ディニ微分を用いた関数の右側微分可能性の判定
右側微分とディニ微分の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以上の周辺において定義されているとともに、そこでの右側微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右上ディニ微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以上の周辺において定義されているとともに、そこでの右上ディニ微分係数\begin{equation*}D^{+}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
また、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右下ディニ微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以上の周辺において定義されているとともに、そこでの右下ディニ微分係数\begin{equation*}D_{+}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\inf \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において右上ディニ微分可能かつ右下ディニ微分可能であるとともに、右上ディニ微分係数と右下ディニ微分係数が一致することは、すなわち、\begin{equation*}D^{+}f\left( a\right) =D_{+}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が点\(a\)において右側微分可能であるための必要十分です。しかも、以上の条件が成り立つ場合、右側微分係数は右上ディニ微分係数や右下ディニ微分係数と一致します。つまり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =D^{+}f\left( a\right) =D_{+}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
命題（ディニ微分を用いた関数の右側微分可能性の判定）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)について、\(f\)が点\(a\)において右上ディニ微分可能かつ右下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}D^{+}f\left( a\right) =D_{+}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能であるための必要十分条件である。しかもこのとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =D^{+}f\left( a\right) =D^{+}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能であるための必要十分条件である。しかもこのとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =D^{+}f\left( a\right) =D^{+}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（右側微分可能な関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =2a
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。点\(a\in \mathbb{R} \)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left( a+h\right)
^{2}-a^{2}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a}{h} \\
&=&2a+h
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
D^{+}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{右上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ 2a+h\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( 2a+\delta \right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
D_{+}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{右下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ 2a+h\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}2a \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(a\)において右上ディニ微分可能かつ右下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}D^{+}f\left( a\right) =D_{+}f\left( a\right) =2a
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =2a
\end{equation*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =2a
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。点\(a\in \mathbb{R} \)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left( a+h\right)
^{2}-a^{2}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a}{h} \\
&=&2a+h
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
D^{+}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{右上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ 2a+h\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( 2a+\delta \right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
D_{+}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{右下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ 2a+h\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}2a \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(a\)において右上ディニ微分可能かつ右下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}D^{+}f\left( a\right) =D_{+}f\left( a\right) =2a
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =2a
\end{equation*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（右側微分可能な関数）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{1}{h}\left( \frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{h}\left[ \frac{a-\left( a+h\right) }{a\left( a+h\right) }\right] \\
&=&-\frac{1}{a\left( a+h\right) }
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
D^{+}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{右上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a+\delta \right)
}\right) & \left( if\ a>0\right) \\
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a^{2}}\right) & \left(
if\ a<0\right)
\end{array}\right. \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
D_{+}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{右下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a^{2}}\right) & \left(
if\ a>0\right) \\
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a+\delta \right)
}\right) & \left( if\ a<0\right)
\end{array}\right. \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a^{2}}\right) \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(a\)において右上ディニ微分可能かつ右下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}D^{+}f\left( a\right) =D_{+}f\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{1}{h}\left( \frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{h}\left[ \frac{a-\left( a+h\right) }{a\left( a+h\right) }\right] \\
&=&-\frac{1}{a\left( a+h\right) }
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
D^{+}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{右上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a+\delta \right)
}\right) & \left( if\ a>0\right) \\
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a^{2}}\right) & \left(
if\ a<0\right)
\end{array}\right. \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
