\(\mathbb{R} \)であるような狭義単調増加関数であるため逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =y^{3}
\end{equation*}を定めます。\(f^{-1}\)は多項式関数であるため以下の点\begin{equation}f\left( 0\right) =0^{\frac{1}{3}}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}
\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( f\left( 0\right) \right) &=&\left(
f^{-1}\right) ^{\prime }\left( 0\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left. \left( y^{3}\right) ^{\prime }\right\vert _{y=0}\quad \because
f^{-1}\text{の定義} \\
&=&\left. 3y^{2}\right\vert _{y=0}\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( f\left( 0\right) \right) =0
\end{equation*}となります。この微分係数は\(0\)であるため逆関数の微分に関する命題を使うことができず、したがって\(f\)が点\(0\)において微分可能であるか明らかではありません。ちなみに、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません(演習問題にします)。

 

連続関数の逆関数の微分

先と同様、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は単射であるものとします。このとき逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在します。\(f^{-1}\)は点\(b\in f\left( X\right) \)の周辺の任意の点において定義されており、\(f\)は点\(f^{-1}\left( b\right)\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。加えて、やはり先と同様、\(f\)は点\(f^{-1}\left( b\right) \)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( f^{-1}\left( b\right) \right) \not=0
\end{equation*}が成り立つものとします。以上に加えて、\(f\)が定義域\(X\)上で連続であるものとします。この新たな条件のもとでは\(f^{-1}\)が点\(b\)において連続であることが保証されるため、結局、先の命題と同様の結論が得られます。

命題(連続関数の逆関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は単射であるものとする。このとき逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在する。\(f^{-1}\)は点\(b\in f\left( X\right) \)の周辺の任意の点において定義されており、\(f\)は点\(f^{-1}\left( b\right) \in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとする。さらに、\(f\)は定義域\(X\)上で連続であるとともに点\(f^{-1}\left( b\right) \)において微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( f^{-1}\left( b\right) \right) \not=0
\end{equation*}を満たすものとする。以上の条件のもと、\(f^{-1}\)は点\(b\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( b\right) =\frac{1}{f^{\prime }\left(
f^{-1}\left( b\right) \right) }
\end{equation*}となる。

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例(微分可能な関数の逆関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は開集合上に定義された単射であるものとします。このとき逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在します。加えて、\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるものとします。微分可能性は連続性を含意するため、このとき\(f\)は定義域\(X\)上で連続です。したがって、\begin{equation*}Y=\left\{ y\in f\left( X\right) \ |\ f^{\prime }\left( f^{-1}\left( y\right)
\right) \not=0\right\}
\end{equation*}とおいたとき、\(f^{-1}\)の導関数は\(\left( f^{-1}\right) ^{\prime}:Y\rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(y\in Y\)に対して、\begin{equation*}\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( y\right) =\frac{1}{f^{\prime }\left(
f^{-1}\left( y\right) \right) }
\end{equation*}を定めます。

 

連続な逆関数の微分を通じた微分

先の命題において関数\(f\)と逆関数\(f^{-1}\)の立場を入れ替えることにより以下を得ます。つまり、関数\(f\)を微分するかわりに逆関数\(f^{-1}\)を微分してもよいということです。

命題(連続な逆関数の微分を通じた微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は単射であるものとする。このとき逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在する。\(f\)は点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されており、\(f^{-1}\)は点\(f\left( a\right) \in f\left( X\right) \)の周辺の任意の点において定義されているものとする。さらに、\(f^{-1}\)は定義域\(f\left( X\right) \)上で連続であるとともに点\(f\left( a\right) \)において微分可能であり、\begin{equation*}\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) \not=0
\end{equation*}を満たすものとする。以上の条件のもと、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) }
\end{equation*}となる。

例(微分可能な逆関数の微分を通じた微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は開集合上に定義された単射であるものとします。このとき逆関数\(f^{-1}:f\left( X\right) \rightarrow X\)が存在します。加えて、\(f^{-1}\)は定義域\(f\left( X\right) \)上の任意の点において微分可能であるものとします。微分可能性は連続性を含意するため、このとき\(f^{-1}\)は定義域\(f\left( X\right) \)上で連続です。したがって、\begin{equation*}X=\left\{ x\in X\ |\ \left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left( f\left( x\right)
\right) \not=0\right\}
\end{equation*}とおいたとき、\(f\)の導関数は\(f^{\prime }:X\rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{\left( f^{-1}\right) ^{\prime }\left(
f\left( x\right) \right) }
\end{equation*}を定めます。

 

演習問題

問題(逆関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{4}}
\end{equation*}を定めるものとします。逆関数の微分を用いて\(f\)の導関数を求めてください。
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問題(逆関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack \frac{2}{3},\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack \frac{2}{3},\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3x-2\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。逆関数の微分を用いて\(f\)の導関数を求めてください。
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次回から初等関数の微分について解説します。

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