定義域上で微分可能な関数
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、\(f\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されている場合、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能であることとは、\(f\)の点\(a\)における右側微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されている場合、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)が点\(a\)において左側微分可能であることとは、\(f\)の点\(a\)における左側微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
以上を踏まえた上で、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の微分可能性を以下のように定義します。
- 点\(a\in X\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の内点である場合、\(f\)が点\(a\)において微分可能であることの意味を、\(f\)が点\(a\)において通常の意味において微分可能であることとして定義する。つまり、この場合、点\(a\)における微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)は点\(a\)において微分可能であると言う。点\(a\)が\(f\)の定義域の内点である場合などがこのケースに相当する。 - 関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されている一方で点\(a\)より小さい周辺の点においては定義されていない場合、\(f\)が点\(a\)において微分可能であることの意味を、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能であることとして定義する。つまり、この場合、点\(a\)における右側微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h\right)-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)は点\(a\)において微分可能であると言う。 - 関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されている一方で点\(a\)より大きい周辺の点においては定義されていない場合、\(f\)が点\(a\)において微分可能であることの意味を、\(f\)が点\(a\)において左側微分可能であることとして定義する。つまり、この場合、点\(a\)における左側微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( a+h\right)-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)は点\(a\)において微分可能であると言う。 - 関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の点において定義されていない場合、そもそも以上のような極限や片側極限が存在することを検討できないため、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではないものと定める。
以上を踏まえた上で、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上の任意の点において微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で微分可能である（differentiable on \(X\)）とか、\(f\)は微分可能である（differentiable）などと言います。
例（開集合上に定義された関数の微分可能性）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。開集合の定義より、\(X\)上の点はいずれも\(X\)の内点です。したがって、\(f\)が微分可能であることとは、\begin{equation*}\forall a\in X:f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味します。
例（有界な開区間上に定義された関数の微分可能性）
\(s<t\)を満たす実数\(s,t\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( s,t\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。有界開区間\(\left( s,t\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(\left( s,t\right) \)上の点はいずれも\(\left( s,t\right) \)の内点です。したがって、\(f\)が微分可能であることとは、\begin{equation*}\forall a\in \left( s,t\right) :f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味します。
例（無限開区間上に定義された関数の微分可能性）
実数\(s\in \mathbb{R} \)を端点とする無限開区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( s,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。無限開区間\(\left( s,+\infty \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(\left( s,+\infty \right) \)上の点はいずれも\(\left( s,+\infty \right) \)の内点です。したがって、\(f\)が微分可能であることとは、\begin{equation*}\forall a\in \left( s,+\infty \right) :f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味します。
例（全区間上に定義された関数の微分可能性）
全区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。全区間\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(\mathbb{R} \)上の点はいずれも\(\mathbb{R} \)の内点です。したがって、\(f\)が微分可能であることとは、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} :f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味します。
f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。全区間\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(\mathbb{R} \)上の点はいずれも\(\mathbb{R} \)の内点です。したがって、\(f\)が微分可能であることとは、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} :f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味します。
例（有界な閉区間上に定義された関数の微分可能性）
\(s<t\)を満たす実数\(s,t\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ s,t\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。定義域の内部\(\left( s,t\right) \)は\(\mathbb{R} \)上での開集合であるため、\(\left( s,t\right) \)上の点はいずれも\(\left( s,t\right) \)の内点です。定義域の左側の端点\(s\)については、\(f\)は点\(s\)より小さい値において定義されていません。定義域の右側の端点\(t\)については、\(f\)は点\(t\)より大きい値において定義されていません。したがって、\(f\)が微分可能であることとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall a\in \left( s,t\right) :f^{\prime }\left(
a\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ f^{\prime }\left( s+0\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ f^{\prime }\left( t-0\right) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。
a\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ f^{\prime }\left( s+0\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ f^{\prime }\left( t-0\right) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。
例（有界な半開区間上に定義された関数の微分可能性）
\(s<t\)を満たす実数\(s,t\in \mathbb{R} \)を端点とする有界半開区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset (s,t]\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。定義域の内部\(\left( s,t\right) \)は\(\mathbb{R} \)上での開集合であるため、\(\left( s,t\right) \)上の点はいずれも\(\left( s,t\right) \)の内点です。定義域の右側の端点\(t\)については、\(f\)は点\(t\)より大きい値において定義されていません。したがって、\(f\)が微分可能であることとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall a\in \left( s,t\right) :f^{\prime }\left(
a\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ f^{\prime }\left( t-0\right) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。
