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1変数関数の微分

線型近似としての関数の微分(関数のグラフの接線)

目次

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ランダウの記号

定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられている状況において、定義域上の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、関数\(f,g\)はともに点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、関数\(g\)は点\(a\)の周辺の任意の点において非ゼロの値をとるものとします。この場合、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\in X\)において、\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が定義されていることになるため、\(x\rightarrow a\)の場合の極限が存在するか検証できます。その結果、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=0
\end{equation*}が成り立つのであれば、\(a\)において\(f\)\(g\)と比べて無視できる(\(f\) is negligible in comparison to \(g\))といい、そのことを、\begin{equation*}f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right)
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
f\left( x\right) \ll g\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}などで表記します。記号\(o\)をランダウのオー(Landau’s little o)と呼びます。

例(ランダウの記号)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{2}-2x+1 \\
g\left( x\right) &=&x-1
\end{eqnarray*}を定めるものとします。点\(1\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-2x+1}{x-1}\quad \because f,g\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\left( x-1\right) ^{2}}{x-1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\left( x-1\right) \quad \because x\not=1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。一方、点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}-2x+1}{x-1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left( x-1\right) ^{2}}{x-1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( x-1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
0\right)
\end{equation*}は成り立ちません。また、点\(1\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}\frac{g\left( x\right) }{f\left( x\right) }
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^{2}-2x+1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{\left( x-1\right) ^{2}} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x-1} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
g\left( x\right) =o\left( f\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
1\right)
\end{equation*}は成り立ちません。

ランダウの記号の厳密な定義は先の通りですが、これは何を意味するのでしょうか。2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in X\)において\(f\)が\(g\)と比べて無視できるならば、すなわち、\begin{equation*}f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、定義より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=0
\end{equation*}が成り立ちます。関数の極限の定義より、これを、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert \frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現できます。さらにここから、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) \right\vert
<\varepsilon \cdot \left\vert g\left( x\right) \right\vert \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が得られます。これは何を意味するのでしょうか。

ゼロに限りなく近い正の実数\(\varepsilon \)を選んだ上で\(\varepsilon \cdot \left\vert g\left( x\right)\right\vert \)をとると、これは\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)よりも大幅に小さい値になります。それにも関わらず\(\left( 1\right) \)より\(\left\vert f\left(x\right) \right\vert <\varepsilon \cdot \left\vert g\left( x\right) \right\vert \)が成り立つため、点\(a\)に十分近い任意の点\(x\)において\(\left\vert f\left( x\right)\right\vert \)は\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)よりも大幅に小さい値になります。\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合にも同様の議論が成り立つため、結局、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において\(\left\vert f\left(x\right) \right\vert \)の大きさは\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)の大きさと比べると無視できるほど小さくなります。

結論を整理すると、関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および点\(a\in X\)が与えられたとき、点\(a\)において\(f\)が\(g\)と比べて無視できること、すなわち、\begin{equation*}f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において、\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)の大きさが\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)の大きさと比べると無視できるほど小さいことを意味します。

 

ランダウの記号に関する注意

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in X\)において\(f\)は\(g\)と比べて無視できるものとします。つまり、\begin{equation}f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。ただし、点\(a\)において関数\(g\)と比べて無視できる関数は一意的であるとは限らず、\(f\)とは異なる関数\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関しても、\begin{equation}h\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad \left( x\rightarrow
a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ可能性があります。つまり、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)がともに成り立つ場合、\(f\)と\(h\)は同一の関数であるとは限りません。ランダウの記号が関与する場合、等号\(=\)には通常の相等関係とは異なる意味が付与されます。つまり、\(\left(1\right) \)が成り立つことは、「点\(a\)において関数\(g\)と比べて無視できる関数の具体例の1つが関数\(f\)である」ことを意味します。同様に、\(\left( 2\right) \)が成り立つことは、「点\(a\)において関数\(g\)と比べて無視できる関数の具体例の1つが関数\(h\)である」ことを意味します。

