微分の様々な表現（微分商）

増分を用いない微分可能性の表現

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられたとき、\(f\)の点\(a\)における平均変化率は、\(h\not=0\)を満たす\(h\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}と定義されます。\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合、\(f\)の点\(a\)における微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}と定義されます。ここで、\begin{equation*}
x=a+h
\end{equation*}とおけば、\begin{equation*}
h=x-a
\end{equation*}が成り立つため、これを用いて\(f\)の点\(a\)における平均変化率を変形すると、\begin{equation}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}
\quad \cdots (1)
\end{equation}となります。さらに、\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow 0}x& =\lim_{h\rightarrow 0}\left( a+h\right) \quad
\because x=a+h \\
& =\lim_{h\rightarrow 0}a+\lim_{h\rightarrow 0}h \\
& =a+0 \\
& =a
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
h\rightarrow 0\Rightarrow x\rightarrow a
\end{equation*}が成立し、逆に、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}h &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( x-a\right) \quad
\because h=x-a \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}x-\lim_{x\rightarrow a}a \\
&=&a-a \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
x\rightarrow a\Rightarrow h\rightarrow 0
\end{equation*}が成立するため、\begin{equation}
h\rightarrow 0\Leftrightarrow x\rightarrow a \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\(f\)の点\(a\)における微分係数を、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad \because \text{微分係数の定義} \\
&=&\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}と表現できます。

ライプニッツ流の微分の表現

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられたとき、\(f\)の点\(a\)における平均変化率は、\(h\not=0\)を満たす\(h\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}と定義されます。\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合、\(f\)の点\(a\)における微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}と定義されます。ここで、\(x\)の増分を、\begin{equation*}\Delta x=h
\end{equation*}で表記し、それに対応する\(f\left( x\right) \)の増分を、\begin{equation*}\Delta y=f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}で表記するのであれば、\(f\)の点\(a\)における平均変化率を、\begin{equation}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\Delta y}{\Delta x} \quad \cdots (1)
\end{equation}と表現できます。さらに、\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow 0}\Delta x& =\lim_{h\rightarrow 0}h\quad \because \Delta
x=h \\
& =0
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
h\rightarrow 0\Rightarrow \Delta x\rightarrow 0
\end{equation*}が成立し、逆に、\begin{eqnarray*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}h &=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x\quad
\because \Delta x=h \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\Delta x\rightarrow 0\Rightarrow h\rightarrow 0
\end{equation*}が成立するため、\begin{equation}
h\rightarrow 0\Leftrightarrow \Delta x\rightarrow 0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\(f\)の点\(a\)における微分係数を、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad \because \text{微分係数の定義} \\
&=&\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}と表現できます。これはライプニッツによる微分係数の表現です。

微分と微分商

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能である場合には、点\(a\)に十分近い任意の点\(a\in X\backslash\left\{ a\right\} \)において、以下の近似関係\begin{equation}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right) \left(
x-a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。議論の見通しを良くするために\(x\)の増分を、\begin{equation*}\Delta x=x-a
\end{equation*}と表記すると、それに対応する\(f\left( x\right) \)の増分は、\begin{equation*}f\left( x\right) -f\left( a\right) =f\left( a+\Delta x\right) -f\left(
a\right)
\end{equation*}と表現できるため、これらを用いて\(\left( 1\right) \)を書き換えると、\begin{equation*}f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \approx f^{\prime }\left(
a\right) \cdot \Delta x
\end{equation*}を得ます。

改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能である場合には、\(0\)に十分近い任意の\(\Delta x\)において、以下の近似関係\begin{equation}f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \approx f^{\prime }\left(
a\right) \cdot \Delta x \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合、\(x\)の増分\(\Delta x\)を\(0\)に十分近づければ（\(\Delta x\rightarrow 0\)）、\(x\)の増分に対応する\(f\left( x\right) \)の増分（\(\left( 2\right) \)の左辺）を、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)と\(x\)の増分の積（\(\left( 2\right) \)の右辺）として近似できるということです。\(f\left( x\right) \)の増分の近似値を、\begin{equation*}df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x
\end{equation*}で表記し、これを\(f\left(x\right) \)の増分の主要部分（main part）や\(f\)の\(a\)における微分（differential at \(a\)）などと呼びます。\(\Delta x\)が\(0\)に十分近い場合には、\begin{equation*}f\left( a+\Delta x\right) -f\left( a\right) \approx df
\end{equation*}という近似関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能である場合、\(f\)の点\(a\)における微分は、\begin{equation}df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot \Delta x \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義されます。また、先に例を通じて確認したように、恒等関数\(x:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において微分であるとともに、点\(a\)における微分は、\begin{equation}dx=\Delta x \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たします。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を書き換えると、\begin{equation}df=f^{\prime }\left( a\right) \cdot dx \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ますが、\(dx=\Delta x\not=0\)であるため、\(\left( 3\right) \)の両辺を\(dx\)で割ると、\begin{equation*}\frac{df}{dx}=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を得ます。

改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能である場合には、以下の関係\begin{equation*}\frac{df}{dx}=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合、\(f\)の点\(a\)における微分\(df\)と恒等関数\(x\)の点\(a\)における微分\(dx\)の商をとれば、それは\(f\)の点における微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)と一致します。このような事情を踏まえた上で、微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)を微分商（differential quotient）と呼ぶこともできます。

演習問題