WIIS

関数

数列を用いた関数の連続性の判定

目次

Mailで保存
Xで共有

関数の連続性と数列の極限の関係

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。このような関数が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。ただ、以上の定義にもとづいて関数が連続であることを証明するのは面倒です。関数の連続性は数列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用したほうが関数が連続であることを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であるものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(X\)上の点を項とするとともに点\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。

この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の要素であるため、それに対して関数\(f\)は像\(f\left( x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left( x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\begin{equation*}\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。関数\(f\)は点\(a\)において定義されているため\(f\left(a\right) \)は有限な実数ですが、先の数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)は\(f\left( a\right) \)へ収束することが保証されます。

命題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であるものとする。\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left(x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

先の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成します。このようにして得られた任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} \)が\(f\left( a\right) \)へ収束する場合には、関数\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられているものとする。\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)は点\(a\)において連続である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

以上の2つの命題により、関数の連続性の概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた関数の連続性の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられているものとする。\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が点\(a\)において連続であるための必要十分条件である。

この命題が要求していることは、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(f\left( a\right) \)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、関数\(f\)が点\(a\)において連続であることを示したことにはなりません。

 

関数が連続であることの証明

先の命題より、関数の連続性に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、それに対して、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、先の命題より\(f\)が点\(a\)において連続であることを示したことになります。

例(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において連続であることを数列を用いて示します。そこで、\(a\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 3x_{n}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\quad \because \text{収束する数列の定数倍} \\
&=&3a\quad \because \left( 1\right) \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続であることが明らかになりました。
例(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において連続であることを数列を用いて示します。そこで、\(a\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( x_{n}\right) ^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\right) ^{2}\quad \because \text{収束する数列の積} \\
&=&a^{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続であることが明らかになりました。

 

関数が連続ではないことの証明

先の命題は、関数が連続でないことを示す際にも有用です。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)が\(f\left( a\right) \)へ収束しないことを示せば、\(f\)が点\(a\)において連続ではないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在することは、\(f\)が点\(a\)において連続であることと矛盾するからです。

例(関数が連続でないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(2\)において連続でないことを数列を用いて示します。そこで、一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2+\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)に注目します。この数列は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)上の点を項とし、なおかつ\(2\)へ収束する数列です。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(x_{n}>2\)であるため、\(f\)の定義より、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の一般項は、\begin{equation*}f\left( x_{n}\right) =\left( 2+\frac{1}{n}\right) +3=5+\frac{1}{n}
\end{equation*}であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty
}\left( 5+\frac{1}{n}\right) =5
\end{equation*}となります。その一方で、\begin{equation*}
f\left( 2\right) =2+1=3
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) \not=f\left( 2\right)
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、関数\(f\)は点\(2\)において連続ではありません。

 

演習問題

問題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x-2
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において連続であることを数列を用いて証明してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において連続であることを数列を用いて証明してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(1\)において連続であることを数列を用いて証明してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(0\)において連続であることを数列を用いて証明してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が点\(0\)において連続ではないことを数列を用いて証明してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続でないことを数列を用いて証明してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録