例(ランダウの記号)
以下の3つの関数\begin{eqnarray*}
x &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
x^{2} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
x^{3} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}について考えます。点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{3}}{x}\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}x^{2}=0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}}{x}\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}x=0
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、以上のことは、\begin{eqnarray*}
x^{3} &=&o\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right) \\
x^{2} &=&o\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right)
\end{eqnarray*}であることを意味します。その一方で、これは\(x^{3}\)と\(x^{2}\)が等しい関数であることを意味しません。

定義域を共有する3つの関数\(f,g,h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in X\)において関数\(f-g\)は関数\(h\)と比べて無視できるものとします。つまり、\begin{equation}f\left( x\right) -g\left( x\right) =o\left( h\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。ここで、\(\left(1\right) \)が成り立つことを、\begin{equation}f\left( x\right) =g\left( x\right) +o\left( h\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と表記してもよいものと定めます。つまり、\(\left( 2\right) \)と表記したとき、それは\(\left( 1\right) \)が成り立つことを意味するものと定めるということです。

例(ランダウの記号)
以下の3つの関数\begin{eqnarray*}
x &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
x^{2} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
x^{3} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}について考えます。点\(0\)において、\begin{equation}x^{3}=x^{2}+o\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は成り立つでしょうか。先の議論より、これは、\begin{equation*}
x^{3}-x^{2}=o\left( x\right) \quad \left( x\rightarrow 0\right)
\end{equation*}が成り立つという主張に相当します。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{3}-x^{2}}{x} &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
x^{2}-x\right) \quad \because x\not=0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが明らかになりました。

 

無限小の比較

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。このとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つのであれば、\(f\)は点\(a\)において無限小(infinitesimal)であると言います。

例(無限小)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)において、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}=0
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において無限小です。一方、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 1}x^{2}=1
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(1\)において無限小ではありません。

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに点\(a\in X\)において無限小であるとともに、点\(a\)において\(f\)は\(g\)と比べて無視できるのであれば、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0 \\
&&\left( c\right) \ f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、点\(a\)において\(f\)は\(g\)よりも高位の無限小(infinitesimal of higher order)であると言います。

例(高位の無限小)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{2} \\
g\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}を定めるものとします。点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}=0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x=0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)と\(g\)はともに点\(0\)において無限小です。さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}}{x}\right) =\lim_{x\rightarrow 0}x=0
\end{equation*}であるため、点\(0\)において\(f\)は\(g\)よりも高位の無限小です。他方で、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g\left( x\right) }{f\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x}{x^{2}}\right) =\lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty
\end{equation*}であるため、点\(0\)において\(g\)は\(f\)よりも高位の無限小ではありません。

高位の無限小という概念の厳密な定義は先の通りですが、これは何を意味するのでしょうか。

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in X\)において\(f\)が\(g\)よりも高位の無限小であるものとします。定義より、\(f\)と\(g\)はともに\(a\)において無限小であるため、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)はともに\(0\)に限りなく近い値になります。では、\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)のどちらがより\(0\)に近いのでしょうか。点\(a\)において\(f\)は\(g\)と比べて無視できるため、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)の大きさは\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)の大きさと比べると無視できるほど小さく、したがって\(f\left( x\right) \)のほうが\(g\left( x\right) \)よりもずっと\(0\)の近くにあります。

結論を整理すると、関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および点\(a\in X\)が与えられたとき、点\(a\)において\(f\)が\(g\)よりも高位の無限小であること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0 \\
&&\left( c\right) \ f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow a\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことは、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)の値はともに\(0\)に限りなく近く、なおかつ、そのような任意の点\(x\)において\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)の大きさが\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)の大きさと比べると無視できるほど小さいことを意味します。

