有理数ベキ関数の連続性
有理数ベキ関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}と表されるということです。
有理数ベキ関数\(f\)の定義域\(X\)は\(z\)の符号および\(n,z\)の偶奇に依存して\(\mathbb{R} ,\mathbb{R} _{+},\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\mathbb{R} _{++}\)のいずれかになりますが、いずれの場合にも、定義域上の点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)は\(X\)上において連続です。
命題（有理数ベキ関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域である。点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(X\)上において連続である。
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域である。点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(X\)上において連続である。
例（有理数ベキ関数の連続性）
以下の関数\begin{equation*}
x^{\frac{2}{3}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理数ベキ関数であるため、先の命題より、この関数は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
x^{\frac{2}{3}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理数ベキ関数であるため、先の命題より、この関数は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例（有理数ベキ関数の連続性）
以下の関数\begin{equation*}
x^{\frac{5}{4}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理数ベキ関数であるため、先の命題より、この関数は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続です。
x^{\frac{5}{4}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理数ベキ関数であるため、先の命題より、この関数は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続です。
例（有理数ベキ関数の連続性）
以下の関数\begin{equation*}
x^{-\frac{2}{3}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理数ベキ関数であるため、先の命題より、この関数は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。
x^{-\frac{2}{3}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理数ベキ関数であるため、先の命題より、この関数は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。
例（有理数ベキ関数の連続性）
以下の関数\begin{equation*}
x^{-\frac{5}{4}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理数ベキ関数であるため、先の命題より、この関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。
x^{-\frac{5}{4}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理数ベキ関数であるため、先の命題より、この関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。
例（有理数ベキ関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{\frac{2}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{5}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より\(\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\)は点\(a\)において連続です。\(x^{\frac{2}{5}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、点\(\sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\)は\(\mathbb{R} \)の内点であるため、有理数ベキ関数の連続性より\(x^{\frac{2}{5}}\)は点\(\sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{5}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より\(\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\)は点\(a\)において連続です。\(x^{\frac{2}{5}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、点\(\sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\)は\(\mathbb{R} \)の内点であるため、有理数ベキ関数の連続性より\(x^{\frac{2}{5}}\)は点\(\sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例（有理数ベキ関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\right) ^{\frac{3}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{3}{5}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より\(\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\)は点\(a\)において連続です。\(x^{\frac{3}{5}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、点\(\frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\)は\(\mathbb{R} \)の内点であるため、有理数ベキ関数の連続性より\(x^{\frac{3}{5}}\)は点\(\frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{3}{5}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より\(\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\)は点\(a\)において連続です。\(x^{\frac{3}{5}}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、点\(\frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\)は\(\mathbb{R} \)の内点であるため、有理数ベキ関数の連続性より\(x^{\frac{3}{5}}\)は点\(\frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例（有理数ベキ関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x^{\frac{3}{2}}-1}{x^{\frac{1}{2}}-1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)および有理数ベキ関数\(x^{\frac{3}{2}}\)は点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)は点\(a\)において連続な関数どうしの四則演算として定義されているため、点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)および有理数ベキ関数\(x^{\frac{3}{2}}\)は点\(a\)において連続です。したがって、\(f\)は点\(a\)において連続な関数どうしの四則演算として定義されているため、点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。
有理数ベキ関数の片側連続性
片側連続性ついても同様の命題が成り立ちます。
命題（有理数ベキ関数の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域である。点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(X\)上において連続である。以下が成り立つ。
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域である。点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(X\)上において連続である。以下が成り立つ。
- 点\(a\in X\)を任意に選んだとき、点\(a\)が集合\(\left\{x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であるならば、\(f\)は点\(a\)において右側連続である。
- 点\(a\in X\)を任意に選んだとき、点\(a\)が集合\(\left\{x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点であるならば、\(f\)は点\(a\)において左側連続である。
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