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逆正接関数(arctan関数)の極限

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逆正接関数の極限

逆正接関数\begin{equation*}
\arctan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、そこでの極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\arctan \left( x\right) =\arctan \left( a\right)
\end{equation*}となります。

命題(逆正接関数の極限)
逆正接関数\(\arctan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\arctan \left( x\right) =\arctan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(逆正接関数の極限)
逆正接関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、関数\begin{equation*}\arctan \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}が定義可能です。定義域の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\arcsin \left( x\right) =\arcsin \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(逆正接関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x+1\right) =a+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a+1\in \mathbb{R} \)であるため、逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a+1\)の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆正接関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a+1}\arctan \left( x\right) =\arctan \left( a+1\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a+1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\arctan
\left( x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\arctan \left( a+1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(逆正接関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と逆正接関数\(\arctan \left(x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) =\frac{a^{2}-1}{a-1}=a+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a+1\in \mathbb{R} \)であるため、逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a+1\)の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆正接関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a+1}\arctan \left( x\right) =\arctan \left( a+1\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a+1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\arctan \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\arctan \left( a+1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

逆正接関数の片側極限

先の命題を踏まえると、片側極限に関する以下の命題が得られます。

命題(逆正接関数の片側極限)
逆正接関数\(\arctan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\arctan \left( x\right) =\arctan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、\(\arctan \left( x\right) \)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\arctan \left( x\right) =\arctan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(逆正接関数の片側極限)
逆正接関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、関数\begin{equation*}\arctan \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}が定義可能です。定義域の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\arctan \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\arctan
\left( x\right) =\arctan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(逆正接関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x^{\frac{1}{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)と逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の端点\(0\)に注目したとき、無理関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}x^{\frac{1}{2}}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(x^{\frac{1}{2}}\)は\(0\)よりも大きい値をとりながら\(0\)に限りなく近づきます。逆正接関数\(\arctan\left( x\right) \)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆正接関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}\arctan \left( x\right) =\arctan \left( 0\right) =0
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(0\)において右側連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\arctan
\left( x^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&0\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

逆正接関数の無限大における極限

逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため正の無限大や負の無限大における極限を考えることができますが、逆正接関数は狭義単調関数である一方でその値域は\(\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)であることを踏まえると、以下が成り立つことが示されます。

命題(逆正接関数の無限大における極限)
逆正接関数\(\arctan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)が限りなく大きい任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\arctan \left( x\right) =\frac{\pi }{2}
\end{equation*}が成り立つ。また、\(\arctan \left( x\right) \)が限りなく小さい任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\arctan \left( x\right) =-\frac{\pi }{2}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(逆正接関数の無限大における極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x^{\frac{1}{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)と逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、無理関数の無限大における極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{\frac{1}{2}}=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。関数\(\arctan \left( x\right) \)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、逆正接関数の無限大における極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\arctan \left( x\right) =\frac{\pi }{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\arctan \left( x^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\pi }{2}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(逆正接関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( \frac{x}{4}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。

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問題(逆正接関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( 2\arctan \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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