例(高位の無限小)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{2} \\
g\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}を定めるものとします。先に確認したように、点\(0\)において\(f\)は\(g\)よりも高位の無限小です。したがって、先の考察によると、変数\(x\)の値を\(0\)に近づけた場合に\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)はともに\(0\)へ限りなく近づくだけでなく、点\(0\)に限りなく近い任意の点\(x\)において\(\left\vert f\left( x\right) \right\vert \)の大きさは\(\left\vert g\left( x\right) \right\vert \)の大きさと比べると無視できるほど小さくなるはずです。このことを数値例から確認しましょう。

$$\begin{array}{ccc}
x & f\left( x\right) =x^{2} & g\left( x\right) =x \\ \hline
1 & 1 & 1 \\
0.1 & 0.01 & 0.1 \\
0.01 & 0.0001 & 0.01 \\
\vdots & \vdots & \vdots \end{array}$$

上の表より、\(x=1\)の場合には\(f\left( x\right) \)と\(g\left( x\right) \)は一致しますが、\(x\)を\(0\)に近づけて\(x=0.1\)とした場合、\(f\left( x\right) \)の値は\(g\left(x\right) \)の値の\(10\)分の\(1\)になります。さらに\(x\)を\(0\)に近づけて\(x=0.01\)とした場合、\(f\left( x\right) \)の値は\(g\left(x\right) \)の値の\(100\)分の\(1\)になり、\(f\left( x\right) \)は\(g\left( x\right) \)に対して相対的により小さくなります。\(x\)をさらに\(0\)に近づけると\(f\left( x\right) \)は\(g\left( x\right) \)に対して相対的にますます小さくなります。同様の議論をいくらでも繰り返すことができますが、結局、\(x\)を点\(0\)に限りなく近づけたとき、\(f\left( x\right) \)の大きさは\(g\left( x\right) \)の大きさと比べると無視できるほど小さくなります。

 

線型近似としての微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において微分可能であるものとします。つまり、点\(a\)における微分係数\begin{equation}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}が有限な実数として定まるということです。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h}{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}-\lim_{h\rightarrow 0}f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&f^{\prime }\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h}{h}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。また、後ほど示すように、関数は微分可能な点において連続であるため\(f\)は点\(a\)において連続であり、したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\left[ f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h\right] &=&\lim_{h\rightarrow 0}f\left( a+h\right)
-\lim_{h\rightarrow 0}f\left( a\right) -\lim_{h\rightarrow 0}f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h \\
&=&f\left( a\right) -f\left( a\right) -0\quad \because f\text{は点}a\text{において連続} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow 0}\left[ f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot h\right] =0 \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。さらに、\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow 0}h=0 \quad \cdots (4)
\end{equation}が明らかに成り立ちます。\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)より、変数\(h\)に関する関数\begin{equation*}f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot h
\end{equation*}は、やはり変数\(h\)に関する関数\begin{equation*}h
\end{equation*}よりも点\(0\)において高位の無限小であること、すなわち、\begin{equation}f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \cdot
h=o\left( h\right) \quad \left( h\rightarrow 0\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。

結論を整理すると、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、\(\left( 5\right) \)を満たす有限な実数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在します。逆に、\(\left( 5\right) \)を満たす有限な実数\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在する場合には\(f\)が点\(a\)において微分可能であることも示されるため(演習問題)、微分可能性を以下のように特徴づけることができます。

命題(線型近似としての微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域上の点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -c\cdot h=o\left( h\right) \quad \left(
h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}を満たす有限な実数\(c\in \mathbb{R} \)が存在することと、\(f\)が点\(a\)において微分可能であることは必要十分条件である。さらにこのとき、\begin{equation*}c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題において\(x=a+h\)とおくことにより以下を得ます。

命題(線型近似としての微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域上の点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) -f\left( a\right) -c\cdot \left( x-a\right) =o\left(
x-a\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}を満たす有限な実数\(c\in \mathbb{R} \)が存在することと、\(f\)が点\(a\)において微分可能であることは必要十分である。さらにこのとき、\begin{equation*}c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