D_{+}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{右下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a^{2}}\right) & \left(
if\ a>0\right) \\
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a+\delta \right)
}\right) & \left( if\ a<0\right)
\end{array}\right. \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a^{2}}\right) \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(a\)において右上ディニ微分可能かつ右下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}D^{+}f\left( a\right) =D_{+}f\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
ディニ微分を用いた関数の左側微分可能性の判定
左側微分とディニ微分の間にも同様の関係が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において左側微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以下の周辺において定義されているとともに、そこでの左側微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において左上ディニ微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以下の周辺において定義されているとともに、そこでの左上ディニ微分係数\begin{equation*}D^{-}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\sup \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
また、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において左下ディニ微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以下の周辺において定義されているとともに、そこでの左下ディニ微分係数\begin{equation*}D_{-}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\inf \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において左上ディニ微分可能かつ左下ディニ微分可能であるとともに、左上ディニ微分係数と左下ディニ微分係数が一致することは、すなわち、\begin{equation*}D^{-}f\left( a\right) =D_{-}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が点\(a\)において左側微分可能であるための必要十分です。しかも、以上の条件が成り立つ場合、左側微分係数は左上ディニ微分係数や左下ディニ微分係数と一致します。つまり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =D^{-}f\left( a\right) =D_{-}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
命題（ディニ微分を用いた関数の左側微分可能性の判定）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)について、\(f\)が点\(a\)において左上ディニ微分可能かつ左下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}D^{-}f\left( a\right) =D_{-}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において左側微分可能であるための必要十分条件である。しかもこのとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =D^{-}f\left( a\right) =D_{-}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において左側微分可能であるための必要十分条件である。しかもこのとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =D^{-}f\left( a\right) =D_{-}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（左側微分可能な関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =2a
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。点\(a\in \mathbb{R} \)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left( a+h\right)
^{2}-a^{2}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a}{h} \\
&=&2a+h
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
D^{-}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{左上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{左側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ 2a+h\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}2a \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
D_{-}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{右下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ 2a+h\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( 2a-\delta \right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(a\)において左上ディニ微分可能かつ左下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}D^{-}f\left( a\right) =D_{-}f\left( a\right) =2a
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =2a
\end{equation*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =2a
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。点\(a\in \mathbb{R} \)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left( a+h\right)
^{2}-a^{2}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a}{h} \\
&=&2a+h
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
D^{-}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{左上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{左側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ 2a+h\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}2a \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
D_{-}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{右下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ 2a+h\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( 2a-\delta \right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(a\)において左上ディニ微分可能かつ左下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}D^{-}f\left( a\right) =D_{-}f\left( a\right) =2a
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =2a
\end{equation*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（左側微分可能な関数）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{1}{h}\left( \frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{h}\left[ \frac{a-\left( a+h\right) }{a\left( a+h\right) }\right] \\
&=&-\frac{1}{a\left( a+h\right) }
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
D^{-}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{左上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{左側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a^{2}}\right) & \left(
if\ a>0\right) \\
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a-\delta \right)
}\right) & \left( if\ a<0\right)
\end{array}\right. \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
D_{-}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{左下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{左側下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a-\delta \right)
}\right) & \left( if\ a>0\right) \\
