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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

有理関数の微分

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有理関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有理関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}という形で表すことができるということです。ただし、ゼロで割ることはできないため、\(h\)は値として非ゼロをとる関数である点に注意してください。多項式関数\(g,h\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、多項式関数の微分可能性よりそこでの微分係数に相当する有限な実数\begin{eqnarray*}g^{\prime }\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \\
h^{\prime }\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在します。加えて、\(f\)は微分可能な関数の商であることから点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数が、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{g^{\prime }\left( a\right) \cdot h\left(
a\right) -g\left( a\right) \cdot h^{\prime }\left( a\right) }{\left[ h\left(
a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}として定まることが保証されます。

命題(有理関数の微分)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。\(h\)と\(g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{g^{\prime }\left( a\right) \cdot h\left(
a\right) -g\left( a\right) \cdot h^{\prime }\left( a\right) }{\left[ h\left(
a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}となる。

証明

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例(有理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(g,h\)はともにその周辺の任意の点において定義されています。したがって上の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{f^{\prime }\left( x\right) \cdot g\left(
x\right) -f\left( x\right) \cdot g^{\prime }\left( x\right) }{\left[ g\left(
x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された有理関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるということです。
例(有理関数の微分)
関数関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+5x-9}{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( \frac{3x^{2}+5x-9}{2x}\right)
^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\frac{\left. \left( 3x^{2}+5x-9\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\cdot
\left( 2a\right) -\left( 3a^{2}+5a-9\right) \cdot \left. \left( 2x\right)
^{\prime }\right\vert _{x=a}}{\left( 2a\right) ^{2}}\quad \because \text{有理関数の微分} \\
&=&\frac{\left. 6x+5\right\vert _{x=a}\cdot \left( 2a\right) -\left(
3a^{2}+5a-9\right) \cdot \left. 2\right\vert _{x=a}}{\left( 2a\right) ^{2}}
\\
&=&\frac{\left( 6a+5\right) \cdot 2a-\left( 3a^{2}+5a-9\right) \cdot 2}{\left( 2a\right) ^{2}} \\
&=&\frac{3\left( a^{2}+3\right) }{2a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。任意の\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について同様であるため、導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{3\left( x^{2}+3\right) }{2x^{2}}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。
例(有理関数の微分)
関数関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{7x-\sqrt{2}}{2\left( x^{2}-3\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( \frac{7x-\sqrt{2}}{2\left(
x^{2}-3\right) }\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left. \left( 7x-\sqrt{2}\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\cdot
2\left( a^{2}-3\right) -\left( 7a-\sqrt{2}\right) \cdot \left. \left[
2\left( x^{2}-3\right) \right] ^{\prime }\right\vert _{x=a}}{\left[ 2\left(
a^{2}-3\right) \right] ^{2}}\quad \because \text{有理関数の微分} \\
&=&\frac{\left. 7\right\vert _{x=a}\cdot 2\left( a^{2}-3\right) -\left( 7a-\sqrt{2}\right) \cdot \left. 4x\right\vert _{x=a}}{4\left( a^{2}-3\right)
^{2}} \\
&=&\frac{7\cdot 2\left( a^{2}-3\right) -\left( 7a-\sqrt{2}\right) \cdot 4a}{4\left( a^{2}-3\right) ^{2}} \\
&=&-\frac{7a^{2}-2\sqrt{2}a+21}{2\left( a^{2}-3\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。任意の\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)について同様であるため、導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\frac{7x^{2}-2\sqrt{2}x+21}{2\left(
x^{2}-3\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

有理関数の片側微分

片側微分に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(有理関数の微分)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。\(h\)と\(g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において右側微分であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{f^{\prime }\left( a+0\right) \cdot
g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a+0\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}となる。また、\(h\)と\(g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において左側微分であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{f^{\prime }\left( a-0\right) \cdot
g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a-0\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}となる。

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例(有理関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 0,1)\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack 0,1)\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{4x^{4}+9}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)以上の周辺の任意の\(x\)において\(f\)は定義されているため、有理関数の右側微分より、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left( \frac{4x^{4}+9}{x^{2}+1}\right) _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left. \left( 4x^{4}+9\right) _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}\cdot
1-9\cdot \left. \left( x^{2}+1\right) _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}}{1^{2}}\quad \because \text{有理関数の右側微分} \\
&=&\frac{\left. 16x^{3}\right\vert _{x=0}\cdot 1-9\cdot \left. 2x\right\vert
_{x=0}}{1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。\(0<a<1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、有理関数の微分より、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( \frac{4x^{4}+9}{x^{2}+1}\right)
^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\frac{\left. \left( 4x^{4}+9\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\cdot
\left( a^{2}+1\right) -\left( 4a^{4}+9\right) \cdot \left. \left(
x^{2}+1\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}}{\left( a^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{有理関数の微分} \\
&=&\frac{\left. 16x^{3}\right\vert _{x=a}\cdot \left( a^{2}+1\right) -\left(
4a^{4}+9\right) \cdot \left. 2x\right\vert _{x=a}}{\left( a^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{16a^{3}\cdot \left( a^{2}+1\right) -\left( 4a^{4}+9\right) \cdot 2a}{\left( a^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2a\left( 4a^{4}+8a^{2}-9\right) }{\left( a^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \lbrack 0,1)\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack 0,1)\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{2x\left( 4x^{4}+8x^{2}-9\right) }{\left(
x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(有理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\left( x-1\right) \left( x+2\right) }{x\left(
x-1\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
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問題(有理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x-1} & \left( x\in \lbrack 0,1)\cup (1,2]\right) \\
0 & \left( x=1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
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次回は合成関数の微分について学びます。

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