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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

微分の様々な表現

目次

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増分を用いない微分可能性の表現

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における微分係数は、\begin{equation}f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}として定義されます。ここで、\(x=a+h\)とおけば\(h=x-a\)が成り立つため、これを用いて平均変化率を書き換えると、\begin{equation*}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}となります。さらに、\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow 0}x& =\lim_{h\rightarrow 0}\left( a+h\right) \quad
\because x=a+h \\
& =\lim_{h\rightarrow 0}a+\lim_{h\rightarrow 0}h \\
& =a+0 \\
& =a
\end{align*}であるため、\(h\rightarrow 0\)は\(x\rightarrow a\)を含意します。逆に、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}h &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( x-a\right) \quad
\because h=x-a \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}x-\lim_{x\rightarrow a}a \\
&=&a-a \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(x\rightarrow a\)は\(h\rightarrow 0\)を含意します。つまり、\(h\rightarrow 0\)と\(x\rightarrow a\)は互いに言い換え可能です。以上を踏まえると、微分係数の定義として\(\left( 1\right) \)の代わりに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right)
-f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}を採用しても一般性は失われません。

命題(増分を用いない微分可能性の表現)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その定義域の点\(a\in X\)を任意に選ぶ。ただし、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているものとする。このとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であり、さらに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right)
-f\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}が成り立つ。

例(増分を用いない微分可能性の表現)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の点\(a\in \mathbb{R} \)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right)
-f\left( a\right) }{x-a} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^{2}-a^{2}}{x-a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{\left( x+a\right) \left( x-a\right) }{x-a} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( x+a\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}x+\lim_{x\rightarrow a}a\quad \because \text{収束する関数の和} \\
&=&a+a\quad \because \text{恒等関数、定数関数の極限} \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。

 

ライプニッツ流の微分の表現

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の点\(a\in X\)における微分係数は、\begin{equation}f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義されます。ここで\(x\)の増分を\(\Delta x=h\)で表し、それに対応する\(f\left( x\right) \)の増分を\(\Delta y=f\left(a+h\right) -f\left( a\right) \)で表すならば、平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{equation*}と言い換えられます。さらに、\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow 0}\Delta x& =\lim_{h\rightarrow 0}h\quad \because \Delta
x=h \\
& =0
\end{align*}であるため、\(h\rightarrow 0\)は\(\Delta x\rightarrow 0\)を含意します。逆に、\begin{eqnarray*}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}h &=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x\quad
\because \Delta x=h \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(\Delta x\rightarrow 0\)は\(h\rightarrow 0\)を含意します。つまり、\(h\rightarrow 0\)と\(\Delta x\rightarrow 0\)は互いに言い換え可能です。以上を踏まえると、微分係数の定義として\(\left( 1\right) \)の代わりに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{equation*}を採用しても一般性は失われません。これはライプニッツによる微分係数の表現です。

命題(ライプニッツ流の微分可能性の表現)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その定義域の点\(a\in X\)を任意に選ぶ。ただし、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているものとする。その上で、\begin{equation*}\Delta y=f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}とおく。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であり、さらに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{equation*}が成り立つ。

例(ライプニッツ流の微分の表現)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の点\(a\in \mathbb{R} \)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\
&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left( a+\Delta x\right) -f\left(
a\right) }{\Delta x} \\
&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\left( a+\Delta x\right) ^{2}-a^{2}}{\Delta x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{2}+2a\Delta x+\left( \Delta x\right)
^{2}-a^{2}}{\Delta x} \\
&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left( 2a+\Delta x\right) \\
&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}2a+\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x \\
&=&2a+0\quad \therefore \text{定数関数および恒等関数の極限} \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。

 

微分と微分商

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において微分可能である場合には、点\(a\)に十分近い任意の点\(x\)において、\begin{equation}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \left(
x-a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という近似関係が成り立ちます。議論の見通しを良くするために\(x\)の増分を、\begin{equation*}\Delta x=x-a
\end{equation*}とおくと、それに対応する\(f\left( x\right) \)の増分は、\begin{equation*}f\left( x\right) -f\left( a\right) =f\left( a+\Delta x\right) -f\left(
a\right)
\end{equation*}と表現できるため、これらを用いて\(\left( 1\right) \)を書き換えると、\begin{equation}f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \approx f^{\prime }\left(
a\right) \cdot \Delta x \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(x\)の増分\(\Delta x\)が\(0\)に十分近い場合、上の近似式が成り立つということです。

結論をまとめると、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合、\(x\)の増分を\(0\)に十分近づければ(\(\Delta x\rightarrow 0\))、それに対応する\(f\left( x\right) \)の増分(\(\left( 2\right) \)の左辺)は、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)と\(x\)の増分の積(\(\left( 2\right) \)の右辺)として近似できるということです。そこで、その積を\(f\left( x\right) \)の増分の主要部分(main part)や\(f\)\(a\)における微分(differential at \(a\))と呼び\(df\)で表記します。つまり、\begin{equation*}df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x
\end{equation*}です。\(\Delta x\)が\(0\)に十分近い場合には、\begin{equation*}f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \approx df
\end{equation*}という近似関係が成り立つということです。

例(微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{2}-5x+4
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation}f^{\prime }\left( a\right) =6a-5 \quad \cdots (1)
\end{equation}となります(確認してください)。したがって、\(f\)の点\(a\)における微分は、\begin{eqnarray*}df &=&f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x\quad \because \text{微分の定義} \\
&=&\left( 6a-5\right) \cdot \Delta x\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。

例(微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。このような関数を恒等関数(identity function)と呼びます。\(f\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation}f^{\prime }\left( a\right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}となります(確認してください)。したがって、\(f\)の点\(a\)における微分は、\begin{eqnarray*}df &=&f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x\quad \because \text{微分の定義} \\
&=&1\cdot \Delta x\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\Delta x
\end{eqnarray*}となります。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において微分可能である場合、\(f\)の\(a\)における微分は、\begin{equation}df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義されます。また、先に例を通じて確認したように、恒等関数\(x\)は任意の点\(a\)において微分であるとともに、そこでの微分は、\begin{equation}dx=\Delta x \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。\(\left( 2\right) \)を使って\(\left( 1\right) \)を書き換えると、\begin{equation*}df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot dx
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、\(dx=\Delta x\not=0\)であることに注目し、上の等式の両辺を\(dx\)で割ると、\begin{equation*}\frac{df}{dx}=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合、そこでの微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は関数\(f\)の点\(a\)における微分\(df\)と恒等関数\(x\)の点\(a\)における微分\(dx\)の商として表現できるということです。このような事情を踏まえた上で、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)を微分商(differential quotient)と呼ぶこともあります。

次回は片側微分について解説します。

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