単関数どうしの差のルベーグ積分

単関数の標準形どうしの差のルベーグ積分

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}0\leq \mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、\(X\)を定義域とする単関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)はルベーグ可測関数であるとともに、その値域が有限集合\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ a_{1},\cdots ,a_{K}\right\}
\end{eqnarray*}であるということです。

単関数\(f\)の値域に属するそれぞれの値\(a_{k}\in f\left(X\right) \)に対して、\(f\)による集合\(\left\{ a_{k}\right\} \)の逆像を、\begin{equation*}\left\{ f=a_{k}\right\} =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) =a_{k}\right\}
\end{equation*}と表記し、さらに集合\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)に関する特性関数を\begin{equation*}\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}で表記します。つまり、\(\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{equation*}\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ f\left( x\right) =a_{k}\right) \\
0 & \left( if\ f\left( x\right) \not=a_{k}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。単関数\(f\)の標準形とは、\begin{equation*}\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と定義される関数ですが、これはもとの単関数\(f\)と一致します。つまり、以下の関係\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\end{equation*}が成り立つため、単関数\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{
f=a_{k}\right\} }\right) \right) \left( x\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
x\right) \right] \\
&=&a_{1}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{1}\right\} }\left( x\right) +\cdots
+a_{K}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{K}\right\} }\left( x\right)
\end{eqnarray*}となります。さらに、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は有限な実数として定まるとともに、その値は、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( \left\{
f=a_{k}\right\} \right) \right] \end{equation*}と定まります。

有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの単関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の値域が、\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &=&\left\{ a_{1},\cdots ,a_{K}\right\} \\
g\left( X\right) &=&\left\{ b_{1},\cdots ,b_{L}\right\}
\end{eqnarray*}である場合、これらの標準形は、\begin{eqnarray*}
f &=&\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\\
g &=&\sum_{l=1}^{L}\left( b_{l}\cdot \chi _{\left\{ g=b_{l}\right\} }\right)
\end{eqnarray*}となります。以上の状況において関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f-g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) -g\left( x\right)
\quad \because f-g\text{の定義} \\
&=&\left( \sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\}
}\right) \right) \left( x\right) -\left( \sum_{l=1}^{L}\left( b_{l}\cdot
\chi _{\left\{ g=b_{l}\right\} }\right) \right) \left( x\right) \quad
\because f,g\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
x\right) \right] -\sum_{l=1}^{L}\left[ b_{l}\cdot \chi _{\left\{
g=b_{l}\right\} }\left( x\right) \right] \end{eqnarray*}を定めますが、この関数\(f-g\)は単関数になることが保証されます。さらに、\(f-g\)は\(X\)上においてルベーグ積分可能であり、これと関数\(f,g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f-g\right) d\mu =\int_{X}fd\mu -\int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、単関数\(f,g\)のルベーグ積分どうしの差をとれば、それは単関数\(f-g\)のルベーグ積分と一致します。

単関数どうしの差のルベーグ積分

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が、以下の条件\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{K}A_{k}
\end{equation*}を満たす有限個の互いに素な何らかのルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots,A_{K}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots,a_{K}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}と表されることは、\(f\)が単関数であるための必要十分条件です。さらに、以上のように表現された単関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は有限な実数として定まるとともに、その値は、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}と定まります。

有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの単関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が、以下の条件\begin{eqnarray*}
X &=&\bigsqcup\limits_{k=1}^{K}A_{k} \\
Y &=&\bigsqcup\limits_{l=1}^{L}B_{l}
\end{eqnarray*}を満たすルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots ,A_{K},B_{1},\cdots ,B_{L}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots,a_{K},b_{1},\cdots ,b_{L}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}f &=&\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) \\
g &=&\sum_{l=1}^{L}\left( b_{l}\cdot \chi _{B_{l}}\right)
\end{eqnarray*}と表される状況を想定します。関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f-g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) -g\left( x\right)
\quad \because f-g\text{の定義} \\
&=&\left( \sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) \right)
\left( x\right) -\left( \sum_{l=1}^{L}\left( b_{l}\cdot \chi _{B_{l}}\right)
\right) \left( x\right) \quad \because f,g\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{K}\left[ \left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) \left(
x\right) \right] -\sum_{l=1}^{L}\left[ \left( b_{l}\cdot \chi
_{B_{l}}\right) \left( x\right) \right] \end{eqnarray*}を定めますが、この関数\(f-g\)もまた単関数になることが保証されます。さらに、\(f-g\)は\(X\)上においてルベーグ積分可能であり、これと関数\(f,g\)の\(X\)上におけるルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f-g\right) d\mu =\int_{X}fd\mu -\int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、単関数\(f,g\)のルベーグ積分どうしの差をとれば、それは単関数\(f-g\)のルベーグ積分と一致します。

結論をまとめます。

演習問題