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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

ラグランジュの平均値の定理

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ラグランジュの平均値の定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義し、この区間上に関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。この関数\(f\)は以下の2つの条件を満たすものとします。

1つ目の性質は、この関数\(f\)が定義域\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるということです。つまり、\(f\)は定義域の内部である有界な開区間\(\left(a,b\right) \)上の任意の点において連続であるとともに、端点\(a\)において右側連続であり、もう一方の端点\(b\)において左側連続です。この場合、最大値・最小値の定理より、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上の点において最大値や最小値をとることが保証されます。

2つ目の性質は、この関数\(f\)は定義域の内部である\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において微分可能であるということです。つまり、導関数\(f^{\prime }:\left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。以上の2つの条件を満たす関数のグラフを以下に図示しました。

図:平均値の定理
図:平均値の定理

変数\(x\)の値が\(a\)から\(b\)まで動くにつれて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から増加もしくは減少しながら最終的に\(f\left( b\right) \)へ至りますが、この全体のプロセスにおける\(f\left( x\right) \)の平均変化率は\(\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}\)であり、これは上図の点\(A,B\)を端点とする線分の傾きに相当します。仮定より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、なおかつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるため、\(f\)のグラフは\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかに途切れることなくつながっています。以上を根拠に、上図の点\(c\)における\(f\)のグラフの接線のように線分\(AB\)と平行な接線、すなわち線分\(AB\)と同じ傾きを持つ接線を引くことができることを保証するのがラグランジュの平均値の定理(Lagrange’s mean value theorem)です。点\(c\)における\(f\)のグラフの接線の傾きは微分係数\(f^{\prime }\left(c\right) \)と一致するため、平均値の定理は\(f^{\prime }\left(c\right) =\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}\)を満たす\(\left( a,b\right) \)上の点\(c\)が存在することを保証します。証明ではロルの定理を利用します。

ラグランジュの平均値の定理は、区間上に定義された関数のグラフの両端の点を結んだ線分(線分\(AB\))と平行な接線(点\(c\)における接線)をグラフ上に引くことができるための条件を明らかにしています。上図から明らかであるように、条件を満たす接線の本数(点\(c\)の個数)は1本であるとは限りません。

命題(ラグランジュの平均値の定理)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるならば、\begin{equation*}\exists c\in \left( a,b\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left(
b\right) -f\left( a\right) }{b-a}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(ラグランジュの平均値の定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるとともに\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であることに加えて、定義域の端点において、\begin{equation}f\left( a\right) =f\left( b\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすものとします。つまり、\(f\)はロルの定理が要求するすべての条件を満たすということです。\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left(a,b\right) \)上で微分可能であるため、ラグランジュの平均値の定理より、\begin{equation*}\exists c\in \left( a,b\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left(
b\right) -f\left( a\right) }{b-a}
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left(1\right) \)より、このとき、\begin{equation*}\exists c\in \left( a,b\right) :f^{\prime }\left( c\right) =0
\end{equation*}と言い換え可能ですが、これはロルの定理の主張に他なりません。つまり、ロルの定理はラグランジュの平均値の定理の特別なケースです。逆に言うと、ラグランジュの平均値の定理はロルの定理の一般化です。

例(ラグランジュの平均値の定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるとともに\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であることに加えて、導関数\(f^{\prime}:\left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( a,b\right) \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。定義域上の異なる2つの点\(x_{1},x_{2}\in \left[ a,b\right] \)を任意に選びます。\(x_{1}<x_{2}\)としても一般性は失われません。\(\left[ x_{1},x_{2}\right]\subset \left[ a,b\right] \)であるため、\(f\)は\(\left[ x_{1},x_{2}\right] \)上で連続であるとともに\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)上で微分可能であるため、ラグランジュの平均値の定理より、\begin{equation*}\exists c\in \left( x_{1},x_{2}\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) }{x_{2}-x_{1}}
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left(1\right) \)より、このとき、\begin{equation*}0=\frac{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) }{x_{2}-x_{1}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x_{1}\right) =f\left( x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left[ a,b\right] \)上の任意の異なる2つの点に関して同様の議論が成立するため、与えられた条件のもとでは、\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上において定数関数になることが明らかになりました。
例(ラグランジュの平均値の定理)
ある地点から車を走らせ、経過時間と走行距離の関係を観察した上で、両者の関係を関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)として整理しました。つまり、計測を始めた時点から\(x\)だけ経過した時点における車の総走行距離が\(f\left(x\right) \)であるということです。\(f\)が\(\left[ 0,1\right] \)上で連続かつ\(\left( 0,1\right) \)上で微分可能であるならば、ラグランジュの平均値の定理より、\begin{equation*}\exists c\in \left( 0,1\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left(
1\right) -f\left( 0\right) }{1-0}
\end{equation*}が成り立ちます。左辺の\(f^{\prime }\left( c\right) \)は時点\(c\)における瞬間速度であり、右辺の\(\frac{f\left( 1\right)-f\left( 0\right) }{1-0}\)は時点\(0\)から時点\(1\)まで走行する際の平均速度です。したがって上の命題は、瞬間速度と平均速度が一致するような時点\(c\)が存在するという主張です。
例(ラグランジュの平均値の定理)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}-3x+5
\end{equation*}を定めるものとします。有界な閉区間\(\left[ 1,4\right] \subset \mathbb{R} \)に注目します。\(f\)は多項式関数であるため\(\left[ 1,4\right] \)上で連続かつ\(\left(1,4\right) \)上で微分可能です。したがってラグランジュの平均値の定理が適用可能であり、\begin{equation*}\exists c\in \left( 1,4\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left(
4\right) -f\left( 1\right) }{4-1}
\end{equation*}が成り立ちます。具体的には、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =2x-3
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left( 4\right) -f\left( 1\right) }{4-1}
&\Rightarrow &2c-3=\frac{\left( 4^{2}-3\cdot 4+5\right) -\left( 1^{2}-3\cdot
1+5\right) }{3} \\
&\Rightarrow &2c-3=2 \\
&\Rightarrow &c=\frac{5}{2}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
c=\frac{5}{2}
\end{equation*}が条件を満たします。