a\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ f^{\prime }\left( t-0\right) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。
例（無限閉区間上に定義された関数の微分可能性）
実数\(s\in \mathbb{R} \)を端点とする無限閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \lbrack s,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。定義域の内部\(\left( s,+\infty \right) \)は\(\mathbb{R} \)上での開集合であるため、\(\left( s,+\infty \right) \)上の点はいずれも\(\left( s,+\infty \right) \)の内点です。定義域の左側の端点\(s\)については、\(f\)は点\(s\)より小さい値において定義されていません。したがって、\(f\)が微分可能であることとは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall a\in \left( s,+\infty \right) :f^{\prime }\left(
a\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ f^{\prime }\left( s+0\right) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。
a\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ f^{\prime }\left( s+0\right) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。
導関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域\(X\)の点の中でも\(f\)が微分可能であるような点からなる集合を\(Y\)で表記します。ただし、ここでの微分可能性とは先に定めた意味においてです。このとき、それぞれの点\(x\in Y\)に対して以下の値\(f^{\prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を定める関数\(f^{\prime }:Y\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。
- 点\(x\)が\(f\)の定義域\(X\)の内点である場合、\(f^{\prime}\left( x\right) \)は点\(x\)における通常の微分係数である。つまり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h\right)-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}である。 - 関数\(f\)が点\(x\)以上の周辺の任意の点において定義されている一方で点\(x\)より小さい周辺の点においては定義されていない場合、\(f^{\prime }\left( x\right) \)は点\(x\)における右側微分係数である。つまり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( x+h\right)-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}である。 - 関数\(f\)が点\(x\)以下の周辺の任意の点において定義されている一方で点\(x\)より大きい周辺の点においては定義されていない場合、\(f^{\prime }\left( x\right) \)は点\(x\)における左側微分係数である。つまり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( x+h\right)-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}である。
以上のように定義される関数\(f^{\prime }:Y\rightarrow \mathbb{R} \)をもとの関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の導関数（derivative）と呼びます。通常、関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) ,\quad \frac{df(x)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(x)
\end{equation*}などと表記します。関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めることを、\(f\)を微分する（differentiate）と言います。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の点の中に\(f\)が微分可能でない点が存在する場合、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。一方、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において微分可能である場合、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域もまた\(X\)となります。関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)は、もとの関数\(f\)が微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。
例（導関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) ^{2}-a^{2}}{h}\quad \because
f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}であることが示されました。同様の議論は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において成立するため、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域もまた\(\mathbb{R} \)であり、\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を像として定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) ^{2}-a^{2}}{h}\quad \because
f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}であることが示されました。同様の議論は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において成立するため、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域もまた\(\mathbb{R} \)であり、\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を像として定めます。
例（導関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) -a}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。また、\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\left( a+h\right) -\left( -a\right) }{h}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。さらに、点\(0\in \mathbb{R} \)においては、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( 0+h\right) -0}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となる一方で、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{-\left( a+h\right) -\left( -a\right) }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため\(f^{\prime }\left( 0\right) \)は存在しません。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x>0\right) \\
-1 & \left( if\ x<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
\begin{array}{ll}
x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) -a}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。また、\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\left( a+h\right) -\left( -a\right) }{h}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。さらに、点\(0\in \mathbb{R} \)においては、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( 0+h\right) -0}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となる一方で、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{-\left( a+h\right) -\left( -a\right) }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため\(f^{\prime }\left( 0\right) \)は存在しません。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x>0\right) \\
-1 & \left( if\ x<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。
例（導関数）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 0,1)\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack 0,1)\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域の部分集合である\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}となります。定義域の左側の端点\(0\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( 0+h\right) ^{2}-0^{2}}{h}\quad
