関数の片側ディニ微分（右上微分・左上微分・右下微分・左下微分）

右上ディニ微分係数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されているものとします。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から\(h>0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left(a+h\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を、変数\(x\)を点\(a\)から\(h\)だけ動かした場合の\(f\left( x\right) \)の平均変化率（average rate of change）と呼びます。平均変化率を変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0+\)の場合の右側上極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right) -f\left(
a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\}
\end{equation*}をとります。この右側上極限は有限な実数として定まるとは限りませんが、仮に有限な実数として定まる場合、その右側上極限を\(f\)の\(a\)における右上ディニ微分係数（upper right Dini differential coefficient at \(a\)）や右上微分係数（upper right differential coefficient）などと呼び、これを、\begin{equation*}D^{+}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}で表記します。右上ディニ微分係数\(D^{+}f\left(a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において右上ディニ微分可能である（upper right Dini differentiable at \(a\)）とか右上微分可能である（upper right differentiable）などと言います。

左上ディニ微分係数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているものとします。関数\(f\)の点\(a\)における平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0-\)の場合の左側上極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0-}\sup \frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right) -f\left(
a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\}
\end{equation*}をとります。この左側上極限は有限な実数として定まるとは限りませんが、仮に有限な実数として定まる場合、その左側上極限を\(f\)の\(a\)における左上ディニ微分係数（upper left Dini differential coefficient at \(a\)）や左上微分係数（upper left differential coefficient）などと呼び、これを、\begin{equation*}D^{-}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\sup \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}で表記します。左上ディニ微分係数\(D^{-}f\left(a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において左上ディニ微分可能である（upper left Dini differentiable at \(a\)）とか左上微分可能である（upper left differentiable）などと言います。

右下ディニ微分係数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されているものとします。関数\(f\)の点\(a\)における平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0+\)の場合の右側下極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0-}\inf \frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right) -f\left(
a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( 0,\delta \right) \right\}
\end{equation*}をとります。この右側下極限は有限な実数として定まるとは限りませんが、仮に有限な実数として定まる場合、その右側下極限を\(f\)の\(a\)における右下ディニ微分係数（lower right Dini differential coefficient at \(a\)）や右下微分係数（lower right differential coefficient）などと呼び、これを、\begin{equation*}D_{+}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\inf \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}で表記します。右下ディニ微分係数\(D_{+}f\left(a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において右下ディニ微分可能である（lower right Dini differentiable at \(a\)）とか右下微分可能である（lower right differentiable）などと言います。

左下ディニ微分係数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているものとします。関数\(f\)の点\(a\)における平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0-\)の場合の左側下極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0-}\inf \frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right) -f\left(
a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \right\}
\end{equation*}をとります。この左側下極限は有限な実数として定まるとは限りませんが、仮に有限な実数として定まる場合、その左側下極限を\(f\)の\(a\)における左下ディニ微分係数（lower left Dini differential coefficient at \(a\)）や左下微分係数（lower left differential coefficient）などと呼び、これを、\begin{equation*}D_{-}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\inf \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}で表記します。左下ディニ微分係数\(D_{-}f\left(a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において左下ディニ微分可能である（lower left Dini differentiable at \(a\)）とか左下微分可能である（lower left differentiable）などと言います。

関数はディニ微分可能であるとは限らない

関数はディニ微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

関数のディニ微分係数は一致するとは限らない

関数のディニ微分がいずれも有限な実数として定まる場合、それらが一致するケースと異なるケースの両方が起こり得ます。

まずは、すべてのディニ微分が一致する関数の例を挙げます。

続いて、ディニ微分が異なる関数の例です。

上ディニ微分係数は下ディニ微分係数以上

関数のディニ微分係数が有限な実数として定まる場合、それらが一致するケースと異なるケースの両方が起こり得ることが明らかになりました。ただ、右上ディニ微分係数は必ず右下ディニ微分係数以上になり、左上ディニ微分係数は必ず左下ディニ微分係数以上になります。

右上ディニ導関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右上ディニ微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの右上ディニ微分係数\begin{equation*}D^{+}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\sup \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。以上を踏まえると、\(f\)が右上ディニ微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(y\in Y\)に対して、そこでの右上ディニ微分係数\(D^{+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}D^{+}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の右上ディニ導関数（upper right Dini derivative）や右上導関数（upper right derivative）などと呼び、これを、\begin{equation*}
D^{+}f,\quad D^{+}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において右上ディニ微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が右上ディニ微分可能ではない点が存在する場合、右上ディニ導関数\(D^{+}f\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の右上ディニ導関数\(D^{+}f\)は、もとの関数\(f\)が右上ディニ微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と右上ディニ導関数\(D^{+}f\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において右上ディニ微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で右上ディニ微分可能である（upper right Dini differentiable on \(X\)）とか右上微分可能である（upper right differentiable）などと言います。

左上ディニ導関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において左上ディニ微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの左上ディニ微分係数\begin{equation*}D^{-}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\sup \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。以上を踏まえると、\(f\)が左上ディニ微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(y\in Y\)に対して、そこでの左上ディニ微分係数\(D^{-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}D^{-}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の左上ディニ導関数（upper left Dini derivative）や左上導関数（upper left derivative）などと呼び、これを、\begin{equation*}
D^{-}f,\quad D^{-}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において左上ディニ微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が左上ディニ微分可能ではない点が存在する場合、左上ディニ導関数\(D^{-}f\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の左上ディニ導関数\(D^{-}f\)は、もとの関数\(f\)が左上ディニ微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と左上ディニ導関数\(D^{-}f\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において左上ディニ微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で左上ディニ微分可能である（upper left Dini differentiable on \(X\)）とか左上微分可能である（upper left differentiable）などと言います。

右下ディニ導関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右下ディニ微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの右下ディニ微分係数\begin{equation*}D_{+}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\inf \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。以上を踏まえると、\(f\)が右下ディニ微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(y\in Y\)に対して、そこでの右下ディニ微分係数\(D_{+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}D_{+}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の右下ディニ導関数（lower right Dini derivative）や右下導関数（lower right derivative）などと呼び、これを、\begin{equation*}
D_{+}f,\quad D_{+}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において右下ディニ微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が右下ディニ微分可能ではない点が存在する場合、右下ディニ導関数\(D_{+}f\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の右下ディニ導関数\(D_{+}f\)は、もとの関数\(f\)が右下ディニ微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と右下ディニ導関数\(D_{+}f\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において右下ディニ微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で右下ディニ微分可能である（lower right Dini differentiable on \(X\)）とか右下微分可能である（lower right differentiable）などと言います。

左下ディニ導関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において左下ディニ微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの左下ディニ微分係数\begin{equation*}D_{-}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\inf \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。以上を踏まえると、\(f\)が左下ディニ微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(y\in Y\)に対して、そこでの左下ディニ微分係数\(D_{-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}D_{-}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の左下ディニ導関数（lower left Dini derivative）や左下導関数（lower left derivative）などと呼び、これを、\begin{equation*}
D_{-}f,\quad D_{-}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において左下ディニ微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が左下ディニ微分可能ではない点が存在する場合、左下ディニ導関数\(D_{-}f\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の左下ディニ導関数\(D_{-}f\)は、もとの関数\(f\)が左下ディニ微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と左下ディニ導関数\(D_{-}f\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において左下ディニ微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で左下ディニ微分可能である（lower left Dini differentiable on \(X\)）とか左下微分可能である（lower left differentiable）などと言います。

演習問題