以上の命題はどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合、上の命題より、変数\(x\)に関する関数\begin{equation*}f\left( x\right) -\left[ f\left( a\right) +c\cdot \left( x-a\right) \right] \end{equation*}が、やはり変数\(x\)に関する関数\begin{equation*}x-a
\end{equation*}よりも点\(a\)において高位の無限小になるような有限な実数\(c\)が存在します。つまり、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において\(f\left( x\right)-\left[ f\left( a\right) +c\cdot \left( x-a\right) \right] \)と\(x-a\)はともに\(0\)に限りなく近づくだけでなく、\(f\left( x\right) -\left[ f\left( a\right) +c\cdot \left( x-a\right) \right] \)の大きさは\(x-a\)の大きさと比べると無視できるほど小さくなります。言い換えると、変数\(x\)を点\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left(x\right) \)と\(f\left( a\right) +c\cdot \left( x-a\right) \)の誤差は\(0\)に限りなく近づくだけでなく、その誤差の大きさは\(x\)と\(a\)の誤差と比べても無視できるほど小さくなるということです。したがって、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +c\cdot \left( x-a\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。加えて、\begin{equation*}
c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}であることを踏まえると、先の近似式を、\begin{equation*}
f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}と表現できます。

結論を整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において微分可能であることは、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において以下の近似式\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}が成立することを意味します。つまり、変数\(x\)に関する1次の多項式関数\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) \\
&=&f^{\prime }\left( a\right) \cdot x+\left[ f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot a\right] \end{eqnarray*}を定義したとき、点\(a\)の周辺において、もとの関数\(f\)は関数\(P_{1,a}\)と近似的に等しくなるということです。この関数\(P_{1,a}\)を\(a\)における\(f\)の1次のテイラー近似多項式(1st degreeTaylor approximating polynomial of \(f\) at \(a\))と呼びます。関数\(f\)を点\(a\)において微分することとは、点\(a\)の周辺において、もとの複雑な関数\(f\)を、よりシンプルな1次の多項式関数\(P_{1,a}\)で近似することを意味します。

例(線型近似としての微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めます。したがって、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、点\(a\)における\(f\)の1次のテイラー近似多項式\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) \\
&=&a^{2}+2a\left( x-a\right) \\
&=&2ax-a^{2}
\end{eqnarray*}が定義可能です。これは変数\(x\)に関する1次の多項式関数です。さらに、先の議論より、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、以下の近似式\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{1,a}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{2}\approx 2ax-a^{2}
\end{equation*}が成り立ちます。もとの関数\(f\left( x\right) =x^{2}\)は2次関数ですが、この関数\(f\)は点\(a\)において微分可能であるため、点\(a\)の周辺においては、もとの関数\(f\)をよりシンプルな1次関数\(P_{1,a}\left( x\right) =2ax-a^{2}\)として近似的に表現できるということです。

 

近似多項式は関数のグラフの接線の方程式

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において微分可能である場合には、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、もとの関数\(f\)を、変数\(x\)に関する1次の多項式関数\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) \\
&=&f^{\prime }\left( a\right) \cdot x+\left[ f\left( a\right) -f^{\prime
}\left( a\right) \cdot a\right] \end{eqnarray*}で近似できることが明らかになりました。

関数\(f\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これは点\(\left(a,f\left( a\right) \right) \)を通過します。

近似多項式\(P_{1,a}\left( x\right) \)のグラフは、\begin{eqnarray*}G\left( P_{1,a}\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=P_{1,a}\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x-a\right) \right\} \quad \because P_{1,a}\text{の定義} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f^{\prime }\left( a\right) \cdot x+\left[ f\left( a\right)
-f^{\prime }\left( a\right) \cdot a\right] \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは点\(\left(a,f\left( a\right) \right) \)を通過し、傾きが\(f^{\prime }\left( a\right) \)であるような直線です。

関数\(f\)のグラフと近似多項式\(P_{1,a}\left( x\right) \)のグラフはともに点\(\left( a,f\left( a\right)\right) \)を通過することが明らかになりました。したがって両者は点\(\left( a,f\left( a\right) \right) \)において交わります。さらに、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{1,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似式が成り立つため、点\(a\)の周辺において関数\(f\)のグラフと近似多項式\(P_{1,a}\left(x\right) \)のグラフは近似的に等しくなります(下図)。