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a^{2}}\right) & \left(
if\ a<0\right)
\end{array}\right. \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(a\)において左上ディニ微分可能かつ左下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}D^{-}f\left( a\right) =D_{-}f\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{1}{h}\left( \frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{h}\left[ \frac{a-\left( a+h\right) }{a\left( a+h\right) }\right] \\
&=&-\frac{1}{a\left( a+h\right) }
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
D^{-}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{左上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{左側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a^{2}}\right) & \left(
if\ a>0\right) \\
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a-\delta \right)
}\right) & \left( if\ a<0\right)
\end{array}\right. \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
D_{-}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{左下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{左側下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a-\delta \right)
}\right) & \left( if\ a>0\right) \\
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a^{2}}\right) & \left(
if\ a<0\right)
\end{array}\right. \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(a\)において左上ディニ微分可能かつ左下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}D^{-}f\left( a\right) =D_{-}f\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
ディニ微分を用いた右側微分不可能性の判定
関数\(f\)が点\(a\)において右上ディニ微分可能かつ右下ディニ微分可能であるとともに右上と右下の微分係数が一致する場合、そしてその場合にのみ、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であることが明らかになりました。したがって、\(f\)が点\(a\)において右上ディニ微分可能でない場合や右下ディニ微分可能ではない場合、もしくは両者の値が一致しない場合などには、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能ではありません。
例（右側微分可能ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{\left( 0+h\right) ^{\frac{1}{3}}-0^{\frac{1}{3}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{h^{\frac{1}{3}}}{h} \\
&=&h^{-\frac{2}{3}}
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
D^{+}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{右上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( N_{\delta }\left( 0\right) \backslash \left\{ 0\right\}
\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ h^{-\frac{2}{3}}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\}
\end{eqnarray*}となりますが、以下の集合\begin{equation*}
\left\{ h^{-\frac{2}{3}}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\}
\end{equation*}は上に有界ではなく、したがってその上限は存在しません。したがって、\(f\)は点\(0\)において右上ディニ微分可能ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{\left( 0+h\right) ^{\frac{1}{3}}-0^{\frac{1}{3}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{h^{\frac{1}{3}}}{h} \\
&=&h^{-\frac{2}{3}}
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
D^{+}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{右上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( N_{\delta }\left( 0\right) \backslash \left\{ 0\right\}
\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ h^{-\frac{2}{3}}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\}
\end{eqnarray*}となりますが、以下の集合\begin{equation*}
\left\{ h^{-\frac{2}{3}}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\}
\end{equation*}は上に有界ではなく、したがってその上限は存在しません。したがって、\(f\)は点\(0\)において右上ディニ微分可能ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではありません。
例（右側微分可能ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{-\left( 0+h\right)
^{\frac{1}{3}}+0^{\frac{1}{3}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\left( \frac{h^{\frac{1}{3}}}{h}\right) \\
&=&-\left( h^{-\frac{2}{3}}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
D^{+}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{右上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ -\left( h^{-\frac{2}{3}}\right)
\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}-\left( \delta ^{-\frac{2}{3}}\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において右上ディニ微分可能ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{-\left( 0+h\right)
^{\frac{1}{3}}+0^{\frac{1}{3}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\left( \frac{h^{\frac{1}{3}}}{h}\right) \\
&=&-\left( h^{-\frac{2}{3}}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
D^{+}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{右上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{右側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ -\left( h^{-\frac{2}{3}}\right)
\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}-\left( \delta ^{-\frac{2}{3}}\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において右上ディニ微分可能ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではありません。
ディニ微分を用いた左側微分不可能性の判定
関数\(f\)が点\(a\)において左上ディニ微分可能かつ左下ディニ微分可能であるとともに左上と左下の微分係数が一致する場合、そしてその場合にのみ、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であることが明らかになりました。したがって、\(f\)が点\(a\)において左上ディニ微分可能でない場合や左下ディニ微分可能ではない場合、もしくは両者の値が一致しない場合などには、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能ではありません。
例（左側微分可能ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{\left( 0+h\right) ^{\frac{1}{3}}-0^{\frac{1}{3}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{h^{\frac{1}{3}}}{h} \\
&=&h^{-\frac{2}{3}}
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
D^{-}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{左上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{左側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ h^{-\frac{2}{3}}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}となりますが、以下の集合\begin{equation*}
