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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

線型近似としての微分

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ランダウの記号

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられているものとします。ただし、\(f\)と\(g\)はともに\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているとともに、\(g\)は\(a\)に十分近い任意の点\(x\in X\)において非ゼロの値をとるものとします。このとき、\(a\)に十分近い任意の\(x\in X\)において、\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が定義可能です。その上で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=0
\end{equation*}という関係が成り立つのであれば、\(a\)において\(f\)は\(g\)と比べて無視できるといい、このことを、\begin{equation*}f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right)
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
f\left( x\right) \ll g\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}などで表記します。なお、記号\(o\)をランダウのオー(Landau’s little o)と呼びます。

例(ランダウの記号)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{2}-2x+1 \\
g\left( x\right) &=&x-1
\end{eqnarray*}を定めるものとします。点\(1\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{x^{2}-2x+1}{x-1}\right) =0
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
1\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一方、点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}-2x+1}{x-1}\right) =-1
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
0\right)
\end{equation*}という関係は成り立ちません。また、点\(1\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{g\left( x\right) }{f\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{x-1}{x^{2}-2x+1}\right) =+\infty
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
g\left( x\right) =o\left( f\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
1\right)
\end{equation*}という関係は成り立ちません。

ランダウの記号の厳密な定義は先の通りですが、直感的には、これは何を意味するのでしょうか。2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in X\)において\(f\)が\(g\)と比べて無視できるならば、すなわち、\begin{equation*}f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、定義より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。関数の極限の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert \frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現できます。さらにここから、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) \right\vert
<\varepsilon \cdot \left\vert g\left( x\right) \right\vert \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。これは何を意味しているのでしょうか。限りなく小さい正の実数\(\varepsilon \)を任意に選んだ上で\(\varepsilon \cdot \left\vert g\left( x\right) \right\vert \)をとると、これは\(\left\vert g\left( x\right)\right\vert \)よりも小さい値になります。それにも関わらず\(\left( 1\right) \)より\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \cdot \left\vert g\left( x\right) \right\vert \)が成り立つのですから、\(a\)に十分近い任意の\(x\)において\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)は\(\left\vert g\left(x\right) \right\vert \)よりもかなり小さい値になります。\(\varepsilon \)をどれほど小さくした場合においても同様の議論が成り立つため、結局、\(a\)に十分近い任意の\(x\)において\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)の大きさは\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)の大きさと比べると無視できるほど小さくなります。結論をまとめると、\begin{equation*}f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right)
\end{equation*}が成り立つこととは、\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において、\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)の大きさが\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)の大きさと比べると無視できるほど小さいことを意味します。

 

ランダウの記号に関する注意

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in X\)において\(f\)は\(g\)と比べて無視できるものとします。つまり、\begin{equation}f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。ただし、点\(a\)において関数\(g\)と比べて無視できる関数は一意的であるとは限らず、\(f\)とは異なる関数\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関しても、\begin{equation}h\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ可能性があります。\(\left( 1\right) \)と\(\left(2\right) \)がともに成り立つ場合、\(f\)と\(h\)は等しい関数であるとは限りません。ランダウの記号が関与する場合、等号\(=\)は通常の相等関係とは異なる意味が付与されます。つまり、\(\left( 1\right) \)が成り立つことは、「点\(a\)において関数\(g\)と比べて無視できる関数の具体例の1つが関数\(f\)である」ことを意味します。同様に、\(\left( 2\right) \)が成り立つことは、「点\(a\)において関数\(g\)と比べて無視できる関数の具体例の1つが関数\(h\)である」ことを意味します。

例(ランダウの記号)
\(\mathbb{R} \)上に定義された関数\(x,x^{2},x^{3}\)などについて考えます。点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{3}}{x}\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}x^{2}=0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}}{x}\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}x=0
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、このことは、\begin{eqnarray*}
x^{3} &=&o\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right) \\
x^{2} &=&o\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right)
\end{eqnarray*}などと表記可能です。

定義域を共有する3つの関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in X\)において関数\(f-g\)は関数\(h\)と比べて無視できるものとします。つまり、\begin{equation}f\left( x\right) -g\left( x\right) =o\left( h\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。ここで、\(\left(1\right) \)が成り立つことを、\begin{equation}f\left( x\right) =g\left( x\right) +o\left( h\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と表記してもよいものと定めます。つまり、\(\left( 2\right) \)と表記したとき、それは\(\left( 1\right) \)が成り立つことを意味するものと定めるということです。

