関数が微分可能な定義域上のそれぞれの点に対して、そこでの微分係数(もしくは片側微分係数)を像として定める関数を導関数と呼びます。
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定義域上で微分可能な関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)の任意の点において微分可能であるとき、\(f\)は\(X\)上で微分可能である(differentiable on \(X\))とか、\(f\)は微分可能である(differentiable)などと言います。

関数\(f\)の定義域\(X\)が開集合である場合、\(X\)の任意の点は\(X\)の内点であるため、\(f\)が\(X\)上で微分可能であることとは、\(f\)が\(X\)の任意の点において通常の意味において微分可能であることを意味します。つまり、定義域の点\(a\in X\)を任意にとったとき、それに対して以下の極限\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在するとき、\(f\)は\(X\)上で微分可能であると言います。

例(有界な開区間上に定義された関数の微分可能性)
有界な開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( s,t\right) \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。有界な開区間\(\left( s,t\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、その任意の点は\(\left( s,t\right) \)の内点です。したがって、定義域の点\(a\in \left( s,t\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において微分可能であるか否かを検討できます。有界な開区間\(\left( s,t\right) \)上に定義された関数\(f\)が微分可能であることとは、\(\left( s,t\right) \)上の任意の点\(a\)において微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在することを意味します。
例(無限開区間上に定義された関数の微分可能性)
無限開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (s,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。無限開区間\((s,+\infty )\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、その任意の点は\((s,+\infty )\)の内点です。したがって、定義域の点\(a\in (s,+\infty )\)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において微分可能であるか否かを検討できます。無限開区間\((s,+\infty )\)上に定義された関数\(f\)が微分可能であることとは、\((s,+\infty )\)上の任意の点\(a\)において微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在することを意味します。同様に、無限開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,t)\rightarrow \mathbb{R} \)が微分可能であることとは、\((-\infty ,t)\)上の任意の点\(a\)において微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在することを意味します。
例(全区間上に定義された関数の微分可能性)
全区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。全区間\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、その任意の点は\(\mathbb{R} \)の内点です。したがって、定義域の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において微分可能であるか否かを検討できます。全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された関数\(f\)が微分可能であることとは、\(\mathbb{R} \)の任意の点\(a\)において微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在することを意味します。

関数\(f\)の定義域\(X\)が開集合ではない場合、\(X\)の中には\(X\)の内点ではない点、すなわち境界点が存在します。定義域の境界点において関数\(f\)が通常の意味で微分可能であるか否かを検討することはできないため、そこでの微分可能性として通常の微分可能性の代わりに右側微分可能性や左側微分可能性を採用するなどした上で、関数\(f\)が定義域\(X\)上で微分可能であることの定義を修正する必要があります。

具体例として、有界な閉区間\(\left[ s,t\right] \subset \mathbb{R} \)上に定義された関数\(f\)について考えます。定義域の部分集合である有界な開区間\(\left( s,t\right) \)の任意の点は定義域\(\left[ s,t\right] \)の内点であるため、\(\left( s,t\right) \)のそれぞれの点については、\(f\)が通常の意味において微分可能であるか否かを検討できます。一方、定義域の端点\(s,t\)はいずれも\(\left[ s,t\right] \)の内点ではなく境界点であるため、これらの点については、\(f\)が通常の意味において微分可能であるか否かを検討できません。そこで、点\(s,t\)における微分可能性としては、通常の微分可能性の代わりに右側微分可能性や左側微分可能性を採用します。つまり、有界な閉区間\(\left[ s,t\right] \)上に定義された関数\(f\)が定義域\(\left[ s,t\right] \)上で微分可能であることとは、\(f\)が\(\left( s,t\right) \)の任意の点において通常の意味において微分可能であるとともに、点\(s\)において右側微分可能であり、なおかつ点\(t\)において左側微分可能であることを意味するものと定めます。

例(有界な閉区間上に定義された関数の微分可能性)
有界な開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ s,t\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域\(\left[ s,t\right] \)の部分集合である有界な開区間\(\left( s,t\right) \)の任意の点は\(\left[ s,t\right] \)の内点であるため、\(\left( s,t\right) \)の点\(a\)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において微分可能であるか否かを検討できます。一方、定義域\(\left[ s,t\right] \)の左側の端点\(s\)については、\(f\)が\(s\)において右側微分可能であるか否かの検討だけが可能であり、定義域\(\left[ s,t\right] \)の右側の端点\(t\)については、\(f\)が\(t\)において左側微分可能であるか否かの検討だけが可能です。以上を踏まえると、有界な閉区間\(\left[ s,t\right] \)上に定義された関数\(f\)が定義域\(\left[ s,t\right] \)上で微分可能であることとは、\(\left( s,t\right) \)の任意の点\(a\)において微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在するとともに、点\(s\)における右側微分係数\(f^{\prime }\left( s+0\right) \)と点\(t\)における左側微分係数\(f^{\prime }\left( t-0\right) \)がともに存在することを意味します。
例(有界な半開区間上に定義された関数の微分可能性)
有界な半開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (s,t]\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域\((s,t]\)の部分集合である有界な開区間\(\left( s,t\right) \)の任意の点は\((s,t]\)の内点であるため、\(\left( s,t\right) \)の点\(a\)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において微分可能であるか否かを検討できます。一方、定義域\((s,t]\)の右側の端点\(t\)については、\(f\)が\(t\)において左側微分可能であるか否かの検討だけが可能です。以上を踏まえると、有界な半開区間\((s,t]\)上に定義された関数\(f\)が定義域\((s,t]\)上で微分可能であることとは、\(\left( s,t\right) \)の任意の点\(a\)において微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在するとともに、点\(t\)における左側微分係数\(f^{\prime }\left( t-0\right) \)が存在することを意味します。同様に、有界な半開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack s,t)\rightarrow \mathbb{R} \)が微分可能であることとは、\(\left( s,t\right) \)の任意の点\(a\)において微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在するとともに、点\(s\)における右側微分係数\(f^{\prime }\left( s+0\right) \)が存在することを意味します。
例(無限閉区間上に定義された関数の微分可能性)
無限閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack s,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域\([s,+\infty )\)の部分集合である無限開区間\((s,+\infty )\)の任意の点は\([s,+\infty )\)の内点であるため、\((s,+\infty )\)の点\(a\)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において微分可能であるか否かを検討できます。一方、定義域\([s,+\infty )\)の左側の端点\(s\)については、\(f\)が\(s\)において右側微分可能であるか否かの検討だけが可能です。以上を踏まえると、無限閉区間\([s,+\infty )\)上に定義された関数\(f\)が定義域\([s,+\infty )\)上で微分可能であることとは、\((s,+\infty )\)の任意の点\(a\)において微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在するとともに、点\(s\)における右側微分係数\(f^{\prime }\left( s+0\right) \)が存在することを意味します。同様に、無限閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,t]\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\((-\infty ,t]\)上で微分可能であることとは、\((-\infty ,t)\)の任意の点\(a\)において微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在するとともに、点\(t\)における左側微分係数\(f^{\prime }\left( t-0\right) \)が存在することを意味します。

