有理関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。定義域\(X\)の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{g^{\prime }\left( a\right) \cdot h\left(
a\right) -g\left( a\right) \cdot h^{\prime }\left( a\right) }{\left[ h\left(
a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in X^{i}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left(
x\right) -g\left( x\right) \cdot h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left(
x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(\mathbb{R} \)上の任意の点は\(\mathbb{R} \)の内点です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{f^{\prime }\left( x\right) \cdot g\left(
x\right) -f\left( x\right) \cdot g^{\prime }\left( x\right) }{\left[ g\left(
x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された有理関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるということです。

関数関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+5x-9}{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において定義されないことに注意してください。定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は開集合であるため、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の内点です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{3x^{2}+5x-9}{2x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left[ \frac{d}{dx}\left( 3x^{2}+5x-9\right) \right] \cdot
2x-\left( 3x^{2}+5x-9\right) \cdot \frac{d}{dx}\left( 2x\right) }{\left(
2x\right) ^{2}}\quad \because \text{商の法則} \\
&=&\frac{\left( 6x+5\right) \cdot 2x-\left( 3x^{2}+5x-9\right) \cdot 2}{4x^{2}}\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&\frac{3\left( x^{2}+3\right) }{2x^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{7x-\sqrt{2}}{2\left( x^{2}-3\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\pm \sqrt{3}\)において定義されないことに注意してください。定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)は開集合であるため、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)上の任意の点は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)の内点です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ \frac{7x-\sqrt{2}}{2\left(
x^{2}-3\right) }\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left[ \frac{d}{dx}\left( 7x-\sqrt{2}\right) \right] \cdot 2\left(
x^{2}-3\right) -\left( 7x-\sqrt{2}\right) \cdot \frac{d}{dx}2\left(
x^{2}-3\right) }{\left[ 2\left( x^{2}-3\right) \right] ^{2}}\quad \because
\text{商の法則} \\
&=&\frac{7\cdot 2\left( x^{2}-3\right) -\left( 7x-\sqrt{2}\right) \cdot 4x}{4\left( x^{2}-3\right) ^{2}}\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&-\frac{7x^{2}-2\sqrt{2}x+21}{2\left( x^{2}-3\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

広告費を\(x\geq 0\)だけ投入したときの売上が、正の定数\(a,b,c>0\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{ax+b}{x+c}
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は有理関数です。したがって、任意の\(x>0\)について、広告費を\(x\)から増やした場合の売上の増分は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{ax+b}{x+c}\right) \\
&=&\frac{\left[ \frac{d}{dx}\left( ax+b\right) \right] \cdot \left(
x+c\right) -\left( ax+b\right) \cdot \frac{d}{dx}\left( x+c\right) }{\left(
x+c\right) ^{2}} \\
&=&\frac{a\cdot \left( x+c\right) -\left( ax+b\right) \cdot 1}{\left(
x+c\right) ^{2}} \\
&=&\frac{ac-b}{\left( x+c\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。

1. 定義域上の点\(a\in X\)において、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X\end{equation*}が成り立つならば、\begin{equation*}
   f^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{g^{\prime }\left( a\right) \cdot h\left(
   a\right) -g\left( a\right) \cdot h^{\prime }\left( a\right) }{\left[ h\left(
   a\right) \right] ^{2}}
   \end{equation*}が成り立つ。
2. 定義域上の点\(a\in X\)において、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X\end{equation*}が成り立つならば、\begin{equation*}
   f^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{g^{\prime }\left( a\right) \cdot h\left(
   a\right) -g\left( a\right) \cdot h^{\prime }\left( a\right) }{\left[ h\left(
   a\right) \right] ^{2}}
   \end{equation*}が成り立つ。

広告費を\(x\geq 0\)だけ投入したときの売上が、正の定数\(a,b,c>0\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{ax+b}{x+c}
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は有理関数です。したがって、広告費を\(q=0\)から増やした場合の売上の増分は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dx}\left( \frac{ax+b}{x+c}\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left( \frac{ax+b}{x+c}\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \frac{\left[ \frac{d}{dx}\left( ax+b\right) \right] \cdot \left(
x+c\right) -\left( ax+b\right) \cdot \frac{d}{dx}\left( x+c\right) }{\left(
x+c\right) ^{2}}\right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \frac{a\cdot \left( x+c\right) -\left( ax+b\right) \cdot 1}{\left(
x+c\right) ^{2}}\right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \frac{ac-b}{\left( x+c\right) ^{2}}\right\vert _{x=0} \\
&=&\frac{ac-b}{c^{2}}
\end{eqnarray*}です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\left( x-1\right) \left( x+2\right) }{x\left(
x-1\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x-1} & \left( x\in \lbrack 0,1)\cup (1,2]\right) \\
0 & \left( x=1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。

ある商品を\(q>0\)だけ生産する際の総費用が、\begin{equation*}C\left( q\right) =q^{2}+3q+12
\end{equation*}であるものとします。平均費用は、\begin{equation*}
AC\left( q\right) =\frac{C\left( q\right) }{q}
\end{equation*}と定義され、限界平均費用は、\begin{equation*}
AC^{\prime }\left( q\right)
\end{equation*}と定義されます。限界平均費用を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x=10\)における\(f\left( x\right) \)の1次の線型近似式を求めた上で、以下の値\begin{equation*}f\left( 10.2\right)
\end{equation*}の近似値を求めてください。