逆正接関数の微分
逆正接関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるということです。
定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{1+a^{2}}
\end{equation*}となります。
命題（逆正接関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{1+a^{2}}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{1+a^{2}}
\end{equation*}が成り立つ。
例（逆正接関数の導関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{1+x^{2}}
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{1+x^{2}}
\end{equation*}を定めます。
例（逆正接関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆正接関数\(\arctan \left(x\right) \)の合成関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ \arctan \left( x+1\right) \right] ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left[ \arctan \left( y\right) \right] ^{\prime }\right\vert
_{y=x+1}\cdot \left( x+1\right) ^{\prime }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{1+y^{2}}\right\vert _{y=x+1}\cdot 1\quad \because \text{逆正接関数・多項式関数の微分} \\
&=&\frac{1}{1+\left( x+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{1}{x^{2}+2x+2}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆正接関数\(\arctan \left(x\right) \)の合成関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ \arctan \left( x+1\right) \right] ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left[ \arctan \left( y\right) \right] ^{\prime }\right\vert
_{y=x+1}\cdot \left( x+1\right) ^{\prime }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{1+y^{2}}\right\vert _{y=x+1}\cdot 1\quad \because \text{逆正接関数・多項式関数の微分} \\
&=&\frac{1}{1+\left( x+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{1}{x^{2}+2x+2}
\end{eqnarray*}を定めます。
例（逆正接関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)は有理関数\(\frac{1}{x}\)と逆正接関数\(\arctan \left(x\right) \)の合成関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ \arctan \left( \frac{1}{x}\right) \right] ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left[ \arctan \left( y\right) \right] ^{\prime }\right\vert _{y=\frac{1}{x}}\cdot \left( \frac{1}{x}\right) ^{\prime }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{1+y^{2}}\right\vert _{y=\frac{1}{x}}\cdot \left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because \text{逆正接関数・有理関数の微分} \\
&=&\frac{1}{1+\left( \frac{1}{x^{2}}\right) }\cdot \left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \\
&=&\left( \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\right) \left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \\
&=&-\frac{1}{1+x^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)は有理関数\(\frac{1}{x}\)と逆正接関数\(\arctan \left(x\right) \)の合成関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ \arctan \left( \frac{1}{x}\right) \right] ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left[ \arctan \left( y\right) \right] ^{\prime }\right\vert _{y=\frac{1}{x}}\cdot \left( \frac{1}{x}\right) ^{\prime }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{1+y^{2}}\right\vert _{y=\frac{1}{x}}\cdot \left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because \text{逆正接関数・有理関数の微分} \\
&=&\frac{1}{1+\left( \frac{1}{x^{2}}\right) }\cdot \left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \\
&=&\left( \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\right) \left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \\
&=&-\frac{1}{1+x^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
逆正接関数の片側微分
片側微分に関しても同様の命題が成り立ちます。
命題（逆正接関数の片側微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{1}{1+a^{2}}
\end{equation*}が成り立つとともに、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{1}{1+a^{2}}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{1}{1+a^{2}}
\end{equation*}が成り立つとともに、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{1}{1+a^{2}}
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
問題（逆正接関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a\not=0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{a}\arctan \left( \frac{x}{a}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（逆正接関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( \frac{x+1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（逆正接関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x-\sqrt{1+x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（逆正接関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( x\right) \arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。微分係数\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 0\right)
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。微分係数\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 0\right)
\end{equation*}を求めてください。
問題（逆正接関数の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( \sqrt{e^{x}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。微分係数\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 0\right)
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。微分係数\begin{equation*}
f^{\prime }\left( 0\right)
\end{equation*}を求めてください。