\left\{ h^{-\frac{2}{3}}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\}
\end{equation*}は上に有界ではなく、したがってその上限は存在しません。したがって、\(f\)は点\(0\)において左上ディニ微分可能ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において左側微分可能ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{\left( 0+h\right) ^{\frac{1}{3}}-0^{\frac{1}{3}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{h^{\frac{1}{3}}}{h} \\
&=&h^{-\frac{2}{3}}
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
D^{-}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{左上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{左側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ h^{-\frac{2}{3}}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}となりますが、以下の集合\begin{equation*}
\left\{ h^{-\frac{2}{3}}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\}
\end{equation*}は上に有界ではなく、したがってその上限は存在しません。したがって、\(f\)は点\(0\)において左上ディニ微分可能ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において左側微分可能ではありません。
例（左側微分可能ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{-\left( 0+h\right)
^{\frac{1}{3}}+0^{\frac{1}{3}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\left( \frac{h^{\frac{1}{3}}}{h}\right) \\
&=&-\left( h^{-\frac{2}{3}}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
D^{-}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{左上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{左側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ -\left( h^{-\frac{2}{3}}\right)
\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}-\left( -\delta \right) ^{-\frac{2}{3}} \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において左上ディニ微分可能ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において左側微分可能ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{-\left( 0+h\right)
^{\frac{1}{3}}+0^{\frac{1}{3}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\left( \frac{h^{\frac{1}{3}}}{h}\right) \\
&=&-\left( h^{-\frac{2}{3}}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
D^{-}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{左上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{左側上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ -\left( h^{-\frac{2}{3}}\right)
\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}-\left( -\delta \right) ^{-\frac{2}{3}} \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において左上ディニ微分可能ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において左側微分可能ではありません。
ディニ微分を用いた微分可能性の判定
関数が微分可能であることと、その関数が右側微分可能かつ左側微分可能であることは必要十分です。以上の事実と先の諸命題を踏まえると以下を得ます。
命題（ディニ微分を用いた微分可能性の判定）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)について、\(f\)が点\(a\)において右上・左上・右下・左下微分可能であるとともに、\begin{equation*}D^{+}f\left( a\right) =D_{+}f\left( a\right) =D^{-}f\left( a\right)
=D_{-}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件である。しかもこのとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =D^{+}f\left( a\right) =D_{+}f\left( a\right)
=D^{-}f\left( a\right) =D_{-}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
=D_{-}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件である。しかもこのとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =D^{+}f\left( a\right) =D_{+}f\left( a\right)
=D^{-}f\left( a\right) =D_{-}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（微分可能な関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先に示したように、\begin{eqnarray*}D^{+}f\left( a\right) &=&2a \\
D_{+}f\left( a\right) &=&2a \\
D^{-}f\left( a\right) &=&2a \\
D_{-}f\left( a\right) &=&2a
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先に示したように、\begin{eqnarray*}D^{+}f\left( a\right) &=&2a \\
D_{+}f\left( a\right) &=&2a \\
D^{-}f\left( a\right) &=&2a \\
D_{-}f\left( a\right) &=&2a
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}が成り立ちます。
例（微分可能な関数）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、先に示したように、\begin{eqnarray*}D^{+}f\left( a\right) &=&-\frac{1}{a^{2}} \\
D_{+}f\left( a\right) &=&-\frac{1}{a^{2}} \\
D^{-}f\left( a\right) &=&-\frac{1}{a^{2}} \\
D_{-}f\left( a\right) &=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、先に示したように、\begin{eqnarray*}D^{+}f\left( a\right) &=&-\frac{1}{a^{2}} \\
D_{+}f\left( a\right) &=&-\frac{1}{a^{2}} \\
D^{-}f\left( a\right) &=&-\frac{1}{a^{2}} \\
D_{-}f\left( a\right) &=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。
ディニ微分を用いた微分不可能性の判定
関数\(f\)が点\(a\)において右上・左上・右下・左下微分可能であるとともにそれらが一致する場合、そしてその場合にのみ、\(f\)は点\(a\)において微分可能であることが明らかになりました。したがって、\(f\)が点\(a\)において右上・左上・右下・左下微分可能ではない場合、もしくはそれらの値が一致しない場合などには、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。
例（微分可能ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は点\(0\)において右上ディニ微分可能ではありません。したがって、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は点\(0\)において右上ディニ微分可能ではありません。したがって、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
例（微分可能ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は点\(0\)において右上ディニ微分可能ではありません。したがって、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は点\(0\)において右上ディニ微分可能ではありません。したがって、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
演習問題
問題（ディニ微分を用いた微分可能性の判定）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
0 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において右側微分可能、左側微分可能、微分可能でしょうか。ディニ微分を用いて検証してください。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
0 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において右側微分可能、左側微分可能、微分可能でしょうか。ディニ微分を用いて検証してください。
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