ファトゥの補題と単調収束定理

ファトゥの補題

有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された一様有界なルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束する場合には、\(f\)もまた有界なルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=\int_{X}\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }f_{n}=\int_{X}f
\end{equation*}成り立つことを明らかにしました（有界収束定理）。では、有限測度を持つとは限らない一般のルベーグ可測集合上に定義され、なおかつ非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数列についても同様の主張は成り立つのでしょうか。順番に考えます。

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられた状況において、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。その上で、\(X\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)をとります。つまり、この関数列の一般項\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}は拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、\begin{equation*}
\forall x\in X:0\leq f_{n}\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

さらに、このルベーグ関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(X\)上において拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}へ各点収束するものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。ルベーグ関数列の各点極限はルベーグ関数であるため、\(f\)もまた拡大実数値ルベーグ関数です。また、非負値をとる関数列の各点極限もまた非負値をとるため、\(f\)もまた非負値をとります。以上より、与えられた条件のもとでは\(f\)もまた\(X\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数になることが明らかになりました。

先の関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)の\(X\)上におけるルベーグ積分をそれぞれ特定すれば拡大実数列\begin{equation*}\left\{ \int_{X}f_{n}\right\} =\left\{ \int_{X}f_{1},\int_{X}f_{2},\cdots
\right\}
\end{equation*}が得られるため、その下極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \int_{X}f_{n}
\end{equation*}に相当する拡大実数をとることができます。一方、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の各点極限である関数\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分をとれば拡大実数\begin{equation*}\int_{X}f
\end{equation*}が得られます。このとき、両者の間には以下の関係\begin{equation*}
\int_{X}f\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\inf \int_{X}f_{n}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。これをファトゥの補題（Fatou’s lemma）と呼びます。つまり、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の各点極限である関数\(f\)のルベーグ積分の値（左辺）は、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である個々の関数のルベーグ積分からなる拡大実数列\(\left\{ \int_{X}f_{n}\right\} \)の下極限（右辺）以下になります。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ各点収束することは、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}すなわち、\(X\)上において、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}=f \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。また、拡大実数列が拡大実数へ収束する場合には極限と下極限が一致するため、\begin{equation*}
\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\left( x\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\(X\)上において、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}
\quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\(X\)上において、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}=f
\end{equation*}が成り立つため、ファトゥの補題の主張\begin{equation*}
\int_{X}f\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\inf \int_{X}f_{n}
\end{equation*}は以下の命題\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\inf
\int_{X}f_{n}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の下極限である関数\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\)のルベーグ積分の値（左辺）は、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である個々の関数のルベーグ積分からなる拡大実数列\(\left\{\int_{X}f_{n}\right\} \)の下極限（右辺）以下になります。

ほとんどいたるところで各点収束する場合のファトゥの補題

ファトゥの補題は、\(X\)上のすべての点において関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ各点収束すること条件として要求しています。実際には、\(X\)上のほとんどいたるところで関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ各点収束する場合にも同様の主張が成り立ちます。

ファトウの補題は等号で成立するとは限らない

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するならば、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}f\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\inf \int_{X}f_{n}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。この関係は等号で成立するとは限りません。つまり、\begin{equation*}
\int_{X}f<\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \int_{X}f_{n}
\end{equation*}が成立し得るということです。以下の例より明らかです。

ファトゥの補題を用いたルベーグ積分列の収束判定

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上のほとんどいたるところで拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。この場合、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるため、そのルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}f
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まります。特に、\begin{equation*}
\int_{X}f=+\infty
\end{equation*}である場合には、ファトゥの補題より、\begin{equation*}
+\infty \leq \lim_{n\rightarrow \infty }\inf \int_{X}f_{n}
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \int_{X}f_{n}=+\infty
\end{equation*}を得ます。ただし、左辺は関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)のルベーグ積分からなる拡大実数列\(\left\{ \int_{X}f_{n}\right\} \)の下極限です。拡大実数列の極限が1つの拡大実数として定まる場合、下極限と極限は一致するため、このとき、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。以上の議論より、\begin{equation*}
\int_{X}f=+\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty
}\int_{X}f_{n}=+\infty
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。

以上を踏まえると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)のルベーグ積分列\(\left\{ \int_{X}f_{n}\right\} \)が正の無限大へ収束することを以下の手順で判定できます。

1. 与えられた関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上のほとんどいたるところで各点収束する関数\(f\)を特定する。
2. 関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分を計算し、それが、\begin{equation*}\int_{X}f=+\infty \end{equation*}を満たすことを確認する。この場合には、\begin{equation*}
   \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=+\infty
   \end{equation*}が成り立つ。

単調収束定理（ファトウの補題が等号で成立するための条件）

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するならば、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}f\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\inf \int_{X}f_{n}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。加えて、この不等式は等号で成立するとは限らないことを確認しました。

以上の条件に加えて関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が単調増加であることを認める場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq f_{1}\left( x\right) \leq f_{2}\left( x\right) \leq
\cdots \leq f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots \leq f
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\int_{X}f=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \int_{X}f_{n}
\end{equation*}が成立することを保証できます。これを単調収束定理（monotone converge theorem）と呼びます。つまり、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の各点極限である関数\(f\)のルベーグ積分の値（左辺）は、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である個々の関数のルベーグ積分からなる拡大実数列\(\left\{\int_{X}f_{n}\right\} \)の下極限（右辺）と一致します。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ各点収束することは、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}すなわち、\(X\)上において、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}=f \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。また、拡大実数列が拡大実数へ収束する場合には極限と下極限が一致するため、\begin{equation*}
\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\left( x\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\(X\)上において、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}
\quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\(X\)上において、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}=f
\end{equation*}が成り立つため、単調収束定理の主張\begin{equation*}
\int_{X}f=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \int_{X}f_{n}
\end{equation*}は以下の命題\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf
\int_{X}f_{n}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の下極限である関数\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\inf f_{n}\)のルベーグ積分の値（左辺）は、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である個々の関数のルベーグ積分からなる拡大実数列\(\left\{\int_{X}f_{n}\right\} \)の下極限（右辺）と一致します。

