逆正接関数（arctan関数）の極限

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\arctan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x+1\right) =a+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a+1\in \mathbb{R} \)であるため、逆正接関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a+1}\arctan \left( x\right) =\arctan \left( a+1\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a+1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\arctan
\left( x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\arctan \left( a+1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arcsin \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と逆正接関数\(\arctan \left(x\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) =\frac{a^{2}-1}{a-1}=a+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a+1\in \mathbb{R} \)であるため、逆正接関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a+1}\arctan \left( x\right) =\arctan \left( a+1\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(a+1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\arctan \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\arctan \left( a+1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\arctan \left(
a\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\arctan \left(
a\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x^{\frac{1}{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)と逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の端点\(0\)に注目したとき、無理関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}x^{\frac{1}{2}}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(x^{\frac{1}{2}}\)は\(0\)よりも大きい値をとりながら\(0\)に限りなく近づきます。逆正接関数\(\arctan\left( x\right) \)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆正接関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}\arctan \left( x\right) =\arctan \left( 0\right) =0
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arctan \left( x\right) \)は点\(0\)において右側連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\arctan
\left( x^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&0\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }\arctan \left( x\right) =\frac{\pi }{2} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }\arctan \left( x\right) =-\frac{\pi }{2}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x^{\frac{1}{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)と逆正接関数\(\arctan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、無理関数の無限大における極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{\frac{1}{2}}=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。関数\(\arctan \left( x\right) \)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、逆正接関数の無限大における極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\arctan \left( x\right) =\frac{\pi }{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\arctan \left( x^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\pi }{2}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( \frac{x}{4}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( 2\arctan \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。