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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

関数の商の微分

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微分可能な関数の商

定義域を共有する関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ゼロで割ることはできないため、\(g\)は値として非ゼロをとる関数である点に注意してください。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f,g\)が点\(a\)において微分可能であるか否かを検討できます。仮に\(f,g\)がともに点\(a\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する有限な実数\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \\
g^{\prime }\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在します。この場合、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a\right) =\frac{f^{\prime }\left(
a\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left(
a\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}として定まることが保証されます。

命題(微分可能な関数の商)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a\right) =\frac{f^{\prime }\left(
a\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left(
a\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を満たす。

証明

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つまり、点\(a\)において微分可能な2つの関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)が与えられたとき、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が上のように定まることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)の微分可能性を検討する際には、微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらがそれぞれ微分可能であることを確認すればよいということになります。

例(微分可能な関数の商の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)はともに微分可能であるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(f,g\)はともにその点の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)もまた微分可能であり、その導関数\(\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( x\right) =\frac{f^{\prime }\left(
x\right) \cdot g\left( x\right) -f\left( x\right) \cdot g^{\prime }\left(
x\right) }{\left[ g\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された微分可能な関数の商として定義される関数もまた\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるということです。
例(微分可能な関数の商)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2x-1}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能でしょうか。まず、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( \frac{2x-1}{x^{2}+1}\right)
^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\frac{\left. \left( 2x-1\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\cdot \left(
a^{2}+1\right) -\left( 2a-1\right) \cdot \left. \left( x^{2}+1\right)
^{\prime }\right\vert _{x=a}}{\left( a^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because
\text{微分可能な関数の商} \\
&=&\frac{\left. 2\right\vert _{x=a}\cdot \left( a^{2}+1\right) -\left(
2a-1\right) \cdot \left. 2x\right\vert _{x=a}}{\left( a^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍・和・差・積} \\
&=&\frac{2\cdot \left( a^{2}+1\right) -\left( 2a-1\right) \cdot 2a}{\left(
a^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2\left( -a^{2}+a+1\right) }{\left( a^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。任意の\(a\in \mathbb{R} \)について同様であるため、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{2\left( -x^{2}+x+1\right) }{\left(
x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

片側微分可能な関数の商

片側微分に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(片側微分可能な関数の商)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域の点\(a\in X\)において右側微分可能であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{f^{\prime
}\left( a+0\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime
}\left( a+0\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)と\(g\)がともに点\(a\in X\)において左側微分可能であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{f^{\prime
}\left( a-0\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime
}\left( a-0\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(片側微分可能な関数の商)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\leq 0\right) \\
\frac{x^{2}-1}{x} & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、点\(a\)の周辺の任意の\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert
_{x=a} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)以下の周辺の任意の\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、そこでの左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\left. \left( x\right) _{-}^{\prime
}\right\vert _{x=0}\quad \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)以上の周辺の\(x\)については、\(x\)の値によって\(f\left( x\right) \)の形状が変わるため、定義に戻って右側微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\frac{h^{2}-1}{h}-0}{h}\quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{h^{2}-1}{h^{2}} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left( 1-\frac{1}{h^{2}}\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではなく、したがって微分可能でもありません。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、その周辺の任意の\(x\)において\(f\left( x\right) =\frac{x^{2}-1}{x}\)であるため、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \left( \frac{x^{2}-1}{x}\right)
^{\prime }\right\vert _{x=a} \\
&=&\frac{\left. \left( x^{2}-1\right) ^{\prime }\right\vert _{x=a}\cdot
a-\left( a^{2}-1\right) \cdot \left. \left( x\right) ^{\prime }\right\vert
_{x=a}}{a^{2}}\quad \because \text{微分可能な関数の商} \\
&=&\frac{\left. 2x\right\vert _{x=a}\cdot a-\left( a^{2}-1\right) \cdot
\left. 1\right\vert _{x=a}}{a^{2}}\quad \because \text{微分可能な関数の差・積} \\
&=&\frac{2a\cdot a-\left( a^{2}-1\right) \cdot 1}{a^{2}} \\
&=&\frac{a^{2}+1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x^{2}+1}{x^{2}} & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

微分可能な関数の商の微分

以上の2つの命題より、微分可能な関数の商として定義される関数は微分可能であることが明らかになりました。

命題(微分可能な関数の商の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに微分可能であるならば\(\frac{f}{g}\)もまた微分可能であり、その導関数\(\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( x\right) =\frac{f^{\prime }\left(
x\right) \cdot g\left( x\right) -f\left( x\right) \cdot g^{\prime }\left(
x\right) }{\left[ g\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定める。

 

演習問題

問題(関数の商の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2}{x^{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数の導関数を求めてください。

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問題(関数の商の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3x+9}{2-x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数の導関数を求めてください。

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次回は多項式関数の微分について解説します。

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