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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

1変数関数のテイラー展開(マクローリン展開)

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テイラー展開

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(n\)階微分可能である場合には、定義域の内点\(a\in I^{i}\)を任意に選ぶと、点\(a\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式\begin{equation*}P_{n-1,a}\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \end{equation*}が定義可能です。さらに、点\(a\)とは異なる区間上の点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)を任意に選ぶと、それに対して関数\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)と、テイラー近似多項式\(P_{n-1,a}\)が定める値\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)の間には、\begin{equation}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +\frac{f^{\left( n\right) }\left(
c\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つことが保証されます。ただし、\(c\in I\)は\(a\)と\(x \)の間に存在する何らかの点です。以上がテイラーの定理の主張です。\(f\left( x\right) \)と\(P_{n-1,a}\left(x\right) \)の誤差を\(R_{n,a}\left( x\right) \)で表記するのであれば、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}R_{n,a}\left( x\right) =\frac{f^{\left( n\right) }\left( c\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}となります。この誤差\(R_{n,a}\left( x\right) \)を\(a\)における\(f\)\(n\)次のラグランジュ剰余項(\(n\) th degree Lagrange remainder of \(f\) at \(a\))と呼びます。剰余項を用いて改めて\(\left( 1\right) \)を書き換えると、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +R_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}となります。つまり、テイラーの定理とは、\(f\left( x\right) \)の値が変数\(x \)に関する有限次数の多項式\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)と剰余項\(R_{n,a}\left( x\right) \)の和として表せることを保証する命題です。

さて、関数\(f\)が区間\(I\)において\(C^{\infty }\)級であるならば、すなわち無限回微分可能である場合には、\(f\left( x\right) \)の値を任意次数のテイラー近似多項式とラグランジュ剰余項の和として表現できます。つまり、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(C^{\infty }\)級である場合には、定義域の内点\(a\in I^{i}\)とそれとは異なる点\(x\in I\backslash\left\{ a\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&P_{0,a}\left( x\right) +R_{1,a}\left( x\right) \\
f\left( x\right) &=&P_{1,a}\left( x\right) +R_{2,a}\left( x\right) \\
f\left( x\right) &=&P_{2,a}\left( x\right) +R_{3,a}\left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}など無限個の関係が成立するため、剰余項\(R_{n,a}\left( x\right) \)を一般項とする数列\begin{equation*}\left\{ R_{n,a}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。内点\(a\in I^{i}\)を固定した上でもう一方の点\(x\in I\backslash \left\{a\right\} \)を変化させると剰余項\(R_{n,a}\left( x\right) \)が変化するため数列\(\left\{ R_{n,a}\left( x\right)\right\} \)もまた変化します。ただ、点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)を任意に選んだときに、そこから得られる数列\(\left\{ R_{n,a}\left( x\right) \right\} \)が、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }R_{n,a}\left( x\right) =0
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち、\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)と\(a\)と\(x\)の間にある点\(c\in I\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \frac{f^{\left( n\right) }\left( c\right)
}{n!}\left( x-a\right) ^{n}\right] =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)がそれぞれの\(x\in I\backslash\left\{ a\right\} \)に対して定める値を、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \end{equation*}という形で無限級数展開できることが保証されます。このとき、\(f\)は\(a\)においてテイラー展開(Taylor expansion at \(a\))可能であると言い、右辺の無限級数を\(f\)の\(a\)におけるテイラー級数(Taylor series)と呼びます。

命題(テイラー展開可能性)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(C^{\infty }\)級であるものとする。定義域の内点\(a\in I^{i}\)が与えられたとき、それとは異なる任意の点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }R_{n,a}\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つならば、すなわち、\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)と\(a\)と\(x\)の間にある点\(c\in I\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \frac{f^{\left( n\right) }\left( c\right)
}{n!}\left( x-a\right) ^{n}\right] =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、任意の\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)について、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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関数\(f\)が点\(0\)においてテイラー展開可能である場合、\(f\)はマクローリン展開(Maclaurin expansion)可能であると言い、\(f\)の点\(0\)におけるテイラー級数をマクローリン級数(Maclaurin series)と呼びます。先の命題より以下を得ます。

命題(マクローリン展開可能性)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(I\)が点\(0\)を内点として含むとともに、\(f\)は区間\(I\)において\(C^{\infty }\)級であるものとする。さらに、\(0\)とは異なる任意の点\(x\in I\backslash\left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }R_{n,0}\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つならば、すなわち、\(x\in I\backslash \left\{ 0\right\} \)と\(0\)と\(x\)の間にある点\(c\in I\)をそれぞれ任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \frac{f^{\left( n\right) }\left( c\right)
}{n!}x^{n}\right] =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、任意の\(x\in I\backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( 0\right) }{k!}\cdot x^{k}\right] \end{equation*}という関係が成り立つ。

 

剰余項の絶対値を用いたテイラー展開可能性の判定

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、その一般項\(x_{n}\)の絶対値を一般項とする数列\(\left \{ \left \vert x_{n}\right \vert \right \} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ場合、絶対値定理より、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)についても、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。以上の事実と先の命題より以下を得ます。

命題(テイラー展開可能性)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(C^{\infty }\)級であるものとする。定義域の内点\(a\in I^{i}\)が与えられたとき、それとは異なる任意の点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert R_{n,a}\left( x\right) \right\vert =0
\end{equation*}が成り立つならば、任意の\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)について、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \end{equation*}という関係が成り立つ。

マクローリン展開についても同様です。

命題(マクローリン展開可能性)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(I\)が点\(0\)を内点として含むとともに、\(f\)は区間\(I\)において\(C^{\infty }\)級であるものとする。さらに、\(0\)とは異なる任意の点\(x\in I\backslash\left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert R_{n,0}\left( x\right) \right\vert =0
\end{equation*}が成り立つならば、任意の\(x\in I\backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( 0\right) }{k!}\cdot x^{k}\right] \end{equation*}という関係が成り立つ。

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