有理関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。\(h\)と\(g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{g^{\prime }\left( a\right) \cdot h\left(
a\right) -g\left( a\right) \cdot h^{\prime }\left( a\right) }{\left[ h\left(
a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}となる。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(g,h\)はともにその周辺の任意の点において定義されています。したがって上の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{f^{\prime }\left( x\right) \cdot g\left(
x\right) -f\left( x\right) \cdot g^{\prime }\left( x\right) }{\left[ g\left(
x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された有理関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるということです。

関数関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+5x-9}{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( \frac{3x^{2}+5x-9}{2x}\right)
^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\frac{\left. \left( 3x^{2}+5x-9\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\cdot
\left( 2a\right) -\left( 3a^{2}+5a-9\right) \cdot \left. \left( 2x\right)
^{\prime }\right\vert _{x=a}}{\left( 2a\right) ^{2}}\quad \because \text{有理関数の微分} \\
&=&\frac{\left. 6x+5\right\vert _{x=a}\cdot \left( 2a\right) -\left(
3a^{2}+5a-9\right) \cdot \left. 2\right\vert _{x=a}}{\left( 2a\right) ^{2}}
\\
&=&\frac{\left( 6a+5\right) \cdot 2a-\left( 3a^{2}+5a-9\right) \cdot 2}{\left( 2a\right) ^{2}} \\
&=&\frac{3\left( a^{2}+3\right) }{2a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。任意の\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について同様であるため、導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{3\left( x^{2}+3\right) }{2x^{2}}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

関数関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{7x-\sqrt{2}}{2\left( x^{2}-3\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( \frac{7x-\sqrt{2}}{2\left(
x^{2}-3\right) }\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left. \left( 7x-\sqrt{2}\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\cdot
2\left( a^{2}-3\right) -\left( 7a-\sqrt{2}\right) \cdot \left. \left[
2\left( x^{2}-3\right) \right] ^{\prime }\right\vert _{x=a}}{\left[ 2\left(
a^{2}-3\right) \right] ^{2}}\quad \because \text{有理関数の微分} \\
&=&\frac{\left. 7\right\vert _{x=a}\cdot 2\left( a^{2}-3\right) -\left( 7a-\sqrt{2}\right) \cdot \left. 4x\right\vert _{x=a}}{4\left( a^{2}-3\right)
^{2}} \\
&=&\frac{7\cdot 2\left( a^{2}-3\right) -\left( 7a-\sqrt{2}\right) \cdot 4a}{4\left( a^{2}-3\right) ^{2}} \\
&=&-\frac{7a^{2}-2\sqrt{2}a+21}{2\left( a^{2}-3\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。任意の\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)について同様であるため、導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{3}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\frac{7x^{2}-2\sqrt{2}x+21}{2\left(
x^{2}-3\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}と表されるものとする。\(h\)と\(g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において右側微分であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{f^{\prime }\left( a+0\right) \cdot
g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a+0\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}となる。また、\(h\)と\(g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において左側微分であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{f^{\prime }\left( a-0\right) \cdot
g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a-0\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}となる。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 0,1)\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack 0,1)\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{4x^{4}+9}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)以上の周辺の任意の\(x\)において\(f\)は定義されているため、有理関数の右側微分より、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left( \frac{4x^{4}+9}{x^{2}+1}\right) _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left. \left( 4x^{4}+9\right) _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}\cdot
1-9\cdot \left. \left( x^{2}+1\right) _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}}{1^{2}}\quad \because \text{有理関数の右側微分} \\
&=&\frac{\left. 16x^{3}\right\vert _{x=0}\cdot 1-9\cdot \left. 2x\right\vert
_{x=0}}{1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。\(0<a<1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、有理関数の微分より、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( \frac{4x^{4}+9}{x^{2}+1}\right)
^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\frac{\left. \left( 4x^{4}+9\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\cdot
\left( a^{2}+1\right) -\left( 4a^{4}+9\right) \cdot \left. \left(
x^{2}+1\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}}{\left( a^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{有理関数の微分} \\
&=&\frac{\left. 16x^{3}\right\vert _{x=a}\cdot \left( a^{2}+1\right) -\left(
4a^{4}+9\right) \cdot \left. 2x\right\vert _{x=a}}{\left( a^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{16a^{3}\cdot \left( a^{2}+1\right) -\left( 4a^{4}+9\right) \cdot 2a}{\left( a^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2a\left( 4a^{4}+8a^{2}-9\right) }{\left( a^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \lbrack 0,1)\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack 0,1)\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{2x\left( 4x^{4}+8x^{2}-9\right) }{\left(
x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\left( x-1\right) \left( x+2\right) }{x\left(
x-1\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x-1} & \left( x\in \lbrack 0,1)\cup (1,2]\right) \\
0 & \left( x=1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。