ラグランジュの平均値の定理

ラグランジュの平均値の定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義し、この区間上に関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。この関数\(f\)は以下の2つの条件を満たすものとします。

1つ目の性質は、この関数\(f\)が定義域\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるということです。つまり、\(f\)は定義域の内部である有界な開区間\(\left(a,b\right) \)上の任意の点において連続であるとともに、端点\(a\)において右側連続であり、もう一方の端点\(b\)において左側連続です。この場合、最大値・最小値の定理より、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上の点において最大値や最小値をとることが保証されます。

2つ目の性質は、この関数\(f\)は定義域の内部である\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において微分可能であるということです。つまり、導関数\(f^{\prime }:\left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。以上の2つの条件を満たす関数のグラフを以下に図示しました。

変数\(x\)の値が\(a\)から\(b\)まで動くにつれて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から増加もしくは減少しながら最終的に\(f\left( b\right) \)へ至りますが、この全体のプロセスにおける\(f\left( x\right) \)の平均変化率は\(\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}\)であり、これは上図の点\(A,B\)を端点とする線分の傾きに相当します。仮定より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、なおかつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるため、\(f\)のグラフは\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかに途切れることなくつながっています。以上を根拠に、上図の点\(c\)における\(f \)のグラフの接線のように線分\(AB\)と平行な接線、すなわち線分\(AB\)と同じ傾きを持つ接線を引くことができることを保証するのがラグランジュの平均値の定理（Lagrange’s mean value theorem）です。点\(c\)における\(f\)のグラフの接線の傾きは微分係数\(f^{\prime }\left(c\right) \)と一致するため、平均値の定理は\(f^{\prime }\left(c\right) =\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}\)を満たす\(\left( a,b\right) \)上の点\(c\)が存在することを保証します。証明ではロルの定理を利用します。

ラグランジュの平均値の定理は、区間上に定義された関数のグラフの両端の点を結んだ線分（線分\(AB\)）と平行な接線（点\(c\)における接線）をグラフ上に引くことができるための条件を明らかにしています。上図から明らかであるように、条件を満たす接線の本数（点\(c\)の個数）は1本であるとは限りません。

ラグランジュの平均値の定理が要求する条件の吟味

ラグランジュの平均値の定理は有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)に対して2つの条件を要求しています。1つ目は\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であること、2つ目は\(f\)が\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であることです。これらの条件はいずれも必須なのでしょうか。順番に考えます。

微分可能性は連続性を含意するため、\(f\)が\(\left( a,b\right) \)上で微分可能である場合、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上で連続です。ラグランジュの平均値の定理はさらに\(f\)が端点\(a,b\)において連続であること、すなわち点\(a\)において右側連続であるとともに点\(b\)において左側連続であることを要求します。では、\(f\)が点\(a,b\)において連続ではない場合には何らかの問題が生じるでしょうか。

例（ラグランジュの平均値の定理）

以下のグラフを持つ関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。この関数\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上で微分可能かつ連続である一方で、点\(a\)において左側連続ではなく、したがってラグランジュの平均値の定理を利用できません。実際、区間\(\left[ a,b\right] \)の端点を結ぶ線分（青線）と平行な接線を\(f\)のグラフ上に引くことはできません。

関数\(f\)が\(\left( a,b\right) \)上の点において微分可能であるとは限らない場合には何らかの問題が生じるでしょうか。

例（ラグランジュの平均値の定理）

以下のグラフを持つ関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。この関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続ですが点\(c\)において微分可能ではなく、したがってラグランジュの平均値の定理を利用できません。実際、区間\(\left[ a,b\right] \)の端点を結ぶ線分（青線）と平行な接線を\(f\)のグラフ上に引くことはできません。

ラグランジュの平均値の定理とロルの定理の関係

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は}\left[ a,b\right] \text{上で連続} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は}\left( a,b\right) \text{上で微分可能} \\
&&\left( c\right) \ f\left( a\right) =f\left( b\right) \text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}を満たす場合には、ロルの定理より、\begin{equation*}
\exists c\in \left( a,b\right) :f^{\prime }\left( c\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。一方、関数\(f\)が条件\(\left( a\right),\left( b\right) \)を満たす一方で条件\(\left( c\right) \)を満たすとは限らない場合には、ラグランジュの平均値の定理より、\begin{equation*}\exists c\in \left( a,b\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left(
b\right) -f\left( a\right) }{b-a}
\end{equation*}が成り立ちます。

