教材一覧
教材一覧
教材検索

1変数関数の微分

線型近似としての微分

目次

次のページ:

微分の様々な表現

Twitterで共有
メールで共有

ランダウの記号

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、関数\(f,g\)はともに点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、関数\(g\)は点\(a\)の周辺の任意の点において非ゼロの値をとるものとします。この場合、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\in X\)において、\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が定義されていることになるため、\(x\rightarrow a\)のときの極限が存在するか検証できます。その結果、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=0
\end{equation*}が成り立つのであれば、点\(a\)において\(f\)\(g\)と比べて無視できる(\(f\) is negligible in comparison to \(g\))といい、そのことを、\begin{equation*}f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right)
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
f\left( x\right) \ll g\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}などで表記します。記号\(o\)をランダウのオー(Landau’s little o)と呼びます。

例(ランダウの記号)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{2}-2x+1 \\
g\left( x\right) &=&x-1
\end{eqnarray*}を定めるものとします。点\(1\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{x^{2}-2x+1}{x-1}\right) \quad \because
f,g\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\left[ \frac{\left( x-1\right) ^{2}}{x-1}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\left( x-1\right) \quad \because x\not=1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。一方、点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}-2x+1}{x-1}\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{\left( x-1\right) ^{2}}{x-1}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( x-1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
0\right)
\end{equation*}は成り立ちません。また、点\(1\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{g\left( x\right) }{f\left( x\right) }
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{x-1}{x^{2}-2x+1}\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\left[ \frac{x-1}{\left( x-1\right) ^{2}}\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x-1} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
g\left( x\right) =o\left( f\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
1\right)
\end{equation*}は成り立ちません。

ランダウの記号の厳密な定義は先の通りですが、これは何を意味するのでしょうか。2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in X\)において\(f\)が\(g\)と比べて無視できるならば、すなわち、\begin{equation*}f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、定義より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=0
\end{equation*}が成り立ちます。関数の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert \frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現できます。さらにここから、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) \right\vert
<\varepsilon \cdot \left\vert g\left( x\right) \right\vert \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。これは何を意味しているのでしょうか。ゼロに限りなく近い正の実数\(\varepsilon \)を選んだ上で\(\varepsilon\cdot \left\vert g\left( x\right) \right\vert \)をとると、これは\(\left\vert g\left( x\right)\right\vert \)よりも大幅に小さい値になります。それにも関わらず\(\left( 1\right) \)より\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \cdot\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)が成り立つのですから、点\(a\)に十分近い任意の\(x\)において\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)は\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)よりも大幅に小さい値になります。\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合にも同様の議論が成り立つため、結局、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)の大きさは\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)の大きさと比べると無視できるほど小さくなります。結論をまとめると、\begin{equation*}f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right)
\end{equation*}が成り立つこととは、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において、\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)の大きさが\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)の大きさと比べると無視できるほど小さいことを意味します。

 

ランダウの記号に関する注意

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in X\)において\(f\)は\(g\)と比べて無視できるものとします。つまり、\begin{equation}f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。ただし、点\(a\)において関数\(g\)と比べて無視できる関数は一意的であるとは限らず、\(f\)とは異なる関数\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関しても、\begin{equation}h\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ可能性があります。\(\left( 1\right) \)と\(\left(2\right) \)がともに成り立つ場合、\(f\)と\(h\)は等しい関数であるとは限りません。ランダウの記号が関与する場合、等号\(=\)は通常の相等関係とは異なる意味が付与されます。つまり、\(\left( 1\right) \)が成り立つことは、「点\(a\)において関数\(g\)と比べて無視できる関数の具体例の1つが関数\(f\)である」ことを意味します。同様に、\(\left( 2\right) \)が成り立つことは、「点\(a\)において関数\(g\)と比べて無視できる関数の具体例の1つが関数\(h\)である」ことを意味します。

例(ランダウの記号)
\(\mathbb{R} \)上に定義された以下の3つの関数\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
x^{2} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
x^{3} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}について考えます。点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{3}}{x}\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}x^{2}=0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}}{x}\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}x=0
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、以上のことは、\begin{eqnarray*}
x^{3} &=&o\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right) \\
x^{2} &=&o\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right)
\end{eqnarray*}であることを意味します。その一方で、これは\(x^{3}\)と\(x^{2}\)が等しい関数であることを意味しません。

