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有理数ベキ関数の連続性

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有理数ベキ関数の連続性

自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだ上で、有理数ベキ関数\begin{equation*}x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(x^{\frac{z}{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されている場合、点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(有理数ベキ関数の連続性)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだ上で、有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(x^{\frac{z}{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(x^{\frac{z}{n}}\)は点\(a\)において連続である。
証明

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例(有理数ベキ関数の連続性)
有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{3}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x^{\frac{2}{3}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(x^{\frac{2}{3}}\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)の任意の点において同様であるため\(x^{\frac{2}{3}}\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(有理数ベキ関数の連続性)
有理数ベキ関数\(x^{\frac{5}{4}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の内点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(x^{\frac{5}{4}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(x^{\frac{5}{4}}\)点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} _{++}\)の任意の点において同様であるため\(x^{\frac{2}{3}}\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。
例(有理数ベキ関数の連続性)
有理数ベキ関数\(x^{-\frac{2}{3}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(x^{-\frac{2}{3}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(x^{-\frac{2}{3}}\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の任意の点において同様であるため\(x^{-\frac{2}{3}}\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。
例(有理数ベキ関数の連続性)
有理数ベキ関数\(x^{-\frac{5}{4}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(x^{-\frac{5}{4}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(x^{-\frac{5}{4}}\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} _{++}\)の任意の点において同様であるため\(x^{-\frac{5}{4}}\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。
例(有理数ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{\frac{2}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{5}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\(\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\)は点\(a\)において連続です。\(x^{\frac{2}{5}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であるため、\(x^{\frac{2}{5}}\)は点\(\sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\)および周辺の任意の点において定義されているため、有理数ベキ関数の連続性より、\(x^{\frac{2}{5}}\)は点\(\sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(有理数ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\right) ^{\frac{3}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{3}{5}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\(\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\)は点\(a\)において連続です。\(x^{\frac{3}{5}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であるため、\(x^{\frac{3}{5}}\)は点\(\frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\)および周辺の任意の点において定義されているため、有理数ベキ関数の連続性より、\(x^{\frac{3}{5}}\)は点\(\frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(有理数ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x^{\frac{3}{2}}-1}{x^{\frac{1}{2}}-1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)および有理数ベキ関数\(x^{\frac{3}{2}}\)は点\(a\)の周辺において定義されているため、\(x^{\frac{1}{2}}\)と\(x^{\frac{3}{2}}\)は点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)は点\(a\)において連続な関数どうしの四則演算として定義されているため、点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。

 

有理数ベキ関数の片側連続性

片側連続性に関しても先と同様の命題が成り立ちます。

命題(有理数ベキ関数の片側連続性)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだ上で、有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(x^{\frac{z}{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(x^{\frac{z}{n}}\)は点\(a\)において右側連続である。また、\(x^{\frac{z}{n}}\)が点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(x^{\frac{z}{n}}\)は点\(a\)において左側連続である。
例(有理数ベキ関数の連続性)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、有界閉区間上に有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。定義域の内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、有理数ベキ関数の連続性より、\(x^{\frac{z}{n}}\)は点\(a\)において連続です。定義域の端点\(0\)に注目したとき、有理数ベキ関数の右側連続性より、\(x^{\frac{z}{n}}\)は点\(0\)において右側連続です。定義域の端点\(1\)に注目したとき、有理数ベキ関数の左側連続性より、\(x^{\frac{z}{n}}\)は点\(0\)において左側連続です。したがって、\(x^{\frac{z}{n}}\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。
例(有理数ベキ関数の連続性)
有理数ベキ関数\(x^{\frac{5}{4}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の内点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、有理数ベキ関数の連続性より、\(x^{\frac{5}{4}}\)は点\(a\)において連続です。定義域の端点\(0\)に注目したとき、有理数ベキ関数の右側連続性より\(x^{\frac{5}{4}}\)は点\(0\)において連続です。したがって、\(x^{\frac{5}{4}}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続です。
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