 

導関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域\(X\)の点の中でも\(f\)が微分可能であるような点からなる集合を\(Y\)で表記します。ただし、ここでの微分可能性とは、内点に関しては通常の意味での微分可能性を意味し、境界点に関しては右側微分可能性もしくは左側微分可能性を意味します。このとき、それぞれの点\(x\in Y\)に対して、\(x\)が\(X\)の内点である場合にはそこでの微分係数\(f^{\prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を像として定め、\(x\)が\(X\)の境界点である場合にはそこでの右側微分係数\(f^{\prime }\left( x+0\right) \in \mathbb{R} \)もしくは左側微分係数\(f^{\prime }\left( x-0\right) \in \mathbb{R} \)を像として定める関数\(f^{\prime }:Y\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これを\(f\)の導関数(derivative)と呼びます。通常、関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) ,\quad \frac{df(x)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(x)
\end{equation*}などで表記することもできます。関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めることを、\(f\)を微分する(differentiate)と言います。

一般に、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の点の中に\(f\)が微分可能でない点が存在する場合、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。一方、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において微分可能である場合、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域もまた\(X\)となります。関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)は、もとの関数\(f\)が微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。

例(導関数)
全区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) ^{2}-a^{2}}{h}\quad \because
f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h\right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}であることが示されました。同様の議論は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において成立するため、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域もまた\(\mathbb{R} \)であり、\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を像として定めます。
例(導関数)
全区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) -a}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が存在します。また、\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\left( a+h\right) -\left( -a\right) }{h}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}が存在します。さらに、点\(0\in \mathbb{R} \)においては、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( 0+h\right) -0}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が存在するとともに、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{-\left( a+h\right) -\left( -a\right) }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}もまた存在しますが、両者は異なるため\(f^{\prime }\left( 0\right) \)は存在しません。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x>0\right) \\
-1 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を像として定めます。
例(導関数)
有界な半開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 0,1)\rightarrow \mathbb{R} \)が、それぞれの\(x\in \lbrack 0,1)\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域\(\left[ 0,1\right] \)の部分集合である\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}となります。定義域\([0,1)\)の左側の端点\(0\)については、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( 0+h\right) ^{2}-0^{2}}{h}\quad
\because h>0\text{かつ}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}h \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(0\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は\(f^{\prime }\left( 0+0\right) =0\)となります。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域もまた\([0,1)\)であり、\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x\in \lbrack 0,1)\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\quad x=0\right) \\
2x & \left( if\quad 0<x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を像として定めることが明らかになりました。ここで、関数\(f\)の定義域を\([0,1)\)から\(\mathbb{R} \)へ拡張し、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x} & \left( if\quad x<0\right) \\
x^{2} & \left( if\quad 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\quad x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすものと定めます。興味深いのは、拡張する前の定義域\([0,1)\)において境界点であった点\(0\)が、新たな定義域\(\mathbb{R} \)において内点になるということです。したがって、新たな\(f\)が点\(0\)において微分可能であるためには、右側微分可能性だけではなく通常の意味での微分可能性を満たす必要があります。先と同様の議論により、新たな関数\(f\)もまた点\(0\)における右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 0+0\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left( \frac{1}{0+h}\right) -0^{2}}{h}\quad
\because h<0\text{かつ}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{1}{h^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において左側微分可能ではありません。したがって、新たな関数\(f\)は点\(0\)において通常の意味で微分可能ではないことが明らかになりました。定義域を拡張する前の\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)は点\(0\)において定義されていたのに対し、定義域を拡張した後の\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)は点\(0\)において定義されていないということになります。残りの議論は演習問題として出題しますが、定義域を拡張した後の\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,1\right\} \)であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,1\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
-\frac{1}{x^{2}} & \left( if\quad x<0\right) \\
2x & \left( if\quad 0<x<1\right) \\
1 & \left( if\quad x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を像として定めます。

次回からは微分の基本的な性質について学びます。

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