定義域を共有する3つの関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in X\)において関数\(f-g\)は関数\(h\)と比べて無視できるものとします。つまり、\begin{equation}f\left( x\right) -g\left( x\right) =o\left( h\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。ここで、\(\left(1\right) \)が成り立つことを、\begin{equation}f\left( x\right) =g\left( x\right) +o\left( h\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と表記してもよいものと定めます。つまり、\(\left( 2\right) \)と表記したとき、それは\(\left( 1\right) \)が成り立つことを意味するものと定めるということです。

例(ランダウの記号)
\(\mathbb{R} \)上に定義された以下の3つの関数\begin{eqnarray*}x &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
x^{2} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
x^{3} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}について考えます。点\(0\)において、\begin{equation}x^{3}=x^{2}+o\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は成り立つでしょうか。先の議論より、これは、\begin{equation*}
x^{3}-x^{2}=o\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right)
\end{equation*}が成り立つという主張に相当します。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{3}-x^{2}}{x} &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
x^{2}-x\right) \quad \because x\not=0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが明らかになりました。

 

無限小の比較

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。このとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つのであれば、\(f\)は点\(a\)において無限小(infinitesimal)であると言います。

例(無限小)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)において、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}=0
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において無限小です。一方、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 1}x^{2}=1
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(1\)において無限小ではありません。

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに点\(a\in X\)において無限小であるとともに、点\(a\)において\(f\)は\(g\)と比べて無視できるのであれば、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0 \\
&&\left( c\right) \ f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、点\(a\)において\(f\)は\(g\)よりも高位の無限小(infinitesimal of higher order)であると言います。

例(高位の無限小)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{2} \\
g\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}を定めるものとします。点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}=0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x=0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)と\(g\)はともに点\(0\)において無限小です。さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}}{x}\right) =\lim_{x\rightarrow 0}x=0
\end{equation*}であるため、点\(0\)において\(f\)は\(g\)よりも高位の無限小です。一方、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g\left( x\right) }{f\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x}{x^{2}}\right) =\lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty
\end{equation*}であるため、点\(0\)において\(g\)は\(f\)よりも高位の無限小ではありません。

高位の無限小という概念の厳密な定義は先の通りですが、これは何を意味するのでしょうか。定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in X\)において\(f\)が\(g\)よりも高位の無限小であるものとします。定義より、\(f\)と\(g\)はともに\(a\)において無限小であるため、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)はともに\(0\)に限りなく近い値になります。では、\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)のどちらがより\(0\)に近いのでしょうか。点\(a\)において\(f\)は\(g\)と比べて無視できるため、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において\(\left\vert f\left(x\right) \right\vert \)の大きさは\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)の大きさと比べると無視できるほど小さく、したがって\(f\left( x\right) \)のほうが\(g\left(x\right) \)よりもずっと\(0\)の近くにあります。結論をまとめると、点\(a\)において\(f\)が\(g\)よりも高位の無限小であることとは、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)の値はともに\(0\)に限りなく近いだけでなく、\(f\left(x\right) \)の大きさは\(g\left( x\right) \)の大きさと比べると無視できるほど小さいことを意味します。

例(高位の無限小)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{2} \\
g\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}を定めるものとします。先に確認したように、点\(0\)において\(f\)は\(g\)よりも高位の無限小です。したがって、先の考察によると、変数\(x\)の値を\(0\)に近づけたときに\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)はともに\(0\)へ限りなく近づくだけでなく、点\(0\)に限りなく近い任意の\(x\)において\(f\left(x\right) \)の大きさは\(g\left( x\right) \)の大きさと比べると無視できるほど小さくなるはずです。このことを数値例から確認しましょう。

$$\begin{array}{ccc}
x & f\left( x\right) =x^{2} & g\left( x\right) =x \\ \hline
1 & 1 & 1 \\
0.1 & 0.01 & 0.1 \\
0.01 & 0.0001 & 0.01 \\
\vdots & \vdots & \vdots \end{array}$$