例(ラグランジュの平均値の定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack -4,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack -3,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x+4}
\end{equation*}を定めるものとします。有界な閉区間\(\left[ 0,5\right] \subset \mathbb{R} \)に注目します。\(f\)はベキ関数であるため\(\left[ 0,5\right] \)上で連続かつ\(\left( 0,5\right) \)上で微分可能です。したがってラグランジュの平均値の定理が適用可能であり、\begin{equation*}\exists c\in \left( 0,5\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left(
5\right) -f\left( 0\right) }{5-0}
\end{equation*}が成り立ちます。具体的には、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{2\sqrt{x+4}}
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left( 5\right) -f\left( 0\right) }{5-0}
&\Rightarrow &\frac{1}{2\sqrt{c+4}}=\frac{\sqrt{5+4}-\sqrt{0+4}}{5} \\
&\Rightarrow &\frac{1}{2\sqrt{c+4}}=\frac{1}{5} \\
&\Rightarrow &\sqrt{c+4}=\frac{5}{2} \\
&\Rightarrow &c+4=\frac{25}{4} \\
&\Rightarrow &c=\frac{9}{4}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
c=\frac{9}{4}
\end{equation*}が条件を満たします。

 

ラグランジュの平均値の定理が要求する条件の吟味

ラグランジュの平均値の定理は有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)に対して2つの条件を要求しています。1つ目は\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であること、2つ目は\(f\)が\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であることです。これらの条件はいずれも必須なのでしょうか。順番に考えていきましょう。

微分可能性は連続性を含意するため、\(f\)が\(\left( a,b\right) \)上で微分可能である場合、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上で連続です。ラグランジュの平均値の定理はさらに\(f\)が端点\(a,b\)において連続であること、すなわち点\(a\)において右側連続であるとともに点\(b\)において左側連続であることを要求します。では、\(f\)が点\(a,b\)において連続ではない場合には何らかの問題が生じるでしょうか。

例(ラグランジュの平均値の定理)
以下のグラフを持つ関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。この関数\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上で微分可能かつ連続である一方で、点\(a\)において左側連続ではなく、したがってラグランジュの平均値の定理を利用できません。実際、区間\(\left[ a,b\right] \)の端点を結ぶ線分(青線)と平行な接線を\(f\)のグラフ上に引くことはできません。

図:平均値の定理
図:平均値の定理

関数\(f\)が\(\left( a,b\right) \)上の点において微分可能であるとは限らない場合には何らかの問題が生じるでしょうか。

例(ラグランジュの平均値の定理)
以下のグラフを持つ関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続ですが点\(c\)において微分可能ではなく、したがってラグランジュの平均値の定理を利用できません。実際、区間\(\left[ a,b\right] \)の端点を結ぶ線分(青線)と平行な接線を\(f\)のグラフ上に引くことはできません。

図:平均値の定理
図:平均値の定理

 

演習問題

問題(ラグランジュの平均値の定理)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}-x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\left[ -2,1\right] \)上においてラグランジュの平均値の定理を適用できるでしょうか。適用できる場合には、条件を満たす\(c\)を求めてください。
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問題(ラグランジュの平均値の定理)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x-1}{x-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\left[ 4,5\right] \)上においてラグランジュの平均値の定理を適用できるでしょうか。適用できる場合には、条件を満たす\(c\)を求めてください。
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問題(ラグランジュの平均値の定理)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)のグラフ上の2つの点\(\left( 0,0\right) \)と\(\left( 2,8\right) \)に注目します。この2つの点を結ぶ線分と平行な\(f\)のグラフ上の接線を\(\left( 0,2\right) \)上の点\(c\)に引くことができるでしょうか。議論してください。
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ラグランジュの平均値の定理は様々な形で応用されます。次回は、微分可能な関数の値の挙動を調べる際の判定条件について解説します。

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