有界変動関数
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。それに対して、以下の条件\begin{equation}
a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}P=\left\{ x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} =\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}
\end{equation*}を区間\(\left[ a,b\right] \)の分割(partition)と呼びます。なお、分割\(P\)の要素である分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができるものとします。分点どうしは等間隔である必要もありません。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)が与えられれば、区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である有限\(n\)個の小区間\begin{equation*}\left[ x_{0},x_{1}\right] ,\left[ x_{1},x_{2}\right] ,\cdots ,\left[
x_{k-1},x_{k}\right] ,\cdots ,\left[ x_{n-1},x_{n}\right]
\end{equation*}が得られますが、それぞれの小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)に関して、その端点に対して関数\(f\)が定める値の差の絶対値\begin{equation*}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left( x_{k-1}\right) \right\vert
\end{equation*}をとり、さらにそれらの総和\begin{eqnarray*}
V\left( f,P\right) &=&\left\vert f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{0}\right)
\right\vert +\left\vert f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right)
\right\vert +\cdots +\left\vert f\left( x_{n}\right) -f\left( x_{n-1}\right)
\right\vert \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left( x_{k-1}\right)
\right\vert
\end{eqnarray*}をとります。これを分割\(P\)のもとでの関数\(f\)の変動(variation of \(f\)associated with \(P\))と呼びます。
関数\(f\)の変動\(V\left( f,P\right) \)の大きさは区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)の選び方に依存して変化するため、関数\(f\)の変動がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}となります。この集合の上限を、\begin{equation*}
TV\left( f\right) =\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}で表記し、これを関数\(f\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上での全変動(total variation of \(f\) on \(\left[ a,b\right] \))と呼びます。その上で、関数\(f\)の全変動が有限な実数として定まる場合には、すなわち、\begin{equation*}TV\left( f\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数\(f\)は区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動(bounded variation on \(\left[ a,b\right] \))であると言います。
区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)としてどのようなものを選んだ場合においても関数\(f\)の変動\(V\left(f,P\right) \)の大きさがある実数より小さいことが保証されることは、すなわち、\begin{equation*}\exists M>0,\ \forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が有界変動であるための必要十分条件です。
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であるための必要十分条件である。ただし、\(P\)は区間\(\left[ a,b\right] \)の分割であり、\(V\left( f,P\right) \)は分割\(P\)のもとでの関数\(f\)の変動である。
\end{equation*}と表されるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert c-c\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上より、正の実数\(M>0\)を適当に選べば、\begin{equation*}\forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。ちなみに、\(f\)の全変動は、\begin{eqnarray*}TV\left( f\right) &=&\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ 0\right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert x_{k}-x_{k-1}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \quad \because x_{k}>x_{k-1} \\
&=&\left( x_{1}-x_{0}\right) +\left( x_{2}-x_{1}\right) +\cdots +\left(
x_{n}-x_{n-1}\right) \\
&=&x_{n}-x_{0}\quad \because \text{相殺} \\
&=&b-a\quad \because \text{分割}P\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。\(b-a>0\)は定数であるとともに、\begin{equation*}\forall P:V\left( f,P\right) \leq b-a
\end{equation*}であるため、\(f\)は\(\left[ a,b\right]\)上で有界変動です。ちなみに、\(f\)の全変動は、\begin{eqnarray*}TV\left( f\right) &=&\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ b-a\right\} \\
&=&b-a
\end{eqnarray*}です。
f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&\leq &\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert \quad
\because f\text{は単調増加}
\end{eqnarray*}を満たします。そこで、\begin{equation*}
M>\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert
\end{equation*}を満たす正の実数\(M>0\)を選べば、\begin{equation*}\forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。
f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&\leq &\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert \quad
\because f\text{は単調減少}
\end{eqnarray*}を満たします。そこで、\begin{equation*}
M>\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert
\end{equation*}を満たす正の実数\(M>0\)を選べば、\begin{equation*}\forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。
関数は有界変動であるとは限らない
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が有界変動であることと、\begin{equation*}\exists M>0,\ \forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であることが明らかになりました。したがって、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists P:V\left( f,P\right) >M
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が有界変動ではないことと必要十分です。実際、この場合には、関数\(f\)の変動からなる集合\begin{equation*}\left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}は上に有界ではないため、その上限は有限な実数として定まらず、\begin{equation*}
V\left( f,P\right) =+\infty
\end{equation*}となってしまいます。
関数は有界変動であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{x} & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上において有界変動ではないこと、つまり、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists P:V\left( f,P\right) >M
\end{equation*}が成り立つことを示します。\(M>0\)を任意に選んだ上で、\begin{equation}M<\frac{1}{m} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(m\in \left( 0,1\right) \)を選びます。\(m\rightarrow 0+\)の場合に\(\frac{1}{m}\rightarrow +\infty \)となるため、\(\left( 1\right) \)を満たす\(m\)は存在します。その上で、\(\left[ 0,1\right] \)の分割\begin{equation*}P=\left\{ 0,m,1\right\}
