ファトゥの補題

ファトゥの補題

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。

有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された一様有界なルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束する場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X:\left\vert f_{n}\left( x\right) \right\vert \leq M \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left(
x\right) =f\left( x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(f\)もまた有界なルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}d\mu =\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます（有界収束定理）。では、有限測度を持つとは限らない一般のルベーグ可測集合上に定義され、なおかつ非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数列についても同様の主張は成り立つのでしょうか。順番に考えます。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\}
\end{equation*}を構成します。つまり、この関数列の一般項\begin{equation*}
f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}は拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、\begin{equation*}
\forall x\in X:0\leq f_{n}\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

さらに、このルベーグ関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束するものとします。つまり、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の各点極限に相当する拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が存在して、\begin{equation*}
\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。非負値をとるルベーグ可測関数列の各点極限は非負値をとるルベーグ関数であるため、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であることに注意してください。

ルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数のルベーグ積分は非負の拡大実数として定まるため、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)の\(X\)上におけるルベーグ積分を要素として持つ拡大実数列\begin{equation*}\left\{ \int_{X}f_{n}d\mu \right\} =\left\{ \int_{X}f_{1}d\mu
,\int_{X}f_{2}d\mu ,\cdots \right\}
\end{equation*}が得られます。また、拡大実数列の下極限は拡大実数として定まるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}が拡大実数として定まります。各点極限\(f\)もまたルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるため、\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が拡大実数として定まりますが、両者の間には以下の関係\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu \leq \lim_{n\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}が成立することが保証されます。これをファトゥの補題（Fatou’s lemma）と呼びます。つまり、非負値をとるルベーグ可測関数列が各点収束する場合、その間数列のルベーグ積分からなる拡大実数列の下極限は、各点極限のルベーグ積分以上になります。

ファトウの補題は等号で成立するとは限らない

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束する場合には、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の不等式\begin{equation*}\int_{X}fd\mu \leq \lim_{n\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。この不等式は等号で成立するとは限りません。つまり、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu <\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}が成立し得るということです。以下の例より明らかです。

ファトゥの補題を用いたルベーグ積分列の極限の特定

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。このとき、ファトゥの補題より、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu \leq \lim_{n\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)とその各点極限\(f\)の間に以下の関係\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X:f_{n}\left( x\right) \leq f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :f_{n}\leq f
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu =\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が導かれます。

ファトゥの補題を用いたルベーグ積分列の発散判定

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。このとき、ファトゥの補題より、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation}\int_{X}fd\mu \leq \lim_{n\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{n}d\mu
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。特に、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{n}d\mu =+\infty
\end{equation*}を得ます。拡大実数列の極限が1つの拡大実数として定まる場合、下極限と極限は一致するため、このとき、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。以上の議論より、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu =+\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty
}\int_{X}f_{n}d\mu =+\infty
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

演習問題