上の表より、\(x=1\)の場合には\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)は一致しますが、\(x\)を\(0\)に近づけて\(x=0.1\)とした場合、\(f\left( x\right) \)の値は\(g\left(x\right) \)の値の\(10\)分の\(1\)になります。さらに\(x\)を\(0\)に近づけて\(x=0.01\)とした場合、\(f\left( x\right) \)の値は\(g\left(x\right) \)の値の\(100\)分の\(1\)になり、\(f\left( x\right) \)は\(g\left( x\right) \)に対して相対的により小さくなります。\(x\)をさらに\(0\)に近づけると\(f\left( x\right) \)は\(g\left( x\right) \)に対して相対的にますます小さくなります。同様の議論をいくらでも繰り返すことができますが、結局、\(x\)を点\(0\)に限りなく近づけたとき、\(f\left( x\right) \)の大きさは\(g\left( x\right) \)の大きさと比べると無視できるほど小さくなります。

 

線型近似としての微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において微分可能であるものとします。つまり、点\(a\)における微分係数に相当する有限な実数\begin{equation}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \quad \cdots (1)
\end{equation}が存在するということです。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h}{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}-\lim_{h\rightarrow 0}f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&f^{\prime }\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h}{h}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。また、関数\(f\)は微分可能な点\(a\)において連続であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\left[ f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h\right] &=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) \right] -\lim_{h\rightarrow 0}\left[ f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h\right] \\
&=&f\left( a\right) -f\left( a\right) -0\quad \because f\text{は点}a\text{において連続} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow 0}\left[ f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h\right] =0 \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。さらに、\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow 0}h=0 \quad \cdots (4)
\end{equation}は明らかに成り立ちます。\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)より、変数\(h\)に関する関数\begin{equation*}f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot h
\end{equation*}は、やはり変数\(h\)に関する関数\begin{equation*}h
\end{equation*}よりも点\(0\)において高位の無限小であること、すなわち、\begin{equation}f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot
h=o\left( h\right) \quad \left( h\rightarrow 0\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。

結論を整理すると、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、\(\left( 5\right) \)を満たす有限な実数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在するということです。逆に、\(\left( 5\right) \)を満たす有限な実数\(f^{\prime}\left( a\right) \)が存在する場合には\(f\)が点\(a\)において微分可能であることも示されるため(演習問題)、微分可能性を以下のように特徴づけることができます。

命題(線型近似としての微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域上の点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot
h=o\left( h\right) \quad \left( h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}を満たす有限な実数\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \)が存在することは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

上の命題において\(x=a+h\)とおくことにより以下を得ます。

命題(線型近似としての微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域上の点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x-a\right) =o\left( x-a\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}を満たす有限な実数\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \)が存在することは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件である。

以上の命題はどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合、上の命題より、変数\(x\)に関する関数\begin{equation*}f\left( x\right) -\left[ f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right) \right] \end{equation*}は、やはり変数\(x\)に関する関数\begin{equation*}x-a
\end{equation*}よりも点\(a\)において高位の無限小になります。つまり、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において\(f\left( x\right) -\left[ f\left( a\right)+f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) \right] \)と\(x-a\)はともに\(0\)に限りなく近づくだけでなく、\(f\left( x\right) -\left[ f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot\left( x-a\right) \right] \)の大きさは\(x-a\)の大きさと比べると無視できるほど小さくなります。言い換えると、変数\(x\)を点\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right)+f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) \)の誤差は\(0\)に限りなく近づくだけでなく、その誤差の大きさは\(x\)と\(a\)の誤差と比べても無視できるほど小さくなるということです。したがって、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。つまり、関数\(f\)を点\(a\)において微分することとは、点\(a\)の周辺において\(f\)を変数\(x\)に関する1次式\begin{equation*}f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right)
\end{equation*}で近似することを意味します。この近似式を\(a\)における\(f\)\(1\)次の近似多項式(1st degree approximating polynomial of \(f\) at \(a\))と呼びます。近似多項式のグラフは、\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x-a\right) \right\}
\end{equation*}となりますが、これは点\(\left( a,f\left( a\right) \right) \)を通過する傾きが\(f^{\prime }\left( a\right) \)の直線です。この直線を\(f\)のグラフの点\(a\)における接線(tangent line)と呼びます(下図)。

図:微分の解釈
図:微分の解釈

一方、関数\(f\)のグラフは、\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。繰り返しになりますが、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}という近似式が成り立つため、点\(a\)の周辺において\(f\)のグラフは点\(a\)における接線と近似的に等しくなります。

例(関数の値の近似値)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めます。したがって、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}f\left(