\end{equation*}に注目します。この分割\(P\)のもとでの\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,P\right) &=&\left\vert f\left( m\right) -f\left( 0\right)
\right\vert +\left\vert f\left( 1\right) -f\left( m\right) \right\vert \quad
\because \text{変動の定義} \\
&=&\left\vert \frac{1}{m}-0\right\vert +\left\vert 1-\frac{1}{m}\right\vert
\quad \because f\text{の定義} \\
&\geq &\left\vert \frac{1}{m}-0\right\vert \quad \because m\in \left(
0,1\right) \\
&=&\frac{1}{m}\quad \because m\in \left( 0,1\right) \\
&>&M\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を満たします。したがって\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界変動ではありません。
狭義単調数列を用いた有界変動ではないことの判定
区間\(\left[ a,b\right] \)上の点を項として持つ狭義単調数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \left[ a,b\right]
\end{equation*}が成り立つとともに、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( b_{1}\right) \ x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}<\cdots \\
&&\left( b_{2}\right) \ x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{n}>\cdots
\end{eqnarray*}のどちらか一方が成り立つということです。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は無限個の項を持つため区間\(\left[ a,b\right] \)の分割ではなく、したがって数列の項から関数の変動を計算することはできません。その一方で、番号\(N\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}y_{n}=\left\{
\begin{array}{cl}
a & \left( if\ n=0\right) \\
x_{n} & \left( if\ n=1,2\cdots ,N\right) \\
b & \left( if\ n=N+1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}として\(\left\{ y_{n}\right\} \)を定義すれば、これは区間\(\left[ a,b\right] \)の分割になります。この分割\(\left\{ y_{n}\right\} \)のもとでの関数\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,\left\{ y_{n}\right\} \right) &=&\sum_{n=1}^{N+1}\left\vert
f\left( y_{n}\right) -f\left( y_{n-1}\right) \right\vert \\
&=&\left\vert f\left( y_{1}\right) -f\left( y_{0}\right) \right\vert
+\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( y_{n}\right) -f\left( y_{n-1}\right)
\right\vert +\left\vert f\left( y_{N+1}\right) -f\left( y_{N}\right)
\right\vert \\
&\geq &\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( y_{n}\right) -f\left( y_{n-1}\right)
\right\vert \\
&=&\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( x_{n}\right) -f\left( x_{n-1}\right)
\right\vert \quad \because \left\{ y_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
V\left( f,\left\{ y_{n}\right\} \right) \geq \sum_{n=2}^{N}\left\vert
f\left( x_{n}\right) -f\left( x_{n-1}\right) \right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に含まれる最初の有限個の項\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}\)について、\begin{equation*}\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( x_{n}\right) -f\left( x_{n-1}\right)
\right\vert
\end{equation*}を計算した上で、これが\(N\rightarrow +\infty \)の場合に限りなく大きくなることを示せば、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}V\left( f,\left\{ y_{n}\right\} \right) =+\infty
\end{equation*}を得ます。このような分割\(\left\{ y_{n}\right\} \)が存在することは、関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動ではないことを意味します。
改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)上の点を項として持つ狭義単調数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、\begin{equation*}\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( x_{n}\right)
-f\left( x_{n-1}\right) \right\vert =+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示せば、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動ではないことを示したことになります。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
\frac{1}{x} & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が\(\left[ 0,1\right]\)上において有界変動ではないことを先に示しましたが、同じことを数列を用いて示します。一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)に注目します。この数列は\(\left[ 0,1\right] \)上の点を項として持つ狭義単調減少数列です。さらに、\begin{eqnarray*}\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( x_{n}\right) -f\left( x_{n-1}\right)
\right\vert &=&\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( x_{n}\right) -f\left(
x_{n-1}\right) \right\vert \\
&=&\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( \frac{1}{n}\right) -f\left( \frac{1}{n-1}\right) \right\vert \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sum_{n=2}^{N}\left\vert n-\left( n-1\right) \right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sum_{n=2}^{N}1 \\
&=&N-1 \\
&\rightarrow &+\infty \quad \left( N\rightarrow +\infty \right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上で有界変動ではありません。
演習問題
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
\cos \left( \frac{\pi }{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上で有界変動ではないことを示してください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
\sin \left( \frac{\pi }{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上で有界変動ではないことを示してください。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動ではないことを示してください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
x\cos \left( \frac{\pi }{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上で有界変動ではないことを示してください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x^{2}}\right) & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上で有界変動ではないことを示してください。
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