例(ランダウの記号)
\(\mathbb{R} \)上に定義された関数\(x,x^{2},x^{3}\)などについて考えます。点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}x^{3}=x^{2}+o\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right)
\end{equation*}という関係は成り立つでしょうか。定義よりこれは、\begin{equation*}
x^{3}-x^{2}=o\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right)
\end{equation*}が成り立つという主張に相当します。実際、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{3}-x^{2}}{x}=0
\end{equation*}が成り立つため、もとの主張が成り立つことが明らかになりました。

 

無限小の比較

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺にある任意の点において定義されているものとします。このとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つのであれば、\(f\)は\(a\)において無限小(infinitesimal)であると言います。

例(無限小)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}=0
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(0 \)において無限小です。一方、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 1}x^{2}=1
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(1 \)において無限小ではありません。

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに点\(a\in X\)において無限小であるとともに、\(a\)において\(f\)は\(g\)と比べて無視できるのであれば、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0 \\
&&\left( c\right) \ f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(a\)において\(f\)は\(g\)よりも高位の無限小(infinitesimal of higher order)であると言います。

例(高位の無限小)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{2} \\
g\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}=0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x=0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)と\(g \)はともに点\(0\)において無限小です。さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}}{x}\right) =\lim_{x\rightarrow 0}x=0
\end{equation*}となるため、\(0\)において\(f\)は\(g\)よりも高位の無限小であることが示されました。逆に、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g\left( x\right) }{f\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x}{x^{2}}\right) =\lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty
\end{equation*}となるため、\(0\)において\(g\)は\(f\)よりも高位の無限小ではありません。

高位の無限小という概念の厳密な定義は先の通りですが、直感的には、これは何を意味するのでしょうか。定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in X\)において\(f\)が\(g\)よりも高位の無限小であるものとします。定義より、\(f\)と\(g\)はともに\(a\)において無限小であるため、\(a\)に十分近い任意の\(x\)において\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)はともに\(0\)に限りなく近い値になります。では、\(f\left(x\right) \)と\(g\left( x\right) \)のどちらがより\(0\)に近いのでしょうか。\(a\)において\(f\)は\(g\)と比べて無視できるため、\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)の大きさは\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)の大きさと比べると無視できるほど小さくなるため、\(f\left( x\right) \)のほうが\(g\left( x\right) \)よりもずっと\(0\)の近くにあります。結論をまとめると、点\(a\)において関数\(f\)が関数\(g \)よりも高位の無限小であることとは、変数\(x\)を点\(a\)に限りなく近づけたときに\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)はともに\(0\)へ限りなく近づくだけでなく、\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において\(f\left( x\right) \)の大きさは\(g\left( x\right) \)の大きさと比べると無視できるほど小さいことを意味します。

例(高位の無限小)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{2} \\
g\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}を定めるものとします。先に確認したように、点\(0\in \mathbb{R} \)において\(f\)は\(g\)よりも高位の無限小です。したがって、先の考察によると、変数\(x\)の値を\(0\)に近づけたときに\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)はともに\(0\)へ限りなく近づくだけでなく、\(0\)に限りなく近い任意の\(x\)において\(f\left( x\right) \)の大きさは\(g\left( x\right) \)の大きさと比べると無視できるほど小さくなるはずです。このことを具体的な数値例から確認しましょう。

$$\begin{array}{ccc}
x & f\left( x\right) =x^{2} & g\left( x\right) =x \\ \hline
1 & 1 & 1 \\
0.1 & 0.01 & 0.1 \\
0.01 & 0.0001 & 0.01 \\
\vdots & \vdots & \vdots \end{array}$$

上の表より、\(x=1\)の場合には\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)は一致しますが、\(x\)を\(0\)に近づけて\(x=0.1\)とした場合、\(f\left( x\right) \)の値は\(g\left(x\right) \)の値の\(\frac{1}{10}\)になります。さらに\(x\)を\(0\)に近づけて\(x=0.01\)とした場合、\(f\left( x\right) \)の値は\(g\left( x\right) \)の値の\(\frac{1}{100}\)になり、\(f\left( x\right) \)の\(g\left( x\right) \)に対する相対的な大きさはより小さくなります。\(x\)をさらに\(0\)に近づけると\(f\left( x\right) \)の\(g\left( x\right) \)に対する相対的な大きさはますます小さくなります。したがって、\(x\)を\(0\)に限りなく近づけたとき、\(f\left( x\right) \)の大きさは\(g\left( x\right) \)の大きさと比べると無視できるほど小さくなります。

 

