有界変動関数

有界変動関数

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。それに対して、以下の条件\begin{equation}
a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}P=\left\{ x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} =\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}
\end{equation*}を区間\(\left[ a,b\right] \)の分割（partition）と呼びます。なお、分割\(P\)の要素である分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができるものとします。分点どうしは等間隔である必要もありません。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)が与えられれば、区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である有限\(n\)個の小区間\begin{equation*}\left[ x_{0},x_{1}\right] ,\left[ x_{1},x_{2}\right] ,\cdots ,\left[
x_{k-1},x_{k}\right] ,\cdots ,\left[ x_{n-1},x_{n}\right] \end{equation*}が得られますが、それぞれの小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)に関して、その端点に対して関数\(f\)が定める値の差の絶対値\begin{equation*}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left( x_{k-1}\right) \right\vert
\end{equation*}をとり、さらにそれらの総和\begin{eqnarray*}
V\left( f,P\right) &=&\left\vert f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{0}\right)
\right\vert +\left\vert f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right)
\right\vert +\cdots +\left\vert f\left( x_{n}\right) -f\left( x_{n-1}\right)
\right\vert \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left( x_{k-1}\right)
\right\vert
\end{eqnarray*}をとります。これを分割\(P\)のもとでの関数\(f\)の変動（variation of \(f\)associated with \(P\)）と呼びます。

関数\(f\)の変動\(V\left( f,P\right) \)の大きさは区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)の選び方に依存して変化するため、関数\(f\)の変動がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}となります。この集合の上限を、\begin{equation*}
TV\left( f\right) =\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}で表記し、これを関数\(f\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上での全変動（total variation of \(f\) on \(\left[ a,b\right] \)）と呼びます。その上で、関数\(f\)の全変動が有限な実数として定まる場合には、すなわち、\begin{equation*}TV\left( f\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数\(f\)は区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動（bounded variation on \(\left[ a,b\right] \)）であると言います。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)としてどのようなものを選んだ場合においても関数\(f\)の変動\(V\left(f,P\right) \)の大きさがある実数より小さいことが保証されることは、すなわち、\begin{equation*}\exists M>0,\ \forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が有界変動であるための必要十分条件です。

関数は有界変動であるとは限らない

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が有界変動であることと、\begin{equation*}\exists M>0,\ \forall P:V\left( f,P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であることが明らかになりました。したがって、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists P:V\left( f,P\right) >M
\end{equation*}が成り立つことは\(f\)が有界変動ではないことと必要十分です。実際、この場合には、関数\(f\)の変動からなる集合\begin{equation*}\left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}は上に有界ではないため、その上限は有限な実数として定まらず、\begin{equation*}
V\left( f,P\right) =+\infty
\end{equation*}となってしまいます。

関数は有界変動であるとは限りません。以下の例より明らかです。

狭義単調数列を用いた有界変動ではないことの判定

区間\(\left[ a,b\right] \)上の点を項として持つ狭義単調数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つとともに、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( b_{1}\right) \ x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}<\cdots \\
&&\left( b_{2}\right) \ x_{1}>x_{2}>\cdots >x_{n}>\cdots
\end{eqnarray*}のどちらか一方が成り立つということです。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は無限個の項を持つため区間\(\left[ a,b\right] \)の分割ではなく、したがって数列の項から関数の変動を計算することはできません。その一方で、番号\(N\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}y_{n}=\left\{
\begin{array}{cl}
a & \left( if\ n=0\right) \\
x_{n} & \left( if\ n=1,2\cdots ,N\right) \\
b & \left( if\ n=N+1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}として\(\left\{ y_{n}\right\} \)を定義すれば、これは区間\(\left[ a,b\right] \)の分割になります。この分割\(\left\{ y_{n}\right\} \)のもとでの関数\(f\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( f,\left\{ y_{n}\right\} \right) &=&\sum_{n=1}^{N+1}\left\vert
f\left( y_{n}\right) -f\left( y_{n-1}\right) \right\vert \\
&=&\left\vert f\left( y_{1}\right) -f\left( y_{0}\right) \right\vert
+\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( y_{n}\right) -f\left( y_{n-1}\right)
\right\vert +\left\vert f\left( y_{N+1}\right) -f\left( y_{N}\right)
\right\vert \\
&\geq &\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( y_{n}\right) -f\left( y_{n-1}\right)
\right\vert \\
&=&\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( x_{n}\right) -f\left( x_{n-1}\right)
\right\vert \quad \because \left\{ y_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
V\left( f,\left\{ y_{n}\right\} \right) \geq \sum_{n=2}^{N}\left\vert
f\left( x_{n}\right) -f\left( x_{n-1}\right) \right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に含まれる最初の有限個の項\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}\)について、\begin{equation*}\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( x_{n}\right) -f\left( x_{n-1}\right)
\right\vert
\end{equation*}を計算した上で、これが\(N\rightarrow +\infty \)の場合に限りなく大きくなることを示せば、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}V\left( f,\left\{ y_{n}\right\} \right) =+\infty
\end{equation*}を得ます。このような分割\(\left\{ y_{n}\right\} \)が存在することは、関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動ではないことを意味します。

改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)上の点を項として持つ狭義単調数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、\begin{equation*}\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=2}^{N}\left\vert f\left( x_{n}\right)
-f\left( x_{n-1}\right) \right\vert =+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示せば、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動ではないことを示したことになります。

演習問題