有理関数は定義域上の任意の点において微分可能であることを示すとともに、有理関数の導関数を特定します。
有理関数 微分
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有理関数

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)が多項式の商として表されるならば、つまり、多項式関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}という形で表すことができる場合には、\(f\)を有理関数と呼びます。ただし、ゼロで割ることはできないため、有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)は\(h\left( x\right) =0\)であるような\(x\)の値において定義されません。つまり、有理関数\(f\)の定義域\(X\)は、\begin{equation*}
X=\{x\in \mathbb{R} \ |\ h\left( x\right) \not=0\}
\end{equation*}となります。

有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)は定義域\(X\)上のそれぞれの点\(a\)において\(\frac{g\left( a\right) }{h\left( a\right) }\)へ収束するとともに、\(X\)上で連続です。

有理関数について復習する
例(有理関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+5x-9}{2x}
\end{equation*}であるならば、上の命題より、この\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)上で連続です。実際、\(0\)ではない任意の点\(\alpha \)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \frac{3x^{2}+5x-9}{2x}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }\left( 3x^{2}+5x-9\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }\left( 2x\right) } \\
&=&\frac{3\alpha ^{2}+5\alpha -9}{2\alpha } \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\alpha \)において連続です。

 

有理関数の微分

有理関数は多項式関数の商として表されますが、すでに明らかにしたように、多項式関数は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において微分可能です。また、一般に、関数\(f,g\)が点\(\alpha \)において微分可能である場合には関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(\alpha \)において微分可能であり、それらの微分係数の間には、\begin{equation*}
\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a\right) =\frac{f^{\prime }\left(
a\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left(
a\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}という関係が成立します。以上の事実を利用すると、多項式関数の微分可能性に関する以下の命題を証明できます。

多項式関数の微分可能性について復習する 微分可能な関数の商について復習する
命題(有理関数の微分)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有理関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、多項式関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。また、\(X=\{x\in \mathbb{R} \ |\ h\left( x\right) \not=0\}\)である。この\(f\)は\(X\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left(
x\right) -g\left( x\right) \cdot h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left(
x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定める。

証明を見る(プレミアム会員限定)
例(有理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+5x-9}{2x}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理関数です。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{\left( 3x^{2}+5x-9\right) ^{\prime
}\cdot 2x-\left( 3x^{2}+5x-9\right) \cdot \left( 2x\right) ^{\prime }}{\left( 2x\right) ^{2}} \\
&=&\frac{\left( 6x+5\right) \cdot 2x-\left( 3x^{2}+5x-9\right) \cdot 2}{4x^{2}} \\
&=&\frac{3\left( x^{2}+3\right) }{2x^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
例(有理関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{\pm \sqrt{3}\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{7x-\sqrt{2}}{2\left( x^{2}-3\right) }
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理関数です。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \{\pm \sqrt{3}\}\)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \{\pm \sqrt{3}\}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \{\pm \sqrt{3}\}\)に対して、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{\left( 7x-\sqrt{2}\right) ^{\prime
}\cdot 2\left( x^{2}-3\right) -\left( 7x-\sqrt{2}\right) \cdot \left[
2\left( x^{2}-3\right) \right] ^{\prime }}{\left[ 2\left( x^{2}-3\right) \right] ^{2}} \\
&=&\frac{7\cdot 2\left( x^{2}-3\right) -\left( 7x-\sqrt{2}\right) \cdot 4x}{4\left( x^{2}-3\right) ^{2}} \\
&=&-\frac{7x^{2}-2\sqrt{2}x+21}{2\left( x^{2}-3\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

次回は自然数ベキ関数の微分について学びます。

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