ラグランジュの平均値の定理の証明ではロルの定理を利用しました。つまり、関数\(f\)が条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たす場合、ロルの定理はラグランジュの平均値の定理が成り立つための十分条件です。逆に、関数\(f\)が条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left(c\right) \)を満たす場合、ラグランジュの平均値の定理からロルの定理を導くことができます。実際、\(\left( a\right) ,\left(b\right) \)が成り立つ場合にはラグランジュの平均値の定理より、\begin{equation*}\exists c\in \left( a,b\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left(
b\right) -f\left( a\right) }{b-a}
\end{equation*}が成り立ち、これと\(\left( c\right) \)より、\begin{equation*}\exists c\in \left( a,b\right) :f^{\prime }\left( c\right) =0
\end{equation*}を得ます。以上でロルの定理が導かれました。

結論を整理すると、区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\(f\)が条件\(\left( a\right),\left( b\right) \)を満たす場合には、ロルの定理はラグランジュの平均値の定理が成り立つための十分条件です。つまり、ロルの定理はラグランジュの平均値の定理の特別なケースであり、逆に、ラグランジュの平均値の定理はロルの定理の一般化です。一方、関数\(f\)が条件\(\left(a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)を満たす場合には、ロルの定理とラグランジュの平均値の定理は必要十分になります。

平均値の定理の活用例：定数関数であるための十分条件

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるとともに\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であることに加えて、導関数\(f^{\prime}:\left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は任意の\(x\in \left( a,b\right) \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。

定義域上の異なる2つの点\(x_{1},x_{2}\in \left[ a,b\right] \)を任意に選びます。\(x_{1}<x_{2}\)としても一般性は失われません。\(\left[ x_{1},x_{2}\right] \subset \left[ a,b\right] \)であるため、\(f\)は\(\left[x_{1},x_{2}\right] \)上で連続であるとともに\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)上で微分可能であるため、ラグランジュの平均値の定理より、\begin{equation*}\exists c\in \left( x_{1},x_{2}\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) }{x_{2}-x_{1}}
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left(1\right) \)より、このとき、\begin{equation*}0=\frac{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) }{x_{2}-x_{1}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x_{1}\right) =f\left( x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left[ a,b\right] \)上の任意の異なる2つの点に関して同様の議論が成立するため、与えられた条件のもとでは、\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上において定数関数になることが明らかになりました。

平均値の定理の活用例：瞬間変化率と平均変化率が一致する時点の存在

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるとともに\(\left( a,b\right) \)上で微分可能である場合には、ラグランジュの平均値の定理より、\begin{equation*}\exists c\in \left( a,b\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left(
b\right) -f\left( a\right) }{b-a}
\end{equation*}が成り立ちます。左辺は変数\(x\)の値が\(c\)と一致する時点における\(f\)の瞬間変化率である一方で、右辺は変数\(x\)の値が\(a\)から\(b\)まで変化するプロセス全体における\(f\)の平均変化率です。したがって、ラグランジュの平均値の定理は、瞬間変化率と平均変化率が一致する時点の存在を保証します。

平均値の定理の活用例：リプシッツ関数であることの判定

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。このような関数\(f\)が以下の条件\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right)
\right\vert \leq k\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}を満たす場合には、\(f\)は定義域\(X\)上でリプシッツ関数であると言います。また、上の命題中の不等式\begin{equation*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq k\left\vert
y-x\right\vert
\end{equation*}をリプシッツ不等式と呼び、リプシッツ不等式中の定数\(k\)をリプシッツ定数と呼びます。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるとともに\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であり、さらに、\begin{equation}\exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left( a,b\right) :\left\vert f^{\prime }\left( c\right)
\right\vert \leq k \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つものとします。\(x\not=y\)を満たす\(x,y\in \left[ a,b\right] \)を任意に選びます。\(x<y\)としても一般性は失われません。\(\left[ x,y\right] \subset \left[ a,b\right] \)であるため\(f\)は\(\left[ x,y\right] \)上において連続であるとともに\(\left(x,y\right) \)上で微分可能であるため、ラグランジュの平均値の定理より、\begin{equation*}\exists c\in \left( x,y\right) :f^{\prime }\left( c\right) =\frac{f\left(
y\right) -f\left( x\right) }{y-x}
\end{equation*}が成り立ちます。すると、\begin{equation*}
\left\vert f^{\prime }\left( c\right) \right\vert =\left\vert \frac{f\left(
y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert =\left\vert
f^{\prime }\left( c\right) \right\vert \left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in X,\ \exists c\in \left( x,y\right) :\left\vert f\left(
y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq \left\vert f^{\prime }\left(
c\right) \right\vert \left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\forall x,y\in X:\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert
\leq k\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}を得るため、この場合、\(f\)はリプシッツ関数です。

演習問題