ほとんどいたるところで各点収束する場合の単調収束定理

単調収束定理は、\(X\)上のすべての点において関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f\)へ各点収束する状況において、\(X\)上のすべての点において\(0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots \leq f\)が成立することを条件として要求しています。実際には、\(X\)上のほとんどいたるところで\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(f\)へ各点収束する状況において、\(X\)上のほとんどいたるところで\(0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots \leq f\)が成立する場合にも同様の主張が成り立ちます。

単調収束定理は単調減少列については成り立たない

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するとともに、\(X\)上において、\begin{equation}0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots \leq f \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つならば、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation}\int_{X}f=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \int_{X}f_{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。一方で、\(\left( 1\right) \)の代わりに、\(X\)上において、\begin{equation*}0\leq f\leq \cdots \leq f_{2}\leq f_{1}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left( 2\right) \)は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

単調収束定理を用いたルベーグ積分列の収束判定

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上のほとんどいたるところで拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。さらに、\(X\)上のほとんどいたるところで、\begin{equation*}0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots \leq f
\end{equation*}が成り立つものとします。この場合、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるため、そのルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}f
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まりますが、単調収束定理より、以下の関係\begin{eqnarray*}
\int_{X}f &<&+\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }\inf
\int_{X}f_{n}=\int_{X}f<+\infty \\
\int_{X}f &=&+\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }\inf
\int_{X}f_{n}=\int_{X}f=+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。拡大実数列の極限が1つの拡大実数として定まる場合、下極限と極限は一致するため、以上の関係を、\begin{eqnarray*}
\int_{X}f &<&+\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty
}\int_{X}f_{n}=\int_{X}f<+\infty \\
\int_{X}f &=&+\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty
}\int_{X}f_{n}+\infty
\end{eqnarray*}と表現できます。

以上を踏まえると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)のルベーグ積分列\(\left\{ \int_{X}f_{n}\right\} \)が正の無限大へ収束することを以下の手順で判定できます。

1. 与えられた関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上のほとんどいたるところで各点収束する関数\(f\)を特定した上で、\(X\)上のほとんどいたるところで\(0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots \leq f\)を満たすことを確認する。
2. 関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分を計算する。\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には\(\left\{ \int_{X}f_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=\int_{X}f \end{equation*}が成り立つ。\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能ではない場合には\(\left\{\int_{X}f_{n}\right\} \)は正の無限大へ収束する。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=+\infty
   \end{equation*}が成り立つ。

単調収束定理を用いたルベーグ積分可能性の判定

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上のほとんどいたるところで拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。さらに、\(X\)上のほとんどいたるところで、\begin{equation*}0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots \leq f
\end{equation*}が成り立つものとします。それぞれの関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)のルベーグ積分からなる拡大実数列\(\left\{ \int_{X}f_{n}\right\} \)をとった上で、その極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}
\end{equation*}をとります。拡大実数列が収束する場合には極限と下極限が一致するため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf
\int_{X}f_{n}
\end{equation*}を得ます。すると、単調収束定理より、\begin{equation*}
\int_{X}f=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n} &<&+\infty \Rightarrow f\text{は}X\text{上でルベーグ積分可能である} \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n} &=&+\infty \Rightarrow f\text{は}X\text{上でルベーグ積分可能ではない}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

以上を踏まえると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)のルベーグ積分可能性を以下の手順で判定できます。

1. \(X\)上のほとんどいたるところで\(f\)へ各点収束するとともに\(0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots \leq f\)を満たす拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)を適当に選ぶ。
2. それぞれの関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)のルベーグ積分からなる拡大実数列\(\left\{ \int_{X}f_{n}\right\} \)をとった上で、その極限\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n} \quad \cdots (1) \end{equation}を特定する。
3. \(\left( 1\right) \)が有限な実数として定まる場合には\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{X}f=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n} \end{equation*}が成り立つ。一方、\(\left( 1\right) \)が正の無限大である場合には\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能ではない。つまり、\begin{equation*}\int_{X}f=+\infty
   \end{equation*}が成り立つ。

では、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、以上の条件を満たす拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)をどのように選べばよいでしょうか。\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合からなる列\(\left\{ A_{n}\right\} \)を選びます。ただし、\begin{equation}A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つものとします。その上で、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項である関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を、\begin{equation*}f_{n}=f\cdot \chi _{A_{n}}
\end{equation*}と定義します。仮定より\(A_{n}\)はルベーグ可測集合であり、ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測関数であるため\(\chi _{A_{n}}\)はルベーグ可測関数です。ルベーグ可測関数どうしの積はルベーグ可測関数であるため\(f\cdot \chi _{A_{n}}\)すなわち\(f_{n}\)はルベーグ可測関数です。加えて、\(\left( 1\right) \)および特性関数の定義より、\begin{equation*}0\leq \chi _{A_{1}}\leq \chi _{A_{2}}\leq \cdots \leq 1
\end{equation*}が成り立ちますが、\(f\)は非負値をとるため、このとき、\begin{equation*}0\leq f\cdot \chi _{A_{1}}\leq f\cdot \chi _{A_{2}}\leq \cdots \leq f\cdot 1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots \leq f
\end{equation*}が成り立ちます。以上の議論より、関数列\begin{equation*}
\left\{ f_{n}\right\} =\left\{ f\cdot \chi _{A_{n}}\right\}
\end{equation*}は単調収束定理が要求する条件を満たすことが明らかになりました。

演習問題