線型近似としての微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において微分可能であることとは、\begin{equation}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=c
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす有限な実数\(c\in \mathbb{R} \)が存在することを意味するとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =c
\end{equation*}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -c\cdot h\right] =0 \\
&&\lim_{h\rightarrow 0}h=0
\end{eqnarray*}がともに成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -c\cdot h}{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{c\cdot h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}-\lim_{h\rightarrow 0}c \\
&=&c-c\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。つまり、関数\(f\)が点\(a \)において微分可能である場合には、変数\(h\)に関する関数\(f\left( a+h\right) -f\left(a\right) -c\cdot h\)は恒等関数\(h\)よりも点\(0\)において高位の無限小になります。これを定式化すると、\begin{equation*}f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -c\cdot h=o\left( h\right) \quad \left(
h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}となります。同じことですが、これを、\begin{equation*}
f\left( a+h\right) =f\left( a\right) +c\cdot h+o\left( h\right) \quad \left(
h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}と表現することもできます。逆の議論も成立するため(演習問題にします)、微分可能性を以下のように表現できることが明らかになりました。

命題(線型近似としての微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( a+h\right) =f\left( a\right) +c\cdot h+o\left( h\right) \quad \left(
h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}を満たす有限な実数\(c\in \mathbb{R} \)が存在することは、\(f\)が\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であり、さらにこのとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =c
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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この命題はどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合、上の命題より、\begin{equation*}f\left( a+h\right) -\left[ f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot h\right] =o\left( h\right) \quad \left( h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。さらに、\begin{eqnarray*}
&&\lim_{h\rightarrow 0}\left\{ f\left( a+h\right) -\left[ f\left( a\right)
+f^{\prime }\left( a\right) \cdot h\right] \right\} =0 \\
&&\lim_{h\rightarrow 0}h=0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(f\left( a+h\right) \)と変数\(h\)に関する1次式\(f\left( a\right)+f^{\prime }\left( a\right) \cdot h\)の誤差を与える関数\begin{equation*}f\left( a+h\right) -\left[ f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot h\right] \end{equation*}は、恒等関数\begin{equation*}
h
\end{equation*}よりも点\(0\)において高位の無限小であるということです。言い換えると、変数\(h\)の値を\(0\)に限りなく近づけたとき、\(f\left( a+h\right) \)と\(f\left(a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot h\)の誤差と\(h\)はともに\(0\)へ限りなく近づくだけでなく、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(f\left( a+h\right) \)と\(f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot h\)の誤差は\(h\)と比べると無視できるほど小さくなるということです。\(h\)を\(0\)へ限りなく近づける場合、すなわち\(h\rightarrow 0\)について考える場合には\(h\)は限りなく小さくなりますが、上の議論より、\(f\left(a+h\right) \)と\(f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot h\)の誤差はそれとは比べものにならないほど小さくなります。\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において、\(f\left( a+h\right) \)の値は変数\(h\)に関する1次式\(f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot h\)が与える値と近似的に等しくなるということです。以上の議論をまとめると、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、\(0\)に十分近い任意の\(h\)において、\begin{equation*}f\left( a+h\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot h
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。言い換えると、関数\(f\)を点\(a\)で微分することとは、\(a\)の周辺において\(f\)を変数\(h\)に関する1次式\begin{equation*}f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot h
\end{equation*}で近似することを意味します。

ちなみに、\(x=a+h\)とおけば\(h=x-a\)が成り立つため、先の命題より、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であることとは、\begin{equation*}f\left( x\right) =f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x-a\right) +o\left( x-a\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。したがって、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、\(a\)に十分近い任意の\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。言い換えると、関数\(f\)を点\(a\)で微分することとは、\(a\)の周辺において\(f\)を変数\(x\)に関する1次式\begin{equation*}f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right)
\end{equation*}で近似することを意味します。言い換えると、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であるとき、\(a\)の周辺において\(f\)のグラフは点\(\left(a,f\left( a\right) \right) \)を通過し傾きが\(f^{\prime }\left( a\right) \)の直線と近似的に等しくなるということです。そこでこの直線を\(f\)のグラフの点\(a\)における接線(tangent line)と呼びます(下図)。

図:微分の解釈
図:微分の解釈

 

演習問題

問題(ランダウの記号)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。このとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0\Leftrightarrow f\left( x\right)
=o\left( 1\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。ただし、\(o\)はランダウの記号です。
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問題(ランダウの記号)
2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left( x-1\right) ^{3} \\
g\left( x\right) &=&\left( x-1\right) ^{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。このとき以下の主張が成り立つか否か理由とともに答えてください。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow 1\right) \\
&&\left( b\right) \ g\left( x\right) =o\left( f\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow 1\right)
\end{eqnarray*}
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