\because h>0\text{かつ}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}h \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(0\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は\(f^{\prime }\left(0+0\right) =0\)となります。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域もまた\([0,1)\)であり、\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x\in \lbrack 0,1)\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\quad x=0\right) \\
2x & \left( if\quad 0<x<1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を像として定めることが明らかになりました。ここで、関数\(f\)の定義域を\([0,1)\)から\(\mathbb{R} \)へ拡張し、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x} & \left( if\quad x<0\right) \\
x^{2} & \left( if\quad 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\quad x\geq 1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすものと定めます。興味深いのは、拡張する前の定義域\([0,1)\)において端点であった点\(0\)が、新たな定義域\(\mathbb{R} \)において内点になるということです。したがって、新たな\(f\)が点\(0\)において微分可能であるためには、右側微分可能性だけではなく通常の意味で微分可能性である必要があります。先と同様の議論により、新たな関数\(f\)もまた点\(0 \)における右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0+0\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left( \frac{1}{0+h}\right) -0^{2}}{h}\quad
\because h<0\text{かつ}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{1}{h^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において左側微分可能ではありません。したがって、新たな関数\(f\)は点\(0\)において通常の意味で微分可能ではないことが明らかになりました。定義域を拡張する前の\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)は点\(0\)において定義されていたのに対し、定義域を拡張した後の\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)は点\(0\)において定義されていないということになります。残りの議論は演習問題として出題しますが、定義域を拡張した後の\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,1\right\} \)であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
-\frac{1}{x^{2}} & \left( if\quad x<0\right) \\
2x & \left( if\quad 0<x<1\right) \\
1 & \left( if\quad x>1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を像として定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域の部分集合である\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}となります。定義域の左側の端点\(0\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( 0+h\right) ^{2}-0^{2}}{h}\quad
\because h>0\text{かつ}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}h \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(0\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は\(f^{\prime }\left(0+0\right) =0\)となります。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域もまた\([0,1)\)であり、\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x\in \lbrack 0,1)\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\quad x=0\right) \\
2x & \left( if\quad 0<x<1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を像として定めることが明らかになりました。ここで、関数\(f\)の定義域を\([0,1)\)から\(\mathbb{R} \)へ拡張し、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x} & \left( if\quad x<0\right) \\
x^{2} & \left( if\quad 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\quad x\geq 1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすものと定めます。興味深いのは、拡張する前の定義域\([0,1)\)において端点であった点\(0\)が、新たな定義域\(\mathbb{R} \)において内点になるということです。したがって、新たな\(f\)が点\(0\)において微分可能であるためには、右側微分可能性だけではなく通常の意味で微分可能性である必要があります。先と同様の議論により、新たな関数\(f\)もまた点\(0 \)における右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0+0\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left( \frac{1}{0+h}\right) -0^{2}}{h}\quad
\because h<0\text{かつ}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{1}{h^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において左側微分可能ではありません。したがって、新たな関数\(f\)は点\(0\)において通常の意味で微分可能ではないことが明らかになりました。定義域を拡張する前の\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)は点\(0\)において定義されていたのに対し、定義域を拡張した後の\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)は点\(0\)において定義されていないということになります。残りの議論は演習問題として出題しますが、定義域を拡張した後の\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,1\right\} \)であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
-\frac{1}{x^{2}} & \left( if\quad x<0\right) \\
2x & \left( if\quad 0<x<1\right) \\
1 & \left( if\quad x>1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を像として定めます。
演習問題
問題（導関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x^{2}-16x+35
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
問題（導関数）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
問題（導関数）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack \frac{8}{5},+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack \frac{8}{5},+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{5x-8}
\end{equation*}を像として定めるものとして定義されています。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を像として定めるものとして定義されています。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
問題（導関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x} & \left( if\quad x<0\right) \\
x^{2} & \left( if\quad 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\quad x\geq 1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x} & \left( if\quad x<0\right) \\
x^{2} & \left( if\quad 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\quad x\geq 1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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