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数列を用いた関数の連続性の判定

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関数の連続性と数列の極限の関係

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることとは、\(f\)が点\(a\)を含めてその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに有限な極限へ収束し、さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。ただ、関数の連続性は数列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が関数が連続であることを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することは数列を用いて表現することもできます。具体的には、点\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだときに、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することは、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(b\)へ収束するための必要十分条件です。では、関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることは、数列を用いてどのように表現できるでしょうか。

上の関数\(f\)が点\(a\)において連続であるものとします。\(f\)が\(a\)において連続であることは\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限が\(f\left( a\right) \)と一致することを意味するため、上の主張における\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。また、\(f\)が\(a\)において連続である場合には\(f\)は\(a\)において定義されていることが前提になるため、上の主張における数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(a\)を項として持つ可能性を排除する必要はありません。以上を踏まえると、関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることは、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだときに、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(f\left( a\right) \)へ収束することとして表現できそうです。実際、これは正しい主張です。以下で順番に示します。

命題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているものとする。このとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。関数\(f\)が点\(a\)において連続であるならば、先のように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)を構成します。このように定義される数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)が\(f\left( a\right) \)へ収束する場合には、関数\(f\)が点\(a \)において連続であることが保証されます。

命題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているものとする。このとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)は点\(a\)において連続である。
証明

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この命題について注意しなければならないのは、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(f\left( a\right) \)へ収束することが前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、関数の連続性という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた連続関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているものとする。このとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が点\(a\)において連続であるための必要十分条件である。

上の命題より、関数の連続性に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

例(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されています。そこで、\(f\)が点\(a\)において連続であることを数列を用いて示します。具体的には、\(a\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 3x_{n}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\quad \because \text{収束する数列の定数倍} \\
&=&3a\quad \because \left( 1\right) \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。

例(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されています。そこで、\(f\)が点\(a\)において連続であることを数列を用いて示します。具体的には、\(a\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( x_{n}\right) ^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\right) ^{2}\quad \because \text{収束する数列の積} \\
&=&a^{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。

 

関数が連続でないことの証明

先の命題は、関数が連続でないことを示す際にも有用です。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているものとします。その上で、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を適当に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束しないのであれば、先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。

例(関数が連続でないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(2\)において連続でないことを数列を用いて示します。そこで、一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2+\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)に注目します。この数列は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)上の点を項とし、なおかつ\(2\)へ収束する数列です。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(x_{n}>2\)であるため、\(f\)の定義より、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の一般項は、\begin{equation*}f\left( x_{n}\right) =\left( 2+\frac{1}{n}\right) +3=5+\frac{1}{n}
\end{equation*}であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty
}\left( 5+\frac{1}{n}\right) =5
\end{equation*}となりますが、これは\(f\left( 2\right) =2+1=3\)と一致しません。先の命題より、このような数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が存在することは\(f\)が点\(2\)において連続ではないことを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する2つの数列\(\{x_{n}\},\left\{ y_{n}\right\} \)を適当に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{f\left( y_{n}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束するのであれば、先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。

例(関数が連続でないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において連続ではないことを数列を用いて証明します。具体的には、一般項がそれぞれ、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&\frac{1}{n} \\
y_{n} &=&-\frac{1}{n}
\end{eqnarray*}で与えられる2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)に注目します。数列\(\left\{x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }1\quad \because \left( a\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。一方、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n}<0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=0
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、数列\(\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }0\quad \because \left( c\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)と\(\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)は異なる極限へ収束することが示されたため、\(f\)は点\(0\)において連続でないことが示されました。

 

演習問題

問題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x-2
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において連続であることを数列を用いて証明してください。
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問題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)が点\(a\)において連続であることを数列を用いて証明してください。
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問題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(1\)において連続であることを数列を用いて証明してください。
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問題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続でないことを数列を用いて証明してください。
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次回は位相を用いて関数の連続性を判定する方法について解説します。

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