図:微分の解釈
図:微分の解釈

このような事情を踏まえた上で、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、近似多項式\(P_{1,a}\left( x\right) \)のグラフ\begin{eqnarray*}G\left( P_{1,a}\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=P_{1,a}\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left(
x-a\right) \right\}
\end{eqnarray*}のことを、関数\(f\)のグラフの点\(\left( a,f\left( a\right) \right) \)における接線(tangent line)と呼びます。これは点\(\left( a,f\left( a\right) \right) \)を通過し、傾きが\(f^{\prime }\left( a\right) \)であるような直線です。

例(関数のグラフの接線)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めます。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めます。したがって、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、点\(a\)における\(f\)の1次のテイラー近似多項式\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) \\
&=&a^{2}+2a\left( x-a\right) \\
&=&2ax-a^{2}
\end{eqnarray*}が定義可能です。先の議論より、関数\(f\)のグラフの点\(\left( a,f\left( a\right) \right) \)における接線は近似多項式\(P_{1,a}\left( x\right) \)のグラフと一致し、具体的には、\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=2ax-a^{2}\right\}
\end{equation*}となります。これは点\(\left( a,a^{2}\right) \)を通過し、傾きが\(2a\)であるような直線です。

 

近似多項式を用いた近似値の特定

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において微分可能である場合には、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において以下の近似式\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\approx &P_{1,a}\left( x\right) \\
&=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、点\(a\)の周辺にある点\(x\)に対して関数\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)の近似値を特定するためには、近似多項式\(P_{1,a}\)がその値\(x\)に対して定める値\begin{equation*}P_{1,a}\left( x\right) =f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \cdot
\left( x-a\right)
\end{equation*}をとればよいということになります。

例(近似多項式を用いた近似値の特定)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めます。したがって、点\(1\)に注目したとき、点\(1\)に限りなく近い任意の点\(x\)について、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\approx &P_{1,1}\left( x\right) \\
&=&f\left( 1\right) +f^{\prime }\left( 1\right) \cdot \left( x-1\right) \\
&=&1^{2}+2\left( x-1\right) \\
&=&2x-1
\end{eqnarray*}という近似関係が成り立ちます。以上を踏まえた上で\(f\left( 0.95\right) \)の近似値を求めると、\begin{eqnarray*}f\left( 0.95\right) &\approx &2\cdot 0.95-1 \\
&=&0.9
\end{eqnarray*}となり、\(f\left( 1.05\right) \)の近似値を求めると、\begin{eqnarray*}f\left( 1.05\right) &\approx &2\cdot 1.05-1 \\
&=&1.1
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(関数のグラフの接線)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは点\(\left( 1,1\right) \)を通過しますが、この点\(\left( 1,1\right) \)における接線の方程式を求めてください。
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問題(関数の値の近似値)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の値\begin{equation*}
f\left( -6.95\right)
\end{equation*}の近似値を求めてください。

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問題(関数の値の近似値)
関数\(f\)は微分可能であるとともに、以下の条件\begin{eqnarray*}f\left( 3\right) &=&12 \\
f^{\prime }\left( 3\right) &=&-2
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以上の情報をもとに、以下の値\begin{equation*}
f\left( 3.5\right)
\end{equation*}の近似値を求めてください。

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問題(ランダウの記号)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。このとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0\Leftrightarrow f\left( x\right)
=o\left( 1\right) \quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。ただし、\(o\)はランダウの記号です。
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問題(ランダウの記号)
2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left( x-1\right) ^{3} \\
g\left( x\right) &=&\left( x-1\right) ^{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。このとき以下の主張が成り立つか否か理由とともに答えてください。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( x\right) =o\left( g\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow 1\right) \\
&&\left( b\right) \ g\left( x\right) =o\left( f\left( x\right) \right) \quad
\left( x\rightarrow 1\right)
\end{eqnarray*}
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